Vector

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

erEn física e mais no cálculo vectorial, un vector é un concepto caracterizado por un valor, é dicir, un escalar, e por un sentido (que pode ser definido nun espazo 3-dimensional, ou en xeral p-dimensional). Os vectores utilízanse para describir magnitudes vectoriais tales como velocidades, aceleracións ou forzas, nas cales é importante considerar non só o valor senón tamén a dirección e máis o sentido.

Aínda que frecuentemente se describa a un vector por un número de "compoñentes", cada un deles dependente do sistema de coordenadas particular que se use, as propiedades dun vector non dependen do sistema de coordenadas usado para o describir.

Un exemplo común dun vector é a forza. Ten un valor e unha orientación en tres dimensións (a diferenza de moitas dimensións espaciais, que teñen dúas), e a suma múltipla das forzas de acordo coa lei do paralelogramo.

En matemáticas, un vector é un elemento dunha estrutura alxébrica chamada espazo vectorial, que esencialmente é un conxunto de elementos cun conxunto de axiomas que debe satisfacer cada un de eles.

Matematicamente un vector pode ser tamén un conxunto de elementos ordenados entre si mais, a diferenza dun conxunto normal como o dos números naturais, neste caso o conxunto está ordenado.

Represéntase por un segmento orientado para denotar o seu sentido (o da frecha), a súa magnitude (a lonxitude da frecha) e mais o punto de onde parte. Para este tipo de vectores (xeralmente bi ou tridimensionais) defínense módulo, dirección e sentido.

Notación[editar | editar a fonte]

Compoñentes dun vector..

Os vectores pódense representar con letras, cunha frecha enriba (\vec{a}), ou simplemente en negriña (\mathbf{a}). As coordenadas ou compoñentes dun vector nun sistema de referencia poden escribirse entre parénteses e separadas con comas:


 \vec{a} = (a_1, a_2, a_3, ..., a_n) .

No espazo vectorial de tres dimensións empréganse tres compoñentes:


 \vec{a} = (a_x, a_y, a_z) .

Outro xeito típico de anotar un vector nas tres dimensións é definilo como a combinación dos vectores unitarios cartesianos i, j e k:

 \vec{a} = a_x \, \vec{i}+ a_y \, \vec{j} + a_z \, \vec{k}

Propiedades[editar | editar a fonte]

Un vector ten as seguintes propiedades:

- Punto de aplicación, é a orixe do vector.

- Módulo, expresa o valor numérico da magnitude vectorial. Represéntase pola lonxitude do segmento, sempre en valor absoluto. Por exemplo, se se quere expresar que o módulo de \vec{a} vale 5 unidades, faise así: |\vec{a}|=5u. Expresado con fórmulas, dado un vector \vec{a} de coordenadas  (a_x, a_y, a_z) o seu módulo é |\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}.

- Dirección, que é a da recta soporte, que se expresa matematicamente cunha ecuación de recta, que se lle chama liña de acción.

- Sentido, distinguíndose dous sentidos sobre a recta de aplicación do vector, graficamente, a punta da frechiña.

Clasificación dos vectores[editar | editar a fonte]

Segundo o seu punto de aplicación:

- Vector fixo, que ten un punto de aplicación definitorio, do que non se despraza.

- Vectores deslizantes, o seu punto de aplicación pode estar en calquera punto dunha recta soporte definida.

- Vector libre, non ten relevancia o seu punto de aplicación.

Outros vectores significantes:

- Vector unitario, un vector cuxo módulo é unha unidade, que se calcula: \vec{u_a} = \frac{(a_x , a_y , a_z)}{|\vec{a}|}. Os vectores unitarios correspondentes a (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1) denomínanse \hat{\imath}, \hat{\jmath} e \hat{k}, sendo  \hat{\imath} o vector unitario do eixe do x,  \hat{\jmath} o vector unitario do eixo y, e  \hat{k} o do z.

