Número complexo

Sistema numérico en matemáticas.
Elementais
$\mathbb{N}$ Naturais {0,1,2,3...} $\mathbb{P}$ Primos ⊂$\mathbb{N}$, $\mathbb{P}$=$\mathbb{N}$x:{1,x} {2,3,5,7,11...} Números abundantes Números amigos Números compostos Números defectivos Números perfectos Números sociábeis $\mathbb{Z}$ Enteiros {...-2,-1,0,+1,+2,...} Pares {...-2,0,+2,..} Impares {...-3,-1,+1,+3...} $\mathbb{Q}$ Racionais { $\mathbb{Z} , 1/2 , -33/7$, etc.} $\mathbb{R}$ Reais {$\mathbb{Z} , \mathbb{Q} , \mathrm{i} , \mathrm{Tr}$} Irracionais { $\sqrt{3},\sqrt[3]{1/7},11^{-5}$, etc} Alxébricos $\mathrm{Tr}$Trascendentes Pi(π)≈ 3.1415926535 Número e≈ 2.7182818284 (≠ $\mathbb{Q}$) $\mathrm{i}$ Unidade imaxinaria $= \sqrt{-1}$ $\mathbb{C}$ Números complexos {$\mathbb{R} , \mathrm{i}$}, ∞ Infinito Números infinitos Números transfinitos
Extensións dos números complexos
Bicomplexos Hipercomplexos {$\mathbb{R}$,i,j,k} Cuaternións ~i2=j2=k2=ijk=-1 Octonións Sedenións Superreais Hiperreais Surreais
Especiais
Nominais Ordinais {1o,2o,...} (de orde) Cardinais {$\aleph_1, \aleph_2, \aleph_3, \cdots$}
Outros importantes
Secuencias de enteiros Constantes matemáticas Lista de números Números grandes
Sistemas de numeración
Numeración en base constante Numeración arábiga Numeración babilónica Numeración chinesa Numeración xaponesa Numeración maia Numeración romana

Os números complexos son unha extensión dos números reais, cumpríndose que $\mathbb{R}\sub\mathbb{C}$. Os números complexos representan todas as raíces dos polinomios, a diferenza dos reais.

Os números complexos son a ferramenta de traballo da álxebra ordinaria, chamada álxebra dos números complexos, así como de ramas das matemáticas puras e aplicadas como variábel complexa, aerodinámica e electromagnetismo entre outras de grande importancia.

Conteñen os números reais e os imaxinarios puros e constitúen posibelmente unha das construcións teóricas máis dignas da intelixencia humana. Os análogos do cálculo diferencial e integral con números complexos reciben o nome de variábel complexa ou análise complexo.

Definición

Definirase un complexo z como un par ordenado de números reais (a, b) = (Re(z), Im(z)), no que se definen as seguintes operacións:

• Suma

$(a, b) + (c, d) = (a+c,\; b+d)$

• Multiplicación

$(a, b) \cdot (c, d) = (ac - bd,\; ad + cb)$

• Igualdade

$(a, b) = (c, d) \iff a = c \and b = d$

A primera compoñente (a) chámase parte real e a segunda (b), parte imaxinaria. Se un número ten apenas parte imaxinaria dise que é imaxinario puro.

Do xeito en que foron definidos, os números complexos forman un corpo, o corpo complexo, denotado por C (ou máis apropiadamente polo carácter unicode ℂ ). Se identificar o número real a co complexo (a, 0), o corpo dos números reais R aparecerá como un subcorpo de C. Alén diso, C forma un espazo vectorial de dimensión 2 sobre os reais. Os complexos non poden ser ordenados como, por exemplo, os números reais: C non pode ser convertido de ningún xeito nun corpo ordenado.

Unidade imaxinaria

Tendo en conta que $(a, 0) \cdot (0, 1) = (0, a)$, é definido un número especial na Matemática de grande importancia, o número i ou unidade imaxinaria, definido como

$\mathrm{i} = (0, 1)$

Logo,

$\mathrm{i}^2 = \mathrm{i} \cdot \mathrm{i} = (0, 1) \cdot (0, 1) = (-1, 0) = -1$

Representación binomial

Cada complexo é representado en forma binomial como:

$z = a + \mathrm{i}b$

a é a parte real do número complexo z, e b é a súa parte imaxinaria. Isto é expresado así:

$a = \mathrm{Re}(z)$

$b = \mathrm{Im}(z)$

Sinopse histórica

A primeira referencia coñecida a raíces cadradas de números negativos provén do traballo dos matemáticos gregos, como Herón da Alexandría no século I antes de Cristo, como resultado dunha imposíbel sección dunha pirámide.

Os complexos fixéronse máis patentes no século XVI, cando a pesquisa de fórmulas que desen as raíces exactas dos polinomios de graos 2 e 3 foron encontradas por matemáticos italianos como Tartaglia, Cardano. Malia só estaren interesados nas raíces reais deste tipo de ecuacións, encontrábanse coa necesidade de traballaren con raíces de números negativos. O termo imaxinario para estas cantidades foi acuñado por Descartes no século XVII e está en desuso.

A existencia de números complexos non foi completamente aceptada ata a interpretación xeométrica que foi descrita por Wessel en 1799, redescuberta algúns anos despois e popularizada por Gauss. A implementación máis formal, con pares de números reais, foi dada no século XIX.

Véxase tamén

• Cuaternión
• Vectores
• Leonhard Euler
• Identidade de Euler