Matemáticas

Euclides, matemático grego do século III a.C., tal como foi imaxinado por Rafael nun detalle do fresco de 1509 A escola de Atenas, que se conserva na Stanza della Segnatura dos Palacios Pontificios do Vaticano.

Il Saggiatore, obra de Galileo Galilei publicada en Roma en 1623 na que se destaca a importancia das matemáticas para entender o universo.

Matemáticas ou matemática (Do grego μαθηματικός, mathematikós, "o que aprende", que á súa vez deriva de μάθημα, máthēma, "coñecemento, estudo, aprendizaxe") é o estudo abstracto de cuestións que abranguen os conceptos de cantidade, estrutura, espazo, cambio, e outras propiedades; se ben non hai unha definición xeralmente aceptada. Os matemáticos buscan patróns e formulan novas conxecturas das que tratan de establecer a súa verdade ou falsidade mediante unha demostración matemática. Cando as estruturas matemáticas son bos modelos de fenómenos reais, o razoamento matemático pode axudar a comprender e facer prediccións sobre a natureza.

Por medio da abstracción e do razoamento lóxico, as matemáticas desenvólvese a partir da acción de contar, o cálculo, a medida, e o estudo sistemático das formas e os movementos dos obxectos físicos. A práctica das matemáticas ven sendo unha actividade humana polo menos desde que existen documentos escritos. A resolución dos problemas matemáticos pode levar séculos de investigación continuada. O razoamento rigoroso aparece por primeira vez na matemática grega, especialmente nos Elementos de Euclides. Desde os traballos pioneiros a finais do século XIX de Giuseppe Peano (1858–1932), David Hilbert (1862–1943) e outros acerca dos sistemas axiomáticos, fíxose consuetudinario ver a investigación matemática como a busca da verdade mediante a dedución rigorosa a partir de axiomas e definicións elixidos axeitadamente. As matemáticas desenvolvéronse dun xeito relativamente lento ata o Renacemento, momento no que as innovacións matemáticas interactúan cos novos descubrimentos científicos para dar lugar a un rápido incremento do número de achados matemáticos que continúa no presente.

Sobre as matemáticas Galileo Galilei (1564–1642) dixo:

A filosofía está escrita neste gran libro que está permanentemente aberto aos nosos ollos (o universo), pero este libro non pode ser entendido se primeiramente non se aprende a súa linguaxe e se coñecen as letras coas que está escrito. Está escrito na linguaxe das matemáticas e as súas letras son triángulos, círculos e outras figuras xeométricas, sen cuxos medios é humanamente imposíbel entender palabra; sen eles estaremos vagando nun labirinto escuro.

Il Saggiatore Galileo Galilei (Roma, 1623).

Carl Friedrich Gauss (1777–1855) referíase ás matemáticas como "a raíña das ciencias". Benjamin Peirce (1809–1880) chamaba ás matemáticas "a ciencia que sinala as conclusións necesarias". David Hilbert opinaba que "de ningunha maneira estamos a falar aquí de arbitrariedades. As matemáticas non son como un xogo no que as tarefas están determinadas por regras arbitrariamente estipuladas. Pola contra, é un sistema conceptual cunha necesidade interna que que só poida ser así e de ningún outro modo.". Albert Einstein (1879–1955) afirmou que "canto máis se refiren á realidade, as leis das matemáticas máis lonxe están da exactitude; e canto máis se achegan á exactitude, máis se afastan da realidade". A matemática francesa Claire Voisin sinala que "hai un pulo creativo nas matemáticas, é todo acerca do movemento que intenta manifestarse".

As matemáticas son unha ferramenta esencial en moitos campos do saber, incluídas as ciencias naturais, a enxeñería, a medicina e as ciencias sociais. A matemática aplicada, a rama das matemáticas á que lle concirnen as aplicacións dos coñecementos matemáticos a outros campos, inspírase e fai uso dos novos descubrimentos matemáticos, os cales conducen ao desenvolvemento de novas disciplinas matemáticas, como a estatística e a teoría de xogos. Os matemáticos tamén se implican na matemática pura sen ter en mente ningunha aplicación práctica, só polo placer de facer matemáticas. Porén non hai unha liña clara de separación entre as matemáticas pura e aplicada e con frecuencia descúbrense aplicacións prácticas a aquilo que comezou sendo matemática pura.

Etimoloxía

Pitágoras escribindo música no fresco A Escola de Atenas de Rafael.

