Teoría dos números

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
(Redirixido desde "Teoría de números")
Este é un dos 1000 artigos que toda Wikipedia debería ter.
Alegoría da Aritmética, unha das sete artes liberais, portando unha corda anoada (tirada do manuscrito Hortus deliciarum do século XII).

A teoría dos números é a rama da matemática pura que se ocupaba inicialmente do estudo dos números enteiros e dos problemas aritméticos relacionados coa multiplicación e a división de enteiros[1]. É chamada ás veces "A Raíña das Matemáticas" debido ó seu papel fundacional da disciplina[2]. Os teóricos dos números estudan os números primos así como as propiedades de obxectos construídos a partir dos enteiros (e.g. os números racionais) ou definidos como xeneralización destes (e.g. os números enteiros alxébricos).

A simplicidade dos enunciados e a fácil accesibilidade á maioría dos problemas da teoría dos números fan que sexa moi atractiva. En contraposición, outra peculiaridade é a dificultade na resolución dos problemas. Por exemplo, hai máis de 2.300 anos Euclides conxecturou que hai infinitos números primos xemelgos, conxectura que aínda está sen demostrar[1].

Cando dispoñemos os números naturais nunha espiral e destacamos os números primos, observamos un intrigante e non totalmente explicado patrón, chamado espiral de Ulam.

Problemas concretos da teoría dos números chegaron a ser fonte de importantes ramas independentes da matemática. Entre estas están: a teoría dos números primos e as teorías relacionadas da función zeta e das series de Dirichlet, a teoría das ecuacións diofantianas, a teoría aditiva dos números, a teoría métrica dos números, a teoría dos números alxébricos e transcendentes, a teoría alxébrica dos números, a teoría das aproximacións diofantianas, a teoría probabilística dos números, e a xeometría dos números. Algúns exemplos son: unha fonte da teoría analítica dos números foi o problema da distribución dos números primos en series de números naturais e o problema de representar números naturais como sumas de termos dunha forma particular. A resolución de ecuacións diofantianas, e en particular o Último Teorema de Fermat, foi a orixe da teoría alxébrica dos números. O problema de construír un círculo de área unitaria só co uso da regra sen graduar e o compás (Cuadratura do círculo) levou a cuestións acerca da natureza aritmética do número π e, en consecuencia, á creación da teoría dos números alxébricos e transcendentes[1].

Todas as ramas e teorías numéricas mencionadas están interconectadas, complementándose e enriquecéndose mutuamente.

Teoría dos números ou Aritmética?[editar | editar a fonte]

Pierre de Fermat, un dos máis famosos teóricos dos números.

A Teoría dos números foi chamada "Aritmética" ata que a comezos do século XX foi impoñéndose a denominación actual[3].

A xente común usa a palabra "aritmética" para referirse ás "operacións elementais". Tamén adquiriu outros significados en lóxica matemática (e.g. aritmética de Peano), e na ciencia da computación (e.g. punto decimal flotante, que en inglés dise floating point arithmetic).

O uso do termo "aritmética" para referirse á "teoría dos números" volveu a gañar terreo na segunda metade do século XX, en gran parte debido á influencia dos matemáticos franceses[4].

Entretanto, ese termo aínda aparece nos nomes de obxectos matemáticos relacionados como as funcións aritméticas, a aritmética de curvas elípticas ou o teorema fundamental da aritmética. En particular, prefírese o adxectivo "aritmético" a "teórico dos números".

Historia[editar | editar a fonte]

Orixes[editar | editar a fonte]

Albores da aritmética[editar | editar a fonte]

A teoría de números derívase da antiga aritmética grega de Diofanto[5].
Primeira edición de Disquisitiones Arithmeticae, de Gauss.

O primeiro descubrimento histórico de natureza aritmética é un fragmento dunha táboa de arxila, a coñecida como Plimpton 322, achada en Larsa (Mesopotamia) e datada no arredor do 1800 a.C. Contén unha listaxe de ternas pitagóricas, ou sexa, enteiros a, b, c tales que a2+b2=c2. A táboa ten moitas ternas e con números bastante elevados, o que fai pensar que non foron obtidos pola forza bruta. Na parte superior da primeira columna pódese ler: O takiltum da diagonal que foi subtraído tal que a largura...[6]

A táboa Plimpton 322.