- Vector oposto a outro é o que ten o mesmo punto de aplicación, módulo e dirección mais sentido contrario. Así o vector oposto a \vec{a} é -\vec{a}.

- Vectores equipolentes, vectores con igual módulo e sentido, e rectas soporte paralelas e, entón, tamén distintos puntos de aplicación.

- Vectores paralelos, que teñen coordenadas proporcionais entre si (equipolentes con distinto módulo, por exemplo).

- Vectores concorrentes, cando teñen o mesmo punto de aplicación, no caso de vectores fixos, ou cando simplemente teñen un punto en común (punto de concorrencia).

- Vectores coplanares, todos os vectores están contidos no mesmo plano.

- Vectores colineares, que comparten unha mesma recta de acción

Suma e resta de vectores[editar | editar a fonte]

Suma de vectores
Resta de vectores

Método gráfico[editar | editar a fonte]

A suma e resta de vectores ten en conta, ademais da magnitude escalar ou módulo, o sentido das magnitudes intervenientes. Nas figuras achegadas nesta páxina esquematízase o método gráfico para buscar o resultado.

Método do paralelogramo[editar | editar a fonte]

Consiste en pór graficamente os dous vectores de xeito que as respectivas orixes coincidan nun punto, completando o resto do paralelogramo por paralelas. O resultado da suma é a diagonal de dito paralelogramo.

Método do triángulo[editar | editar a fonte]

Consiste en poñer graficamente un vector a continuación de outro, facendo coincidir o extremo inicial dun vector co extremo final do outro vector. O vector suma resultante forma un triángulo canda estes dous vectores, que corresponde ao lado oposto ao vértice dos vectores colocados correctamente, ou dito doutro xeito, vai dende a orixe dun vector até a fin do outro (a e b respectivamente no debuxo adxacente)

Método analítico[editar | editar a fonte]

  • A suma

Con dous vectores de coordenadas,

 \vec{a} = (a_x , a_y , a_z)
 \vec{b} = (b_x , b_y , b_z )

o resultado da suma é:


   \vec{a}+ \vec{b} =
   [(a_x + b_x) , (a_y + b_y) , (a_z + b_z)]
  • A resta

Para restar dous vectores libres  \vec{a} e  \vec{b} súmase  \vec{a} co oposto de  \vec{b} :


   \vec{a} - \vec{b} =
   \vec{a} + ( - \vec{b})

O resultado da resta é:


   \vec{a} - \vec{b} =
   [(a_x - b_x) , (a_y - b_y) , (a_z - b_z)]

Módulo resultante[editar | editar a fonte]

Dados dous vectores \vec{a} e \vec{b}, de módulos coñecidos e que forman o ángulo \theta entre si, pódese obter o módulo \left|\vec{a}+\vec{b}\right| coa seguinte fórmula:

\left| \vec{a} + \vec{b} \right| = \sqrt{\left. | \vec{a} \right|^2 + \left| \vec{b}
\right|^2 + 2| \vec{a} | \left| \vec{b} \right| \cos \theta }

Dedución da expresión[editar | editar a fonte]

Sexan dous vectores \vec{a} e \vec{b} que forman un ángulo \theta entre si:

Imaxe de vectores colocados

A fórmula para calcular \left| \vec{a} + \vec{b} \right| dedúcese observando os triángulos rectángulos que se forman, OCB e ACB, e aplicando o Teorema de Pitágoras. No triángulo OCB:

OB^2 = OC^2 + CB^2

OB = | \vec{a} + \vec{b} |

OC = \left| \vec{a} \left| + AC \right. \right.

Resultando:

\left| \vec{a} + \vec{b} \right|^2 = \left( | \vec{a} | + AC \right)^2
+ CB^2

No triángulo ACB :

\frac{AC}{| \vec{b} |} = \cos \theta

AC = | \vec{b} | \cos \theta

\frac{CB}{| \vec{b} |} = sen \theta

CB = | \vec{b} | sen \theta

Substituíndo isto na igualdade de antes resulta:

\left| \vec{a} + \vec{b} \right|^2 = \left( | \vec{a} | + | \vec{b} | \cos
\theta \right)^2 + \left( \left| \vec{b} | sen \theta \right)^2 \right.