A palabra matemáticas quere dicir "o que se aprende". Ven do grego μαθηματικός, mathematikós, "o que aprende", palabra derivada de μάθημα, máthēma, "coñecemento, estudo, aprendizaxe". O filósofo neoplatónico Iámblico, na súa obra De vita pythagorica, explica que na comunidade pitagórica había dúas clases de membros: os matemáticos, mathematikoi (coñecedores), cos que Pitágoras compartía o coñecemento; e os acusmáticos, akousmatikoi (oidores), os membros da irmandade que tamén compartían os coñecementos pero dun xeito superficial, sen profundar nas súas razóns.

Ata arredor do ano 1700, o vocábulo matemáticas tiña como acepción máis común o de "astroloxía" (ou, ás veces, "astronomía"); o significado foi cambiando gradualmente ata o actual entre aproximadamente 1500 e 1800. Isto provocou erros nas traducións e interpretacións erróneas: é particularmente notoria a advertencia que fai Agostiño de Hipona aos cristiáns prevíndoos dos mathematici co significado de astrólogos o cal, nalgunhas traducións, se interpreta como unha condena das matemáticas.

Definicións de matemáticas

Aristóteles, cuxa definición das matemáticas estivo vixente durante máis de 2.000 anos, e o seu mestre Platón, representados no fresco de Rafael A Escola de Atenas.

A definición dada por Aristóteles das matemáticas como "a ciencia da cantidade" prevaleceu ata o século XVIII. A chegada do século XIX supuxo un aumento do rigor no estudo das matemáticas, nacendo novas disciplinas abstractas como a teoría de grupos e a xeometría proxectiva nas que non quedaba clara a relación entre cantidade e medida. Como consecuencia, matemáticos e filósofos comezaron a propor novas definicións. Algunhas destas definicións enfatizan o carácter deductivo de moita da matemática, outras enfatizan a súa abstracción e hainas que enfatizan certa temática da propia matemática. Hoxe en día, mesmo entre os matemáticos profesionais, non hai consenso sobre que definición debe prevalecer. Máis aínda, non hai consenso sobre se a matemática é unha arte ou unha ciencia. Un gran número de matemáticos non teñen interese nunha definición das matemáticas, ou considérana indefiníbel. Algúns din que "Matemáticas é o que fan os matemáticos".

Os tres tipos principais de definición das matemáticas reciben o nome de loxicista, intuicionista e formalista, cada unha reflectindo diferentes escolas filosóficas de pensamento. Ningunha ten unha ampla aceptación e non parece posíbel unha teoría única que as englobe.

Bertrand Russell, un dos fundadores do loxicismo, na UCLA en abril de 1940.

Unha definición temperá en termos de lóxica, "a ciencia que sinala as conclusións necesarias", deuna Benjamin Peirce en 1870, se ben foron Bertrand Russell e Alfred North Whitehead quen estableceron as bases do proxecto filosófico coñecido como loxicismo, tentando probar que todos os conceptos, afirmacións e principios matemáticos poden ser definidos e probados en termos de lóxica simbólica. A definición de Bertrand Russell de 1903, "toda a matemática é lóxica simbólica", é unha definición loxicista.

As definicións intuicionistas, desenvolvidas a partir do traballo do filosófo das matemáticas Luitzen Egbertus Jan Brouwer, identifican as matemáticas con certos fenómenos mentais. Un exemplo de definición intuicionista é: "Matemática é a actividade mental que consiste en tirar conclusións sucesivas, unha tras outra". Unha peculiaridade do intuicionismo é que rexeita algunhas ideas matemáticas consideradas válidas segundo outras definicións. En particular, mentres que outros filósofos das matemáticas permiten obxectos dos que se pode probar a súa existencia, mesmo se non poden ser construídos, os intuicionistas só aceptan obxectos matemáticos que realmente poden ser construídos.

As definicións formalistas identifican as matemáticas cos seus símbolos e as reglas operativas sobre eles. Haskell Curry define as matemáticas simplemente como "a ciencia dos sistemas formais". Un sistema formal é un conxunto de símbolos e reglas que indican como se combinan os símbolos para formar fórmulas. A palabra axioma ten un significado especial nos sistemas formais, diferente do seu significado ordinario de "verdade evidente per se". Nos sistemas formais, un axioma é unha combinación de símbolos incluído nun sistema formal sen necesidade de deducilo usando as reglas do sistema.

