Teoría dos números

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Este é un dos 1000 artigos que toda Wikipedia debería ter.
Cando dispoñemos os números naturais nunha espiral e destacamos os números primos, observamos un intrigante e non totalmente explicado patrón, chamado espiral de Ulam.

Tradicionalmente, a teoría dos números é a rama da matemática pura que se ocupa das propiedades dos números en xeral, e en particular dos enteiros e da longa clase de problemas que xurden no seu estudo. Así, neste campo das matemáticas estúdanse conceptos como a divisibilidade, os números primos, máximo común divisor, mínimo común múltiplo, relacións de orde, etc.

Albores da aritmética[editar | editar a fonte]

A teoría de números derívase da antiga aritmética grega de Diofanto[1].
Primeira edición de Disquisitiones Arithmeticae, de Gauss.

O primeiro descubrimento histórico de natureza aritmética é un fragmento dunha táboa de arxila, a coñecida como Plimpton 322, achada en Larsa (Mesopotamia) e datada no arredor do 1800 a.C. Contén unha listaxe de ternas pitagóricas, ou sexa, enteiros a, b, c tales que a2+b2=c2. A táboa ten moitas ternas e con números bastante elevados se temos en conta que foron obtidos sen axuda tecnolóxica.

A táboa Plimpton 322.

A disposición da táboa suxire que foi construída por medio do que equivale, na linguaxe moderna, à identidade:

\left(\frac{1}{2} \left(x - \frac{1}{x}\right)\right)^2 + 1 =
\left(\frac{1}{2} \left(x + \frac{1}{x}\right)\right)^2,

que está implícita nos exercicios rutinarios dos antigos babilonios. Se foi utilizado algún outro método, as ternas foran inicialmente construídas e despois reordenadas, presumibelmente para uso real como unha táboa de consulta con vistas á súa aplicación práctica.

Non sabemos cales poden ter sido esas aplicacións, ou se podería ter habido algunha pois se, por exemplo, fose para a astronomía, esta floreceu entre os babilonios máis tarde. Tense suxerido, pola contra, que a táboa fose unha fonte de exemplos numéricos para problemas escolares.

Características[editar | editar a fonte]

Pierre de Fermat, un dos máis famosos teóricos dos números.

O termo “aritmética” é tamén utilizado para se referir á teoría dos números. Ese é un termo antigo, que xa foi máis popular do que o é hoxe. A teoría dos números foi tamén chamada de aritmética superior, mais ese termo tamén caeu en desuso. Entretanto, ese termo aínda aparece nos nomes de obxectos matemáticos relacionados (funcións aritméticas, aritmética de curvas elípticas, teorema fundamental da aritmética). Ese sentido do termo aritmética non debe ser confundido coa aritmética elemental, nin co ramo da lóxica que estuda a aritmética de Peano como un sistema formal.

Subdivisións[editar | editar a fonte]

A teoría dos números pódese subdividir en varios campos, de acordo cos métodos que son usados e das cuestións que son investigadas, a saber:

Sobre a Teoría Elemental dos Números[editar | editar a fonte]

Normalmente, o primeiro contacto coa Teoría dos Números é a través da Teoría Elementar dos Números. A través desta disciplina pódense introducir propiedades bastante interesantes e notábeis dos números enteiros, mais, que ao seren propostas como cuestións a seren resolvidas, ou teoremas a seren probados, son xeralmente de difícil solución ou comprobación. Estas cuestións están ligadas basicamente a tres tipos de investigacións, a saber:

  1. Estudos específicos sobre as propiedades dos números primos;
  2. Estudos envolvendo a investigación de algoritmos eficientes para a Aritmética Básica;
  3. Estudos sobre a resolución de Ecuacións Diofantinas;

Estas cuestións directamente ligadas ao estudo do Conxunto dos números enteiros e o seu subconxunto: o Conxunto dos números naturais.

A título de ilustración, algúns dos moitos problemas que se poden focalizar nestas tres áreas da Teoría Elemental dos Números son comentados a continuación:

Propiedades dos números primos[editar | editar a fonte]

Teorema de Euclides[editar | editar a fonte]

"Existe unha cantidade infinita de números primos"

Conxectura de Goldbach[editar | editar a fonte]

"Pódense expresar os números pares, maiores que 2, como a suma de dous números primos?" Esta é a denominada conxectura de Goldbach
formulada en 1746 e ata hoxe non probada, a pesar de ser verificada para números da orde de ata 4*10^14.

Cantos números primos terminan co díxito 7? Serían infinitos? Son 664579 os números primos menores que 10 millóns, sendo que os números primos que terminan en 1, 3, 7 e 9 respectivamente son 166104, 166230, 166211 e 166032, isto corresponde a 24.99%, 25.01%, 25.01% e 24.98% deste total de números. Que suxere isto?

