Número complexo

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Este é un dos 1000 artigos que toda Wikipedia debería ter.
Sistema numérico en matemáticas.
Elementais

\mathbb{N} Naturais {0,1,2,3...}

\mathbb{Z} Enteiros {...-2,-1,0,+1,+2,...}

\mathbb{Q} Racionais { \mathbb{Z} , 1/2 , -33/7 , etc.}
\mathbb{R} Reais {\mathbb{Z} , \mathbb{Q} , \mathrm{Tr}}

\sqrt{3},\sqrt[3]{1/7}, etc}

\mathrm{i} Unidade imaxinaria = \sqrt{-1}
\mathbb{C} Números complexos {\mathbb{R} , \mathrm{i}},
Infinito

Extensións dos números complexos

Bicomplexos
Hipercomplexos
{\mathbb{R},i,j,k} Cuaternións ~i2=j2=k2=ijk=-1
Octonións
Sedenións
Superreais
Hiperreais
Surreais

Especiais

Nominais
Ordinais {1o,2o,...} (de orde)
Cardinais {\aleph_1, \aleph_2, \aleph_3, \cdots}

Outros importantes

Secuencias de enteiros
Constantes matemáticas
Lista de números
Números grandes

Sistemas de numeración
Un número complexo pode representarse xeometricamente no plano complexo ("Re" é o eixe real, "Im" é o eixe imaxinario e "i" é a unidade imaxinaria que satisfai a ecuación i2=-1). A representación do número complexo a+bi é o vector que comeza na orixe e remata no punto (a,b).

Os números complexos son unha extensión dos números reais, cumpríndose que \mathbb{R}\sub\mathbb{C}. Os números complexos representan todas as raíces dos polinomios, a diferenza dos reais.

Os números complexos son a ferramenta de traballo da álxebra ordinaria, chamada álxebra dos números complexos, así como de ramas das matemáticas puras e aplicadas como variábel complexa, aerodinámica e electromagnetismo entre outras de grande importancia.

Conteñen os números reais e os imaxinarios puros e constitúen posibelmente unha das construcións teóricas máis dignas da intelixencia humana. Os análogos do cálculo diferencial e integral con números complexos reciben o nome de variábel complexa ou análise complexo.

Definición[editar | editar a fonte]

Definirase un complexo z como un par ordenado de números reais (a, b) = (Re(z), Im(z)), no que se definen as seguintes operacións:

  • Suma
(a, b) + (c, d) = (a+c,\; b+d)
  • Multiplicación
(a, b) \cdot (c, d) = (ac - bd,\; ad + cb)
  • Igualdade
(a, b) = (c, d) \iff a = c \and b = d

A primera compoñente (a) chámase parte real e a segunda (b), parte imaxinaria. Se un número ten apenas parte imaxinaria dise que é imaxinario puro.

Do xeito en que foron definidos, os números complexos forman un corpo, o corpo complexo, denotado por C (ou máis apropiadamente polo carácter unicode ℂ ). Se identificar o número real a co complexo (a, 0), o corpo dos números reais R aparecerá como un subcorpo de C. Alén diso, C forma un espazo vectorial de dimensión 2 sobre os reais. Os complexos non poden ser ordenados como, por exemplo, os números reais: C non pode ser convertido de ningún xeito nun corpo ordenado.

Unidade imaxinaria[editar | editar a fonte]

Tendo en conta que (a, 0) \cdot (0, 1) = (0, a), é definido un número especial na Matemática de grande importancia, o número i ou unidade imaxinaria, definido como

\mathrm{i} = (0, 1)

Logo,

\mathrm{i}^2 = \mathrm{i} \cdot \mathrm{i} = (0, 1) \cdot (0, 1) = (-1, 0) = -1

Representación binomial[editar | editar a fonte]

Cada complexo é representado en forma binomial como:

z = a + \mathrm{i}b

a é a parte real do número complexo z, e b é a súa parte imaxinaria. Isto é expresado así:

a = \mathrm{Re}(z)

b = \mathrm{Im}(z)

Sinopse histórica[editar | editar a fonte]

A primeira referencia coñecida a raíces cadradas de números negativos provén do traballo dos matemáticos gregos, como Herón da Alexandría no século I antes de Cristo, como resultado dunha imposíbel sección dunha pirámide.

Os complexos fixéronse máis patentes no século XVI, cando a investigación de fórmulas que desen as raíces exactas dos polinomios de graos 2 e 3 foron encontradas por matemáticos italianos como Tartaglia e Cardano. Malia só estaren interesados nas raíces reais deste tipo de ecuacións, encontrábanse coa necesidade de traballaren con raíces de números negativos. O termo imaxinario para estas cantidades foi acuñado por Descartes no século XVII e está en desuso.

A existencia de números complexos non foi completamente aceptada ata a interpretación xeométrica que foi descrita por Wessel en 1799, redescuberta algúns anos despois e popularizada por Gauss. A implementación máis formal, con pares de números reais, foi dada no século XIX.

Véxase tamén[editar | editar a fonte]