Divisións e ligazóns

As numerosas pólas da matemática están moi interrelacionadas, velaquí unha lista de seccións que podemos considerar no seu estudo:

Os números

Números -- Número natural -- Número enteiro -- Número racional -- Número real -- Número complexo -- Cuaternións -- Octonións -- Sedenións -- Números hiperreais -- Números infinitos -- Díxito -- Sistema de numeración -- Teoría de números

Matemáticas do cambio

Cálculo infinitesimal -- Cálculo vectorial -- Análise matemática -- Ecuación diferencial -- Sistemas dinámicos -- Teoría do caos -- Lista de funcións -- Logaritmo

Análise matemática

Sucesións - Series -- Análise Real -- Análise Complexa -- Análise Funcional -- Álxebra de operadores

Estruturas alxébricas

Álxebra abstracta -- Teoría de grupos -- Monoides -- Aneis -- Álxebra lineal -- Teoría de grafos -- Teoría de categorías

Espazos

Topoloxía -- Xeometría -- Xeometría alxébrica -- Xeometría diferencial -- Topoloxía diferencial -- Topoloxía alxébrica -- Espazo vectorial -- Cuaternións e rotación no espazo

Matemática discreta

Combinatoria -- Teoría de conxuntos -- Teoría da Computación -- Matemática discreta -- Criptografía -- Teoría de grafos -- Teoría de xogos

Matemática aplicada

Mecánica -- Cálculo numérico -- Optimización -- Matemática discreta -- Estatística e probabilidade

Teoremas e conxecturas famosas

Último Teorema de Fermat -- Hipótese de Riemann -- Hipótese do continuo -- clases de complexidade P e NP -- Conxectura de Goldbach -- Conxectura dos números primos xemelgos -- Teoremas de incompletitude de Gödel -- Conxectura de Poincaré -- Argumento da diagonal de Cantor -- Teorema de Pitágoras -- Teorema Fundamental do Cálculo -- Teorema Fundamental da Álxebra -- Teorema das catro cores -- Lema de Zorn -- Identidade de Euler.

Fundamentos e métodos

Filosofía da matemática -- Intuicionismo matemático -- Construtivismo matemático -- Fundamentos das matemáticas -- Teoría de conxuntos -- Subconxuntos borrosos -- Lóxica simbólica -- Lóxica borrosa -- Teoría de modelos -- Teoría de categorías -- Proba dos teoremas -- Axiomática -- Indución

Historia das matemáticas. O mundo dos matemáticos

Historia das matemáticas -- Matemáticos -- Medallas Fields -- Millennium Prize Problems (Clay Math Prize) -- International Mathematical Union -- Competicións matemáticas

Matemática recreativa

Cadrado máxico -- Papiroflexia

Así pois, unha división básica das matemáticas establecería as seguintes categorías:

1. Aritmética, estuda as operacións con números.
2. Xeometría, estuda o espazo, os seus subconxuntos e as súas relacións.
3. Topoloxía, estuda a noción de proximidade nos distintos espazos.
4. Análise matemática, estuda as funcións reais e complexas baseándose no cálculo infinitesimal.
5. Análise numérica, busca a resolución aproximada de problemas complexos mediante algoritmos chamados métodos numéricos.
6. Álxebra, ou estudo das estruturas, conxuntos, ecuacións, linguaxes simbólicas,...
7. Cálculo de probabilidades e Estatística, dedicadas ao estudo teórico do azar e á descrición de datos experimentais ou poblacionais.

No tocante á metodoloxía, outra división simple da matemática establece que esta pode ser pura, cando se consideran as magnitudes ou cantidades abstractamente, sen relación á materia; ou aplicada, cando se tratan ás magnitudes como substancia de corpos materiais, e por consecuencia relaciónase con consideracións físicas.

Historia e relacións

Historicamente, as matemáticas xurdiron co fin de facer os cálculos no comercio, para medir a terra e para predicir os acontecementos astronómicos. Estas tres necesidades poden ser relacionadas en certa forma á subdivisión ampla das matemáticas no estudo da estrutura, o espazo e o cambio.

O estudo da estrutura comeza cos números, inicialmente os números naturais e os números enteiros. As regras que dirixen as operacións aritméticas estúdanse na álxebra elemental, e as propiedades máis fondas dos números enteiros estúdanse na teoría de números.

A investigación de métodos para resolver ecuacións leva ao campo da álxebra abstracta. O importante concepto de vector, xeralizado a espazo vectorial, é estudado na álxebra lineal, e pertence ás dúas pólas da estrutura e o espazo. O estudo do espazo orixina a xeometría, primeiro a xeometría euclideana e logo a trigonometría.