A disposición da táboa suxire[7] que foi construída por medio do que equivale, na linguaxe moderna, à identidade:

\left(\frac{1}{2} \left(x - \frac{1}{x}\right)\right)^2 + 1 =
\left(\frac{1}{2} \left(x + \frac{1}{x}\right)\right)^2,

que está implícita nos exercicios rutinarios dos antigos babilonios[8]. Se foi utilizado algún outro método[9], as ternas foran inicialmente construídas e despois reordenadas por \scriptstyle c/a, presumibelmente para un uso real como unha táboa de consulta con vistas á súa aplicación práctica.

Non sabemos cales poden ter sido esas aplicacións, ou se podería ter habido algunha pois se, por exemplo, fose para a astronomía, esta floreceu entre os babilonios máis tarde. Tense suxerido, pola contra, que a táboa fose unha fonte de exemplos numéricos para problemas escolares[10][11].

Mentres que a teoría dos números babilonia, ou o que sobreviviu da súa matemática que se pode chamar así, consiste neste simple e notable fragmento, a álxebra deste pobo (no sentido que a palabra "álxebra" ten no ensino secundario) estaba excepcionalmente desenvolvida[12]. As últimas fontes neoplatónicas[13] sosteñen que Pitágoras aprendeu matemáticas dos babilonios. Fontes máis temperás[14] sosteñen que Tales e Pitágoras estudaron en Exipto.

Euclides IX 21—34 é moi probabelmente pitagórico[15]; é un material moi simple ("impar por par é par", "se un número impar divide a un número par entón tamén divide á metade deste"), pero é todo o que se necesita para probar que \scriptstyle \sqrt{2} é irracional[16]. Os místicos pitagóricos dábanlle moita importancia aos pares e impares[17]. O descubrimento de que \scriptstyle \sqrt{2} é irracional atribúese aos pitagóricos temperás (anteriores a Teodoro)[18]. A revelación (en termos modernos) de que hai números irracionais, semella ter provocada a primeira crise fundacional na historia das matemáticas; a súa proba ou a súa divulgación atribúese ás veces a Hipaso, quen foi expulsado ou apartado da secta pitagórica[19]. É só aquí onde podemos comezar a falar dunha división clara e concisa entre números (enteiros e racionais, os suxeitos da aritmética) e lonxitudes (números reais, sexan racionais ou non).

A tradición pitagórica fala tamén dos chamados números poligonais ou dos números figurados[20]. Mentres que os números cadrados, cúbicos, etc., son vistos agora coma máis naturais cós triangulares, pentagonais, etc., o estudo das sumas dos números triangulares e pentagonais acreditou unha morea de froitos durante os inicios da idade moderna (do século XVII ao XIX).

Coñecemos material aritmético impreciso do antigo Exipto ou as fontes védicas, aínda que hai algunha álxebra en ambas. O teorema chinés do resto aparece como un exercicio[21] na obra de Sun Zi, Suan Ching, tamén coñecida como A matemática clásica de Sun Zi, escrita en data descoñecida entre os anos 220 e 473[22]. Hai un importante paso glosado na solución de Sun Zi[23]: é o problema que foi resolto posteriormente por Aryabhata mediante o método que el chamou kuttaka (véxase embaixo).

Hai tamén algún misticismo numérico nas matemáticas chinesas[24], pero, a diferenza dos pitagóricos, semella que non levan a ningures. Ao igual cos números perfectos dos pitagóricos,os cadrados máxicos chineses pasaron da superstición ao entretemento.

