Ecuación diferencial

Unha ecuación diferencial é a relación entre unha ou mais variábeis e as súas derivadas.

As ecuación diferencias divídense en dous grandes grupos, con técnicas de resolución diferentes:

• Unha ecuación diferencial ordinaria (EDO) contén apenas funcións de unha variábel e as súas derivadas.

Por exemplo $\,y'= 2xy + 1$ onde $\,y=f(x)$ é a variábel dependente, $\,x$ a variábel independente e $y'=\frac{dy}{dx}$ a derivada de $\,y$ con respecto a $\,x$.

• Unha ecuación diferencial parcial (EDP) contén mais do que unha variábel e as súas derivadas parciais.

Como $\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial v}=0$.

Conceptos

• Orde: orde dunha ecuación é o da súa maior derivada. $\,y'' + 8xy' - 13y = 1$ é de segunda orde.
• Grao: o expoñente ao que está elevada a derivada de maior orde.

• Ecuación linear: unha ecuación é linear se ten a forma $\, a_n(x)y^n + a_{n-1}(x) y^{n-1} + \dots + a_1(x)y' +a_0(x)y=g(x)$

Historia

Aínda que desde os comezos da mecánica se utilizaron métodos para relacionar taxas de cambio, non é até o desenvolvemento do cálculo que se pode comezar a falar de ecuacións diferenciais, a expresión parece que foi utilizada por vez primeira por Leibnitz en 1676 . A primeira clasificación das ecuacións de primeira orde débese a Newton. A finais de século, os irmán Bernouilli introducen o concepto de integrar unha ecuación e o procedemento de separación de variábeis. Euler sistematiza estes traballos e varios posteriores e crea a primeira teoría da ecuacións diferenciais, que segue sendo útil hoxe, aínda que moi ampliada.

Resolución de ecuacións diferenciais

Existen moitos métodos para resolver unha ecuación diferencial, porén non todas as ecuacións teñen solución, e non sempre se pode chegar a ela por métodos analíticos.

unha solución dunha ecuación diferencial é unha función que satisfai a ecuación diferencial para todos os valores de x nun intervalo de interese.

Bibliografía

• Richard Bronson: Ecuaciones diferenciales modernas. McGraw-Hill Mexico 1988
• Frank Ayres: Ecuaciones diferenciales. McGraw-Hill Mexico
• Campbell, Haberman: Ecuaciones diferenciales McGraw-Hill Mexico 1996
• (en inglés) G. Boole A treatise on differential equations (McMillan, Cambridge, 1859)
• (en inglés) W. W. Johnson A treatise on ordinary and partial differential equations. (J. Wiley & Sons, New York, 1889)
• (en inglés) E. Goursat A course of mathematical analysis, part II of volume II (Ginn & co. 1917)
• (en inglés) E. L. Ince Ordinary Differential Equations (Longman Greens, London, 1927)
• (en inglés) A. R. Forsyth A Treatise On Differential Equations (MacMillan, London, 1929)
• (en inglés) E. G. C. Poole Introduction To The Theory Of Linear Differential Equations (Clarendon Press, Oxford, 1936)
• (en francés) E. Picard Traité d'Analyse (vol. 3) (Gauthier-Villars, 1896)
• (en francés) C. Jordan Cours d'Analyse de l'Ecole Polytechnique (vol. 3) (Gauthier-Villars, 1913)