A comprensión e descrición do cambio en variábeis mensurábeis é o tema central das ciencias naturais, e o cálculo. Para resolver problemas que dirixen en forma natural cara a relacións entre unha cantidade e a súa taxa de cambio, e das solucións a estas ecuacións estúdianse nas ecuacións diferenciais.

Os números que usaron para representar as cantidades continuas son os números reais. Para estudar os procesos de cambio utilízase o concepto de función matemática. Os conceptos de derivada e integral introducidos por Isaac Newton e Leibniz, xogan un papel clave neste estudo, que se denomina análise.

Por razóns matemáticas, é conveniente para moitos fins introducir os números complexos, o que dá lugar á análise complexa.

A análise funcional consiste en estudar problemas cuxa incógnita é unha función, pensándoa como un punto dun espazo funcional abstracto.

Un campo importante en matemáticas aplicadas é a probabilidade e a estatística, que permiten a descrición, a análise e a predición de fenómenos que teñen variábeis aleatorias e que se usan en todas as ciencias.

A análise numérica investiga os métodos para realizar os cálculos en ordenadores.

Personalidades das matemáticas

Grecia

Edición inglesa de 1570 dos Elementos de Euclides.

• Tales de Mileto (625 a.C.-547 a.C.): Considerado un dos Sete sabios de Grecia, estableceu o seu famoso teorema.
• Pitágoras (582 a.C.-496 a.C.): Aínda que non hai certeza, atribúeselle o que é o máis universal dos resultados matemáticos, o teorema que leva o seu nome.
• Euclides (360 a.C.-295 a.C.): O seu libro Os Elementos, en trece volumes, é un compendio de todo o saber matemático da antigüedade. Dá nome a unha rama da xeometría: a xeometría euclidiana.
• Arquimedes (287 a.C.-212 a.C.): A pesar de ser máis coñecido polos seus traballos no campo da física e o seu famoso principio, foi tamén un gran matemático, chegando a ser considerado como o máis grande da Antigüidade. Ideou un método para obter unha aproximación do número π cun número tan grande de cifras que se queira. Está considerado como un precursor do cálculo moderno por usar o método exhaustivo para achar áreas e volumes.
• Hipatia (c. 370-415): A primeira muller matemática coñecida. Viviu en Alexandría, onde seu pai era director da biblioteca e foi quen a indroducíu nas matemáticas. As súas obras perdéronse, mais se coñecen grazas a algúns dos seus discípulos que as divulgaron. Destacan os seus comentarios aos libros da Aritmética de Diofanto, ás Seccións cónicas de Apolonio e aos Elementos de Euclides. Elaborou tamén unha táboas astronómicas, revisión das de Ptolomeo.

Oriente

• Li Hui (século III): Matemático chinés, conseguíu unha boa aproximación de π (3,14159) cun algoritmo semellante ao usado por Arquimedes. O seu libro Os nove capítulos da arte matemática é un clásico da matemática chinesa.
• Brahmagupta (589–668): Matemático e astrónomo indio, está considerado como o pai da aritmética, da álxebra e da análise numérica. Popularizou o uso do número cero e descubriu unha fórmula para resolver unha ecuación de segundo grao. Un teorema de xeometría leva o seu nome.

Mundo islámico

• Al-Khwarizmi (c. 780-850): Introduciu o número cero, invención da matemática india, no mundo islámico. Recolleu o seu traballo na resolución de ecuacións no libro Al-jabr wa 'l-muqābala, isto é, Compendio do cálculo mediante restitución e redución, que traducido ao latín por Xerardo de Cremona, foi usado como libro de texto nas universidades europeas ata o século XVI. Da súa importancia dá fe o feito de que a palabra álxebra deriva da árabe al-jabr (restitución) que aparece no título do libro. Outro termo matemático, algoritmo, deriva do seu propio nome, Al-Khwarizmi.
• Omar Khayyam (1048-1131): É máis coñecido por atribuírselle o poemario Rubaiyat, obra sobranceira da literatura islámica. Porén o seu labor como matemático nas ecuacións tamén deixou pegada como o testemuña o feito de debérselle a el o uso da letra $x$ para nomear a incógnita das ecuacións.