Subdivisións[editar | editar a fonte]

A teoría dos números pódese subdividir en varios campos, de acordo cos métodos que son usados e das cuestións que son investigadas, a saber:

Sobre a Teoría Elemental dos Números[editar | editar a fonte]

Normalmente, o primeiro contacto coa Teoría dos Números é a través da Teoría Elementar dos Números. A través desta disciplina pódense introducir propiedades bastante interesantes e notábeis dos números enteiros, mais, que ao seren propostas como cuestións a seren resolvidas, ou teoremas a seren probados, son xeralmente de difícil solución ou comprobación. Estas cuestións están ligadas basicamente a tres tipos de investigacións, a saber:

  1. Estudos específicos sobre as propiedades dos números primos;
  2. Estudos envolvendo a investigación de algoritmos eficientes para a Aritmética Básica;
  3. Estudos sobre a resolución de Ecuacións Diofantianas;

Estas cuestións directamente ligadas ao estudo do Conxunto dos números enteiros e o seu subconxunto: o Conxunto dos números naturais.

A título de ilustración, algúns dos moitos problemas que se poden focalizar nestas tres áreas da Teoría Elemental dos Números son comentados a continuación:

Propiedades dos números primos[editar | editar a fonte]

Teorema de Euclides[editar | editar a fonte]

"Existe unha cantidade infinita de números primos"

Conxectura de Goldbach[editar | editar a fonte]

"Pódense expresar os números pares, maiores que 2, como a suma de dous números primos?" Esta é a denominada conxectura de Goldbach
formulada en 1746 e ata hoxe non probada, a pesar de ser verificada para números da orde de ata 4*10^14.

Cantos números primos terminan co díxito 7? Serían infinitos? Son 664579 os números primos menores que 10 millóns, sendo que os números primos que terminan en 1, 3, 7 e 9 respectivamente son 166104, 166230, 166211 e 166032, isto corresponde a 24.99%, 25.01%, 25.01% e 24.98% deste total de números. Que suxere isto?

Hai infinitos pares de números denominados primos xemelgos: números primos que diferen un do outro en apenas dúas unidades, como (3 ; 5), (71 ; 73) ou (1000000007; 1000000009)?

Algoritmos eficientes para a aritmética básica[editar | editar a fonte]

Moitas das modernas aplicacións que se están levando a efecto no campo da criptografía (codificación destinada a xerar, almacenar ou ata mesmo transmitir — por exemplo, por telefonía ou máis especificamente pola Internet) — informacións secretas ou confidenciais de forma segura, dependen dalgunhas das propiedades dos números enteiros e dos números primos. Porén as aplicacións aritméticas envolvendo as propiedades dos números enteiros están directamente relacionadas á capacidade de se resolver dous problemas fundamentais:

  1. o problema do test para verificar se o número é primo;
  2. o problema da decomposición en factores primos;

Aparentemente son problemas de simple solución, ata que pasen a envolver numerais con decenas e ata centenas de díxitos.

Ecuacións diofantianas[editar | editar a fonte]

Cando se procuran solucións enteiras (e ás veces racionais) para ecuacións alxébricas dos seguintes tipos:

  • x^2 + y^2 = z^2, por exemplo, que posúe infinitas solucións representadas polas ternas ordenadas (x,y,z) coñecidas como Ternos ou Ternas pitagóricos, onde z é o lado maior dun triángulo rectángulo – a hipotenusa, e x e y os seus catetos: (3,4,5), (4,3,5), (12,5,13), (5,12,13), (24,7,25), (7,24,25), soamente para citar algúns exemplos. Un conxunto de fórmulas poden facilitar a obtención das Ternas Pitagóricas: z = p^2 + q^2, x = p^2 - q^2, y = 2*p*q, onde p e q son combinacións de números enteiros positivos distintos, con p > q, como por exemplo: 2 e 1; 3 e 1; 3 e 2; 4 e 1; 4 e 2; 4 e 3. Verifique se este tipo de raciocinio continúa valendo para: 5 e 1; 5 e 2; ...; 5 e 4; para 6 e 1; 6 e 2; etc. Hai unha xustificativa alxébrica para tal feito? Este proceso funcionará sempre?
  • x^n + y^n = z^n, que non posúe solucións non nulas para n maior ou igual a 3 (ou sexa para n > 2) que é xustamente denominado o Último Teorema de Fermat - sobre o cal o matemático francés Pierre de Fermat (1601-1665) afirmou nunha pequena nota escrita na marxe dunha páxina do un libro, exactamente ao lado daquela ecuación, posuír unha proba bastante simple para a mesma, mais que non se podería escribir alí, por absoluta falta de espazo. O matemático inglés Andrew Wiles finalmente en 1993, despois de ter usado unha vasta colectánea de novas técnicas e de moitas técnicas antigas da Teoría dos Números ben como tendo dispendido moito tempo de estudo e moitas e moitas follas de papel para resolver este misterio, anunciou a proba deste Teorema, que permanecera, por máis de 300 anos, como un desafío para os máis habilidosos matemáticos.
  • y^2 = x^3 + 17, que posúe exactamente 8 solucións (x,y) onde x e y son números enteiros sendo os valores de x os seguintes: - 2;-1; 2; 4; 8; 43; 52. Os valores de y poden atoparse facilmente a partir destes. Aquí o difícil será mostrar que as únicas solucións posíbeis son estas.
  • Ecuacións alxébricas que posibiliten calcular todos os números enteiros positivos que poidan escribirse como suma de catro cadrados perfectos, como por exemplo: 47 = 36 + 9 + 1 + 1. Para "facilitar", poden ser repetidos os cadrados perfectos, como no exemplo dado; aínda se pode, adoptar o 0 como un cadrado perfeito, como en: 10 = 9 + 1 + 0 + 0 no canto de 10 = 4 + 4 + 1 + 1.

