Teoría dos números

Tradicionalmente, a teoría dos números é a rama das matemáticas puras que se ocupa das propiedades dos números enteiros. Así dentro desta parte das matemáticas estúdanse conceptos como a divisibilidade, os números primos, máximo común divisor, mínimo común múltiplo, relacións de orde, etc.

A disciplina veu a ocuparse dunha clase máis vasta de problemas que surxiron naturalmente do estudo dos números enteiros. A teoría dos números pódese subdividir en varios campos, de acordo cos métodos que son usados e das cuestións que son investigadas, a saber:

• Teoría elemental dos números: utiliza soamente os métodos elementais da aritmética para a verificación e comprobación das propiedades esenciais do conxunto dos números enteiros e en particular as propiedades dos números primos;
• Teoría Analítica dos Números: utiliza a análise real e análise complexa, especialmente para estudar as propiedades dos números primos;
• Teoría Alxebrica dos Números: utiliza álxebra abstracta avanzada (álxebra moderna) e estuda os números alxebricos;
• Teoría Xeométrica dos Números: utiliza métodos xeométricos, alxebricos e analíticos;

Sobre a Teoría Elementar dos Números

Normalmente, o primeiro contacto coa Teoría dos Números é a través da Teoría Elementar dos Números. A través desta disciplina pódense introducir propiedades bastante interesantes e notábeis dos números enteiros, mais, que ao seren propostas como cuestións a seren resolvidas, ou teoremas a seren probados, son xeralmente de difícil solución ou comprobación. Estas cuestións están ligadas basicamente a tres tipos de investigacións, a saber:

1. Estudos específicos sobre as propiedades dos números primos;
2. Estudos envolvendo a investigación de algoritmos eficientes para a Aritmética Básica;
3. Estudos sobre a resolución de Ecuacións Diofantinas;

Estas cuestións directamente ligadas ao estudo do Conxunto dos números enteiros e o seu subconxunto: o Conxunto dos números naturais.

A título de ilustración, algúns dos moitos problemas que se poden focalizar nestas tres áreas da Teoría Elemental dos Números son comentados a continuación:

Propiedades dos números primos

Teorema de Euclides

"Existe unha cantidade infinita de números primos"

Conxectura de Goldbach

"Pódense expresar os números pares, maiores que 2, como a suma de dous números primos?" Esta é a denominada conxectura de Goldbach

formulada en 1746 e ata hoxe non probada, a pesar de ser verificada para números da orde de ata 4*10^14.

Cantos números primos terminan co díxito 7? Serían infinitos? Son 664579 os números primos menores que 10 millóns, sendo que os números primos que terminan en 1, 3, 7 e 9 respectivamente son 166104, 166230, 166211 e 166032, isto corresponde a 24.99%, 25.01%, 25.01% e 24.98% deste total de números. Que suxere isto?

Hai infinitos pares de números denominados primos xemelgos: números primos que diferen un do outro en apenas dúas unidades, como (3 ; 5), (71 ; 73) ou (1000000007; 1000000009)?

Algoritmos eficientes para a aritmética básica

Moitas das modernas aplicacións que se están levando a efecto no campo da criptografía (codificación destinada a xerar, almacenar ou ata mesmo transmitir — por exemplo, por telefonía ou máis especificamente pola Internet) — informacións secretas ou confidenciais de forma segura, dependen dalgunhas das propiedades dos números enteiros e dos números primos. Porén as aplicacións aritméticas envolvendo as propiedades dos números enteiros están directamente relacionadas á capacidade de se resolver dous problemas fundamentais:

1. o problema do test para verificar se o número é primo;
2. o problema da decomposición en fatores primos;

Aparentemente son problemas de simple solución, ata que pasen a envolver numerais con decenas e ata centenas de díxitos.

Ecuacións diofantinas

Cando se procuran solucións enteiras (e ás veces racionais) para ecuacións alxebricas dos seguintes tipos:

• $x^2 + y^2 = z^2$, por exemplo, que posúe infinitas solucións representadas polas ternas ordenadas (x,y,z) coñecidas como Ternos ou Ternas pitagóricos, onde z é o lado maior dun triángulo rectángulo – a hipotenusa, e x e y os seus catetos: (3,4,5), (4,3,5), (12,5,13), (5,12,13), (24,7,25), (7,24,25), soamente para citar algúns exemplos. Un conxunto de fórmulas poden facilitar a obtención das Ternas Pitagóricas: z = p^2 + q^2, x = p^2 - q^2, y = 2*p*q, onde p e q son combinacións de números enteiros positivos distintos, con p > q, como por exemplo: 2 e 1; 3 e 1; 3 e 2; 4 e 1; 4 e 2; 4 e 3. Verifique se este tipo de raciocinio continúa valendo para: 5 e 1; 5 e 2; ...; 5 e 4; para 6 e 1; 6 e 2; etc. Hai unha xustificativa alxebrica para tal feito? Este proceso funcionará sempre?

• $x^n + y^n = z^n$, que non posúe solucións non nulas para n maior ou igual a 3 (ou sexa para n > 2) que é xustamente denominado o Último Teorema de Fermat - sobre o cal o matemático francés Pierre de Fermat (1601-1665) afirmou nunha pequena nota escrita na marxe dunha páxina do un libro, exactamente ao lado daquela ecuación, posuír unha proba bastante simple para a mesma, mais que non se podería escribir alí, por absoluta falta de espazo. O matemático inglés Andrew Wiles finalmente en 1993, despois de ter usado unha vasta colectánea de novas técnicas e de moitas técnicas antigas da Teoría dos Números ben como tendo dispendido moito tempo de estudo e moitas e moitas follas de papel para resolver este misterio, anunciou a proba deste Teorema, que permanecera, por máis de 300 anos, como un desafío para os máis habilidosos matemáticos.

• $y^2 = x^3 + 17$, que posúe exactamente 8 solucións (x,y) onde x e y son números enteiros sendo os valores de x os seguintes: - 2;-1; 2; 4; 8; 43; 52. Os valores de y poden atopadorse facilmente a partir destes. Aquí o difícil será mostrar que as únicas solucións posíbeis son estas.

• Ecuacións alxebricas que posibiliten calcular todos os números enteiros positivos que poidan escribirse como suma de catro cadrados perfectos, como por exemplo: 47 = 36 + 9 + 1 + 1. Para "facilitar", poden ser repetidos os cadrados perfeitos, como no exemplo dado; aínda se pode, adoptar o 0 como un cuadrado perfeito, como en: 10 = 9 + 1 + 0 + 0 no canto de 10 = 4 + 4 + 1 + 1.

Sábese que moitos números enteiros positivos non se poden escribir desta forma, e isto torna a solución deste problema bastante máis complexa. Este feito podería levar á seguinte pregunta: cantos son os números enteiros positivos menores de 10.000, que non se poden ser escribir como a suma de catro cadrados perfectos? Este problema pode ser aínda presentado como exixindo a utilización de apenas dous cadrados perfeitos ou utilizando tres cadrados perfeitos. Agora a solución aínda se tornaría máis difícil.