\left. \left| \vec{a} + \vec{b} \right|^2 = | \vec{a} |^2 + 2| \vec{a} | |
\vec{b} \right| \cos \theta + \left| \vec{b} \right|^2 \cos^2 \theta + \left|
\vec{b} \right|^2 sen^2 \theta

\left. \left| \vec{a} + \vec{b} \right|^2 = | \vec{a} |^2 + 2| \vec{a} | |
\vec{b} \right| \cos \theta + \left| \vec{b} \right|^2 \left( \cos^2 \theta +
sen^2 \theta \right)

\left. \cos^2 \theta + sen^2 \theta = 1 \rightarrow \left| \vec{a} +
\vec{b} \right|^2 = | \vec{a} |^2 + 2| \vec{a} | | \vec{b} \right| \cos \theta
+ \left| \vec{b} \right|^2

\left| \vec{a} + \vec{b} \right| = \sqrt{\left. | \vec{a} |^2 + 2| \vec{a} | |
\vec{b} \right| \cos \theta + \left| \vec{b} \right|^2}

\left| \vec{a} + \vec{b} \right| = \sqrt{\left. | \vec{a} |^2 + \left| \vec{b}
\right|^2 + 2| \vec{a} | | \vec{b} \right| \cos \theta}

Obtención da Dirección[editar | editar a fonte]

Para obter os ángulos \alpha, \beta directores no anterior exemplo temos que coñecer o ángulo \theta e ter calculado \left|\vec{a}+\vec{b}\right| .

Podemos usar esta fórmula:

\frac{|\vec{b}|}{sen \alpha }=\frac{|\vec{a}|}{sen \beta }=\frac{\left|\vec{a}+\vec{b}\right|}{sen \theta }

Coa fórmula obteremos os seos, despois para achar o ángulo a partir do seo temos que ter en conta que:

\alpha + \beta = \theta

Produto dun vector por un escalar[editar | editar a fonte]

Produto por un escalar

O produto dun vector cun escalar é outro vector que conserva a dirección orixinal, o seu módulo é o produto do escalar polo módulo do vector e o sentido é o mesmo ou oposto segundo o escalar sexa positivo ou negativo respectivamente.

Graficamente sería poñer, sobre a mesma recta da dirección, o módulo tantas veces como marque o escalar, e de ser negativo, viralo sentido do vector (mire o debuxo).

Analiticamente, un número  n \, e un vector \vec a, o produto  n \, \vec a realízase multiplicando cada unha das compoñentes do vector polo escalar. Dado o vector de tres compoñente

 \vec a = ( a_x , a_y , a_z )

o seu produto polo escalar é

 n \, \mathbf{a} = ( na_x, na_y, na_z )

é dicir, multiplícase por n \, cada unha das compoñentes do vector.

Ángulo entre dous vectores[editar | editar a fonte]

Dados os vectores  \vec{a} = (a_x , a_y , a_z) e  \vec{b} = (b_x , b_y , b_z ) , o ángulo  \theta calcúlase polo seu coseno:

 cos \theta = \frac{a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z}{|\vec{a}||\vec{b}|}

Isto deriva do produto escalar.

Produto escalar[editar | editar a fonte]

Artigo principal: Produto escalar.
AB = |A| |B| cos(θ).
|A| cos(θ) é a proxección escalar de A sobre B.


\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=
|\mathbf{A}| |\mathbf{B}| \cos \theta =
A \,B \,\cos \theta

Produto vectorial[editar | editar a fonte]

Artigo principal: Produto vectorial.


|\mathbf{A} \times \mathbf{B}|=
|\mathbf{A}| |\mathbf{B}| \sin \theta =
A \,B \,\sin \theta

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Outros artigos[editar | editar a fonte]

Ligazóns externas[editar | editar a fonte]