Anel (álxebra)

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

Na álxebra, un anel é unha estrutura alxébrica formada por un conxunto (A) e dúas operacións: suma e produto: (A+,*); de tal xeito que (A,+) é un grupo conmutativo con elemento neutro (que designamos 0), e o produto * é asociativo e ten a propiedade distributiva respecto da suma. Se o produto é conmutativo falaremos dun anel conmutativo e se o anel posúe un elemento neutro para o produto, chamarase anel con unidade.

Definición formal[editar | editar a fonte]

Sexa A un conxunto non baleiro, e sexan \star e \circ dúas operacións binarias en A, dise que o conxunto (A,\star,\circ) \, é un anel se se cumpren as seguintes propiedades:

1. A é pechado baixo a operación \star. \forall a, b \in A, a \star b \in A
2. A operación \star é asociativa. \forall a,b,c \in A, (a \star b) \star c = a \star (b \star c)
3. A operación \star ten a n como elemento neutro. \forall a \in A, a \star n = n \star a = a
4. Existe un elemento simétrico para \star. \forall a \in A, \exists b \in A, a \star b = b \star a = n

Estas catro condicións definen un grupo. Unha quinta condición define un grupo abeliano:

5. A operación \star é conmutativa. \forall a,b \in A, a \star b = b \star a

Para definir un anel, é necesario agregar tres condicións máis que falan acerca da segunda operación binaria:

6. A é pechado baixo a operación \circ. \forall a, b \in A, a \circ b \in A
7. A operación \circ é asociativa. \forall a,b,c \in A, (a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)
8. A operación \circ é distributiva respecto de \star. 
   \forall a, b, c \in A, \quad
   \left \{
      \begin{array}{l}
         a \circ (b \star c) = (a \circ b) \star (a \circ c) \\
         (a \star b) \circ c = (a \circ c) \star (b \circ c) \\
      \end{array}
   \right .

E agregando unha novena condición, defínese un anel conmutativo:

9. A operación \circ é conmutativa. \forall a,b \in A, a \circ b = b \circ a

Definición sintética[editar | editar a fonte]

Usando Lecciones de Álgebra moderna de P. dubreil y M.L. dubreil Jacotin:

Un anel R é un conxunto con dúas leis de composición, chamadas adición e multiplicación, cumprindo as seguintes condición:

  • R é grupo abeliano para a adición; o elemento neutro nesta adición noméase cero do anel, e denótase usualmente 0;
  • R é un semigrupo para a multiplicación;
  • a multiplicación é distributiva (aos dous lados) respecto á adición.

Exemplos[editar | editar a fonte]

O exemplo máis intuitivo e familiar de anel é o conxunto dos números enteiros:

... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...

xunto coas operacións binarias da suma e a multiplicación. Historicamente, o conxunto Z dos enteiros coas súas dúas operacións serviu de base para a formulación do concepto de anel. A razón pola cal estas tres cousas forman un anel, é porque posúen as seguintes propiedades:

  1. Os números enteiros están cerrados baixo a suma: dados dous números enteiros a e b, cúmprese que a + b é un número enteiro.
  2. A suma é asociativa: dados tres números enteiros a, b e c, cúmprese que (a + b) + c = a + (b + c).
  3. Existe un elemento neutro para a suma: para todo número enteiro a, a + 0 = 0 + a = a.
  4. Existe un elemento simétrico para a suma: para todo número enteiro a, sempre existe algún número enteiro b, tal que a + b = 0.
  5. A suma é conmutativa: dados dous números enteiros a e b, cúmprese que a + b = b + a.
  6. Os números enteiros están cerrados baixo a multiplicación: dados dous números enteiros a e b, cúmprese que a × b é un número enteiro.
  7. A multiplicación é asociativa: dados tres números enteiros a, b e c, cúmprese que (a × b) × c = a × (b × c).
  8. Existe un elemento neutro para a multiplicación: para todo número enteiro a, a × 1 = a.
  9. A multiplicación é distributiva respecto da suma: a × (b + c) = (a × b) + (a × c).
Outros exemplos
  • O conxunto H = {m+ni/ m,n están en Q}, H é subconxunto do conxunto C dos complexos, coa adición e multiplicación usuais.
  • O conxunto M das matrices reais de orde 2 coa adición e multiplicación é un anel non conmutativo.
  • O conxunto Z[6] dos restos módulo 6; coa adición e multiplicación de restos; é un anel finito con divisores de 0.
  • O conxunto F[x] dos polinomios con coeficientes en Z, conxunto dos enteiros, coa adición e multiplicación.