Sábese que moitos números enteiros positivos non se poden escribir desta forma, e isto torna a solución deste problema bastante máis complexa. Este feito podería levar á seguinte pregunta: cantos son os números enteiros positivos menores de 10.000, que non se poden ser escribir como a suma de catro cadrados perfectos? Este problema pode ser aínda presentado como exixindo a utilización de apenas dous cadrados perfectos ou utilizando tres cadrados perfectos. Agora a solución aínda se tornaría máis difícil.

Notas[editar | editar a fonte]

  1. 1,0 1,1 1,2 "Number theory" (en inglés). Encyclopedia of Mathematics. Springer. http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Number_theory. Consultado o 6 de xaneiro de 2015.
  2. Long , 1972, p. 1
  3. Xa en 1921 T.L. Heath tivo que explicar: "Por aritmética Platón entendía, non aritmética no noso sentido, senón a ciencia que considera os números en si mesmos, noutras palabras, o que nos entendemos por Teoría dos Números" (Heath , 1921, p. 13).
  4. Véxase, e.g. Serre , 1973. En 1952, Harold Davenport aínda tiña que aclarar que a Teoría dos números era para el a "Aritmética Superior". No limiar do libro An Introduction to the Theory of Numbers (1938), os seus autores Hardy e Wright escribiron: "Nunha ocasión suxerimos cambia-lo título por An introduction to arithmetic, máis novelesco e, en certos aspectos, máis apropiado; mais foi sinalado que este título podería levar a confusión acerca do contido do libro" (Hardy e Wright , 2008).
  5. Collette , 1985
  6. Neugebauer, Sachs & Götze , 1945, p. 40. O significado de termo talkitum non está claro. Robson prefire a interpretación "Ao cadrado da diagonal se lle quita 1 de tal xeito que aparece o lado corto..." (Robson , 2001, p. 192).
  7. Robson , 2001, p. 189. Outras fontes dan a fórmula moderna \scriptstyle (p^2-q^2,2pq,p^2+q^2). Van der Waerden dá tanto a fórmula moderna coma a que equivale á forma preferida por Robson (van der Waerden , 1961, p. 79).
  8. van der Waerden , 1961, p. 184
  9. Neugebauer (Neugebauer , 1969, pp. 36–40) discute a táboa en detalle e menciona de paso o Método de Euclides en notación moderna (Neugebauer , 1969, p. 39).
  10. Friberg , 1981, p. 302
  11. Robson , 2001, p. 201. Hay controversia ao respecto. O artigo de Robson está escrito dun xeito polémico (Robson , 2001, p. 167) coa idea de que "quizais [...] hai que baixar a Plimpton 322 do seu pedestal" (Robson , 2001, p. 167); ao mesmo tempo, establece a conclusión de que

    [...] a cuestión "como foi construída a táboa?" non ten a mesma resposta cá pregunta "para que tipo de problemas foi feita a táboa?" A primeira pode respostarse máis satisfactoriamente por pares recíprocos, como foi primeiramente suxerido hai médio século, e a segunda por algunha clase de problemas de triángulos rectángulos (Robson , 2001, p. 202).