Idade Media

• Fibonacci (1170-1250): A súa principal aportación foi a introdución en Europa do sistema de numeración decimal usado polos matemáticos islámicos, quen á súa vez tomárano dos hidús. A súa obra principal é o Liber abaci ou Libro do ábaco onde expón numerosos asuntos relacionados coa aritmética e a álxebra. O seu nome está inmortalizado na sucesión de Fibonacci, importante sucesión numérica relacionada co número áureo, e que aparece en numerosas situacións reais.

Renacemento

• Tartaglia (c. 1500-1557): Achou unha fórmula para a resolución de ecuacións cúbicas: fórmula de Cardano-Tartaglia, e outra para o volume dun tetraedro: fórmula de Tartaglia. A disposición dos números combinatorios en forma de triángulo leva o seu nome, se ben tamén é coñecido como triángulo de Pascal.
• Gerolamo Cardano (1501-1576): Médico e matemático italiano. Como médico foi o primeiro en describir a febre tifoidea. Sen desmerecer o seu traballo na resolución de ecuacións, no campo das matemáticas destaca por ser un dos precursores do cálculo de probabilidades co seu Liber de ludo aleae sobre os xogos de azar.
• Galileo Galilei: (1564-1642): Como matemático adiantouse 250 anos aos traballos co infinito de Georg Cantor co establecemento do paradoxo de Galileo o cal afirma que existen tantos números impares (e pares) como números naturais. Tamén contribuíu a crear un nexo de unión entre as matemáticas e a mecánica clásica da que foi precursor. Destacou tamén en astronomía e na construción de aparatos científicos.

Idade moderna

• René Descartes:(1596-1650): Matemático francés cun traballo tan importante na xeometría que o sistema de posicionamento de puntos no plano e no espazo leva o seu nome: sistema de coordenadas cartesiano.
• Blaise Pascal: (1623-1662): Contribuíu á creación da xeometría proxectiva, levando o seu nome un teorema; e ao cálculo de probabilidades, onde é de gran aplicación o triángulo de números combinatorios que leva o seu nome. Foi o inventor da primeira calculadora, a Pascalina.
• Isaac Newton (1643-1727). Físico e matemático inglés, autor da Philosophiae naturalis principia mathematica, onde enuncia a lei da gravitación universal e as coñecidas como leis de Newton. Como matemático está considerado, xunto con Leibniz, o pai do cálculo infinitesimal.
• Gottfried Leibniz (1646-1716): Matemático alemán que desenvolveu, independente e simultaneamente a Newton, o cálculo infinitesimal. A notación usada por Leibniz, moito máis sinxela ca de Newton, séguese a usar hoxe en día. A el se debe o concepto de función.
• Leonhard Euler (1707-1783): Prolífico matemático suízo que fixo importantes aportacións en varios campos da matemática. Un dos números máis importantes das matemáticas leva o seu nome, o número e ou número de Euler. A identidade de Euler relaciona nunha soa igualdade cinco das constantes matemáticas fundamentais: o número 0, o número 1, o número $e$, o número $\pi$, e a unidade imaxinaria $i$. En teoría de grafos foi o primeiro en demostrar a non existencia de solución do problema das sete pontes de Königsberg.
• Joseph Louis Lagrange: (1736-1813). Matemático franco-italiano que realizou contribucions importantes na teoría de números, na teoría de grupos e na análise matemática. Varios teoremas destes campos levan o seu nome, sendo moi coñecido polos alumnos do bacharelato científico-tecnolóxico o seu teorema do valor medio.
• Pierre-Simon Laplace (1749-1827): Fixo importantes aportacións á teoria de probabilidades. Desenvolveu a ecuación de Laplace e ideou a transformada de Laplace, que ten importantes aplicacións en electrónica. Foi un fervente defensor do determinismo científico.

Idade contemporánea

• Paolo Ruffini (1765-1822): Matemático italiano inventor da regra de Ruffini, que permite achar os coeficientes do cociente e o resto da división dun polinomio calquera entre o binomio $(x-a)$.

Mulleres matemáticas

• Émilie du Châtelet (1706-1749).
• Maria Gaetana Agnesi (1718-1799).
• Sophie Germain (1776-1831).
• Ada Augusta Lovelace (1815-1852).
• Florence Nightingale (1820-1910).
• Sofia Kovalewska (1850-1891).
• Mileva Marić (1875-1948).
• Emmy Noether (1882-1935).
• Emma Castelnuovo (1913- ).

Véxase tamén

Outros artigos

• Matemática pura.
• Wolfram Alpha