Elementos destacables dun anel[editar | editar a fonte]

  • Elemento cero: denotado por 0. É o neutro para a suma. Sexa A un anel arbitrario. 0x = 0 \; \forall x \in A A súa demostración sería:  0x = (0+0)x = 0x+0x. Logo 0x= 0x + 0x. Restando o inverso aditivo de 0x, que existe dado que A é un grupo para a suma, 0x -0x = 0x

Pero 0x-0x= 0. Finalmente 0 = 0x \forall x\in A

  • Elemento unitario: se un elemento, que denotamos 1, cumpre 1 \cdot a = a \cdot 1 = a para todo elemento a do anel, denomínase elemento unitario.

O elemento cero e o elemento unitario só coinciden no caso de que o anel sexa trivial ( {0} ): Demostración: Sexa a\in A a=a1 = a0 =0 Logo, \forall a\in A , a=0

  • Inverso multiplicativo: se estamos nun anel que posúe un elemento unitario, b é inverso multiplicativo pola esquerda (ou simplemente inverso pola esquerda) de a se b \cdot a=1. Así mesmo, c é inverso multiplicativo pola dereita (ou simplemente inverso pola dereita) de a se a \cdot c=1. Un elemento a^{-1} dise que é inverso multiplicativo (ou simplemente inverso) de a se a^{-1} é inverso pola esquerda de a e inverso pola dereita de a, é dicir, a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = 1. Se existe o inverso dun elemento, entón este é único (pois se existira outro, "este deixaría de ser inverso").
  • Elemento inversible, ou elemento invertible ou unidade: é todo aquel elemento que posúe inverso multiplicativo.
  • Divisor de cero: un elemento a \neq 0 é divisor do cero pola esquerda, se existe algún b distinto de 0, tal que a·b=0. Éo pola dereita se existe un c distinto de 0 tal que c·a=0. Dirase que a é divisor de cero se o é tanto pola dereita como pola esquerda.
  • Elemento regular: un elemento a \neq 0 dun anel é regular se non é divisor de cero. Todo elemento invertible é regular.
  • Elemento idempotente: é calquera elemento e do anel que ao multiplicarse por si mesmo non varía, é dicir, tal que e \cdot e=e (isto adóitase escribir como e^2=e). O cero é sempre idempotente nun anel, e se o anel é unitario, tamén o 1 é idempotente.
  • Elemento nilpotente (ou nihilpotente): é calquera elemento x do anel para o que existe un número natural n de forma que x^n = 0 (onde x^n se define por recorrencia: x^0 = 1, x^n = x \cdot x^{n-1}). O 0 é sempre un nilpotente de calquera anel. Todo elemento nilpotente é divisor de cero.

Tipos de aneis[editar | editar a fonte]

Algúns tipos destacables de aneis son:

  • Anel conmutativo: aquel no que o produto é conmutativo, isto é, a·b=b·a para todo a e b (non debe confundirse con anel abeliano).
  • Anel unitario: aquel que posúe un elemento unitario e ademais, este é distinto do neutro da suma.
  • Anel con leis de simplificación: aquel no que se cumpren as leis de simplificación. Se un anel non ten divisores do cero, cúmprense as leis de simplificación, e o recíproco tamén é certo.
  • Dominio de integridade: se un anel non posúe divisores do cero, é un dominio de integridade (tamén se adoita esixirlle que se trate dun anel conmutativo e unitario, mais esta esixencia non é aceptada por todos os autores).
  • Corpo: trátase dun anel de división conmutativo.
  • Anel abeliano: é un anel no que todo elemento idempotente pertence ao centro do anel, é dicir, todo elemento idempotente conmuta con calquera elemento do anel.
  • Anel euclidiano (nome dado por A.I. Kostrikin). Un dominio de integridade R dise que é un anel euclidiano se para calquera elemento x distinto de 0 en R está determinado un enteiro n(x) maior ou igual que 0 e cumpre:

i)Para x e y elementos calquera de R, ningún nulo, n(x) menor ou igual que n(xy).

ii)Para x, y calquera, dous elementos non nulos á vez de R, existen q e r en R, de modo que x=qy+r, sendo r=0 o n(r) menor que n(y).

  • n(x) é unha aplicación de R* en Z≥0, onde R* é o anel sen o seu 0.

Son aneis euclidianos o anel dos enteiros, o dos enteiros gaussianos e os aneis de polinomios. Fraleigh denomínao dominio euclidiano.

Subsistemas notables[editar | editar a fonte]

Subaneis e ideais[editar | editar a fonte]

Un subanel S dun anel R =(A,+,·) é un subconxunto S \subset R que cumpre que é cerrado para a suma e a multiplicación no anel, isto é, se a,b \in S, entón a+b \in S e a\cdot b \in S. Se 1 \in R (é dicir, se o anel é unitario), entón esixirase ademais que 1 \in S. Nótese que neste caso, cando o anel é unitario, {0} non será subanel de R, e so o será se R non é unitario.

Un subanel S é propio cando non coincide con todo o anel, é dicir, se R \neq S.

Resulta pois que un subanel é un anel dentro doutro anel (para as mesmas operacións). En particular, (S,+) é un subgrupo de (R,+).

Pero na Teoría de Aneis hai un tipo de subconxunto máis notable que o de subanel, o de ideal.

Un subconxunto I \subset R é ideal pola esquerda dun anel (A,+,·) se (I,+) é subgrupo de (R,+) e dados calquera r \in R e x \in I tense que r \cdot x \in I.

Un subconxunto I \subset R é ideal pola dereita dun anel (A,+,·) se (I,+) é subgrupo de (R,+) e dados calquera r \in R e x \in I se ten que x \cdot r \in I.

Cando un subconxunto I é ideal pola dereita e ideal pola esquerda dise que é un ideal bilátero (do anel), ou simplemente que é un ideal (do anel).

A propiedade conmutativa asegúranos que en todo anel conmutativo todo ideal pola esquerda é ideal pola dereita, e todo ideal pola dereita é ideal pola esquerda, isto é, todos os ideais (pola esquerda ou pola dereita) dun anel conmutativo son ideais biláteros.

Un ideal I (pola esquerda, pola dereita ou bilátero) dise que é propio se é distinto de todo o anel, isto é, I \neq R.

Unidades[editar | editar a fonte]

O conxunto de elementos invertibles dun anel unitario (R,+,\cdot,1_R) denomínase conxunto de unidades (do anel), e denótase por U(R).

Se I é ideal (pola esquerda, pola dereita ou bilátero) propio dun anel unitario R e U(R) son as súas unidades ou elementos invertibles, entón I \cap U(R) = \varnothing, isto é, ningún ideal propio ten elementos invertibles. En particular, ningún ideal (pola esquerda, pola dereita ou bilátero) propio ten por elemento a 1, o que impide aos ideais ser subaneis de aneis unitarios.

Centro[editar | editar a fonte]

O centro dun anel (R,+,\cdot) (denotado por Z(R)) é o conxunto de elementos que conmutan para o produto, é dicir Z(R):= \{ r \in R : r \cdot s = s \cdot r , \forall s \in R \}. O centro dun anel vén a ser como "a parte conmutativa do anel". Nótese que sempre se ten que 0 \in Z(R). Os aneis conmutativos son, logo, aqueles que coinciden co seu centro, i.e., R=Z(R).