    Robson apunta a idea de que o escriba que gravou a Plimpton 322 (quen tiña que "traballar para toda a vida", e non tería pertencido a unha "acomodada clase media") podería estar motivado pola súa propia "curiosidade ociosa" a falta dun "mercado para as novas matemáticas" (Robson , 2001, pp. 199-200).

  12. van der Waerden , 1961, p. 43
  13. Iámblico na "Vida de Pitágoras", citado en van der Waerden , 1961, p. 108. Véxase tamén a "Vida de Pitágoras" de Porfirio en Guthrie , 1987, parágrafo 6. Van der Waerden (van der Waerden , 1961, pp. 87-90) sostén que Tales coñecía as matemáticas babilonias.
  14. Heródoto (II. 81) e Isócrates ("Busiris" 28), citados en Huffman , 2011. Sobre Tales, véxase Eudemo ap. Proclo, 65.7, citado en O'Grady , 2004, p. 1. Proclo usaba unha obra, hoxe perdida, de Eudemo de Rodas, o "Catálogo de Xeómetras". Ver tamén a introdución de Morrow , 1992, p. xxx sobre a fiabilidade de Proclo.
  15. Becker , 1936, p. 533, citado en van der Waerden , 1961, p. 108.
  16. Becker , 1936
  17. van der Waerden , 1961, p. 109
  18. Platón en Teeteto, citado en von Fritz , 2004, p. 212: "Teodoro escribiu para nós algo acerca das raíces, coma as raíces de tres ou cinco, amosando que son inconmensurábeis pola unidade".
  19. von Fritz , 2004
  20. Heath , 1921, p. 76
  21. Sun Zi, Suan Ching, capítulo 3, problema 26. Pódese consultar en Lam e Ang , 2004, pp. 219-220, que contén unha tradución completa do Suan Ching. Véxase tamén a discusión en Lam e Ang , 2004, pp. 138-140.
  22. A data do texto foi acoutada entre os anos 220–420 (Yan Dunjie) ou entre os anos 280–473 (Wang Ling) a través de evidencias internas (sistemas de taxación asumidos no texto). Véxase Lam e Ang , 2004, pp. 27–28.
  23. Capítulo 3, problema 26 do Suan Ching de Sun Zi en Lam e Ang , 2004, pp. 219–220:

    [26] Now there are an unknown number of things. If we count by threes, there is a remainder 2; if we count by fives, there is a remainder 3; if we count by sevens, there is a remainder 2. Find the number of things. Answer: 23.

    Method: If we count by threes and there is a remainder 2, put down 140. If we count by fives and there is a remainder 3, put down 63. If we count by sevens and there is a remainder 2, put down 30. Add them to obtain 233 and subtract 210 to get the answer. If we count by threes and there is a remainder 1, put down 70. If we count by fives and there is a remainder 1, put down 21. If we count by sevens and there is a remainder 1, put down 15. When [a number] exceeds 106, the result is obtained by subtracting 105.
  24. Véxase, e.g., o capítulo 3, problema 36 do Suan Ching de Sun Zi en Lam e Ang , 2004, pp. 223–224:

    [36] Now there is a pregnant woman whose age is 29. If the gestation period is 9 months, determine the sex of the unborn child. Answer: Male.

    Method: Put down 49, add the gestation period and subtract the age. From the remainder take away 1 representing the heaven, 2 the earth, 3 the man, 4 the four seasons, 5 the five phases, 6 the six pitch-pipes, 7 the seven stars [of the Dipper], 8 the eight winds, and 9 the nine divisions [of China under Yu the Great]. If the remainder is odd, [the sex] is male and if the remainder is even, [the sex] is female.

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Commons
Commons ten máis contidos multimedia na categoría: Teoría dos números Modificar a ligazón no Wikidata

Bibliografía[editar | editar a fonte]

Outros artigos[editar | editar a fonte]

Ligazóns externas[editar | editar a fonte]