Hai infinitos pares de números denominados primos xemelgos: números primos que diferen un do outro en apenas dúas unidades, como (3 ; 5), (71 ; 73) ou (1000000007; 1000000009)?

Algoritmos eficientes para a aritmética básica[editar | editar a fonte]

Moitas das modernas aplicacións que se están levando a efecto no campo da criptografía (codificación destinada a xerar, almacenar ou ata mesmo transmitir — por exemplo, por telefonía ou máis especificamente pola Internet) — informacións secretas ou confidenciais de forma segura, dependen dalgunhas das propiedades dos números enteiros e dos números primos. Porén as aplicacións aritméticas envolvendo as propiedades dos números enteiros están directamente relacionadas á capacidade de se resolver dous problemas fundamentais:

  1. o problema do test para verificar se o número é primo;
  2. o problema da decomposición en factores primos;

Aparentemente son problemas de simple solución, ata que pasen a envolver numerais con decenas e ata centenas de díxitos.

Ecuacións diofantinas[editar | editar a fonte]

Cando se procuran solucións enteiras (e ás veces racionais) para ecuacións alxébricas dos seguintes tipos:

  • x^2 + y^2 = z^2, por exemplo, que posúe infinitas solucións representadas polas ternas ordenadas (x,y,z) coñecidas como Ternos ou Ternas pitagóricos, onde z é o lado maior dun triángulo rectángulo – a hipotenusa, e x e y os seus catetos: (3,4,5), (4,3,5), (12,5,13), (5,12,13), (24,7,25), (7,24,25), soamente para citar algúns exemplos. Un conxunto de fórmulas poden facilitar a obtención das Ternas Pitagóricas: z = p^2 + q^2, x = p^2 - q^2, y = 2*p*q, onde p e q son combinacións de números enteiros positivos distintos, con p > q, como por exemplo: 2 e 1; 3 e 1; 3 e 2; 4 e 1; 4 e 2; 4 e 3. Verifique se este tipo de raciocinio continúa valendo para: 5 e 1; 5 e 2; ...; 5 e 4; para 6 e 1; 6 e 2; etc. Hai unha xustificativa alxébrica para tal feito? Este proceso funcionará sempre?
  • x^n + y^n = z^n, que non posúe solucións non nulas para n maior ou igual a 3 (ou sexa para n > 2) que é xustamente denominado o Último Teorema de Fermat - sobre o cal o matemático francés Pierre de Fermat (1601-1665) afirmou nunha pequena nota escrita na marxe dunha páxina do un libro, exactamente ao lado daquela ecuación, posuír unha proba bastante simple para a mesma, mais que non se podería escribir alí, por absoluta falta de espazo. O matemático inglés Andrew Wiles finalmente en 1993, despois de ter usado unha vasta colectánea de novas técnicas e de moitas técnicas antigas da Teoría dos Números ben como tendo dispendido moito tempo de estudo e moitas e moitas follas de papel para resolver este misterio, anunciou a proba deste Teorema, que permanecera, por máis de 300 anos, como un desafío para os máis habilidosos matemáticos.
  • y^2 = x^3 + 17, que posúe exactamente 8 solucións (x,y) onde x e y son números enteiros sendo os valores de x os seguintes: - 2;-1; 2; 4; 8; 43; 52. Os valores de y poden atoparse facilmente a partir destes. Aquí o difícil será mostrar que as únicas solucións posíbeis son estas.
  • Ecuacións alxébricas que posibiliten calcular todos os números enteiros positivos que poidan escribirse como suma de catro cadrados perfectos, como por exemplo: 47 = 36 + 9 + 1 + 1. Para "facilitar", poden ser repetidos os cadrados perfectos, como no exemplo dado; aínda se pode, adoptar o 0 como un cadrado perfeito, como en: 10 = 9 + 1 + 0 + 0 no canto de 10 = 4 + 4 + 1 + 1.

Sábese que moitos números enteiros positivos non se poden escribir desta forma, e isto torna a solución deste problema bastante máis complexa. Este feito podería levar á seguinte pregunta: cantos son os números enteiros positivos menores de 10.000, que non se poden ser escribir como a suma de catro cadrados perfectos? Este problema pode ser aínda presentado como exixindo a utilización de apenas dous cadrados perfectos ou utilizando tres cadrados perfectos. Agora a solución aínda se tornaría máis difícil.

Notas[editar | editar a fonte]

  1. Collette, Jean-Paul (1985) (en castelán). Historia de las matemáticas (volúmenes 1 y 2). Madrid: Siglo XXI Editores S.A.. ISBN 84-323-0526-4.