  • O centro do anel das matrices cadradas de orde n constitúese unicamente das matrices escalares.

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Bibliografía[editar | editar a fonte]

  • R.B.J.T. Allenby (1991). Rings, Fields and Groups. Butterworth-Heinemann. ISBN 0-340-54440-6.
  • Atiyah M. F., Macdonald, I. G., Introduction to commutative algebra. Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont. 1969 ix+128 pp.
  • Beachy, J. A. Introductory Lectures on Rings and Modules. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1999.
  • T.S. Blyth and E.F. Robertson (1985). Groups, rings and fields: Algebra through practice, Book 3. Cambridge university Press. ISBN 0-521-27288-2.
  • Dresden, G. "Small Rings." [1]
  • Ellis, G. Rings and Fields. Oxford, England: Oxford University Press, 1993.
  • Goodearl, K. R., Warfield, R. B., Jr., An introduction to noncommutative Noetherian rings. London Mathematical Society Student Texts, 16. Cambridge University Press, Cambridge, 1989. xviii+303 pp. ISBN 0-521-36086-2
  • Herstein, I. N., Noncommutative rings. Reprint of the 1968 original. With an afterword by Lance W. Small. Carus Mathematical Monographs, 15. Mathematical Association of America, Washington, DC, 1994. xii+202 pp. ISBN 0-88385-015-X
  • Jacobson (2009). Basic algebra. 1 (2º ed.). Dover. ISBN 978-0-486-47189-1.
  • Nagell, T. "Moduls, Rings, and Fields." §6 in Introduction to Number Theory. New York: Wiley, pp. 19–21, 1951
  • Nathan Jacobson, Structure of rings. American Mathematical Society Colloquium Publications, Vol. 37. Revised edition American Mathematical Society, Providence, R.I. 1964 ix+299 pp.
  • Nathan Jacobson, The Theory of Rings. American Mathematical Society Mathematical Surveys, vol. I. American Mathematical Society, New York, 1943. vi+150 pp.
  • Kaplansky, Irving (1974). Commutative rings. University of Chicago Press. ISBN 0226424545.
  • Lam, T. Y., A first course in noncommutative rings. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 131. Springer-Verlag, New York, 2001. xx+385 pp. ISBN 0-387-95183-0
  • Lam, T. Y., Exercises in classical ring theory. Second edition. Problem Books in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 2003. xx+359 pp. ISBN 0-387-00500-5
  • Lam, T. Y., Lectures on modules and rings. Graduate Texts in Mathematics, 189. Springer-Verlag, New York, 1999. xxiv+557 pp. ISBN 0-387-98428-3
  • Lang, Serge (2005). Undergraduate Algebra (3º ed.). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-22025-3..
  • Matsumura, Hideyuki (1989). "Commutative Ring Theory". Cambridge Studies in Advanced Mathematics (Cambridge University Press). ISBN 978-0-521-36764-6.
  • McConnell, J. C.; Robson, J. C. Noncommutative Noetherian rings. Revised edition. Graduate Studies in Mathematics, 30. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001. xx+636 pp. ISBN 0-8218-2169-5
  • Pinter-Lucke, James (2007). "Commutativity conditions for rings: 1950–2005". Expositiones Mathematicae 25 (2): 165–174. DOI:10.1016/j.exmath.2006.07.001. ISSN 0723-0869.
  • Rowen, Louis H., Ring theory. Vol. I, II. Pure and Applied Mathematics, 127, 128. Academic Press, Inc., Boston, MA, 1988. ISBN 0-12-599841-4, ISBN 0-12-599842-2
  • Sloane, N. J. A. Sequences A027623 and A037234 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
  • Zwillinger, D. (Ed.). "Rings." §2.6.3 in CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 141–143, 1995