Vector

En física e mais no cálculo vectorial, un vector é un concepto caracterizado por un valor, é dicir, un escalar, e por un sentido (que pode ser definido nun espazo 3-dimensional, ou en xeral p-dimensional). Os vectores utilízanse para describir magnitudes vectoriais tales como velocidades, aceleracións ou forzas, nas cales é importante considerar non só o valor senón tamén a dirección e máis o sentido.

Aínda que frecuentemente se describa a un vector por un número de "compoñentes", cada un deles dependente do sistema de coordenadas particular que se use, as propiedades dun vector non dependen do sistema de coordenadas usado para o describir.

Un exemplo común dun vector é a forza. Ten un valor e unha orientación en tres dimensións (a diferenza de moitas dimensións espaciais, que teñen dúas), e a suma múltipla das forzas de acordo coa lei do paralelogramo.

En matemáticas, un vector é un elemento dunha estrutura alxébrica chamada espazo vectorial, que esencialmente é un conxunto de elementos cun conxunto de axiomas que debe satisfacer cada un de eles.

Matematicamente un vector pode ser tamén un conxunto de elementos ordenados entre si mais, a diferenza dun conxunto normal como o dos números naturais, neste caso o conxunto está ordenado.

Represéntase por un segmento orientado para denotar o seu sentido (o da frecha), a súa magnitude (a lonxitude da frecha) e mais o punto de onde parte. Para este tipo de vectores (xeralmente bi ou tridimensionais) defínense módulo, dirección e sentido.

Notación

Compoñentes dun vector..

Os vectores pódense representar con letras, cunha frecha enriba ($\vec{a}$), ou simplemente en negriña ($\mathbf{a}$). As coordenadas ou compoñentes dun vector nun sistema de referencia poden escribirse entre parénteses e separadas con comas:

$\vec{a} = (a_1, a_2, a_3, ..., a_n)$.

No espazo vectorial de tres dimensións empréganse tres compoñentes:

$\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$.

Outro xeito típico de anotar un vector nas tres dimensións é definilo como a combinación dos vectores unitarios cartesianos i, j e k:

$\vec{a} = a_x \, \vec{i}+ a_y \, \vec{j} + a_z \, \vec{k}$

Propiedades

Un vector ten as seguintes propiedades:

- Punto de aplicación, é a orixe do vector.

- Módulo, expresa o valor numérico da magnitude vectorial. Represéntase pola lonxitude do segmento, sempre en valor absoluto. Por exemplo, se se quere expresar que o módulo de $\vec{a}$ vale 5 unidades, faise así: $|\vec{a}|=5u$. Expresado con fórmulas, dado un vector $\vec{a}$ de coordenadas $(a_x, a_y, a_z)$ o seu módulo é $|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$.

- Dirección, que é a da recta soporte, que se expresa matematicamente cunha ecuación de recta, que se lle chama liña de acción.

- Sentido, distinguíndose dous sentidos sobre a recta de aplicación do vector, graficamente, a punta da frechiña.

Clasificación dos vectores

Segundo o seu punto de aplicación:

- Vector fixo, que ten un punto de aplicación definitorio, do que non se despraza.

- Vectores deslizantes, o seu punto de aplicación pode estar en calquera punto dunha recta soporte definida.

- Vector libre, non ten relevancia o seu punto de aplicación.

Outros vectores significantes:

- Vector unitario, un vector cuxo módulo é unha unidade, que se calcula: $\vec{u_a} = \frac{(a_x , a_y , a_z)}{|\vec{a}|}$. Os vectores unitarios correspondentes a (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1) denomínanse $\hat{\imath}$, $\hat{\jmath}$ e $\hat{k}$, sendo $\hat{\imath}$ o vector unitario do eixe do x, $\hat{\jmath}$ o vector unitario do eixo y, e $\hat{k}$ o do z.

- Vector oposto a outro é o que ten o mesmo punto de aplicación, módulo e dirección mais sentido contrario. Así o vector oposto a $\vec{a}$ é $-\vec{a}$.

- Vectores equipolentes, vectores con igual módulo e sentido, e rectas soporte paralelas e, entón, tamén distintos puntos de aplicación.

- Vectores paralelos, que teñen coordenadas proporcionais entre si (equipolentes con distinto módulo, por exemplo).

- Vectores concorrentes, cando teñen o mesmo punto de aplicación, no caso de vectores fixos, ou cando simplemente teñen un punto en común (punto de concorrencia).

- Vectores coplanares, todos os vectores están contidos no mesmo plano.

- Vectores colineares, que comparten unha mesma recta de acción

Suma e resta de vectores

Suma de vectores

Resta de vectores

Método gráfico

A suma e resta de vectores ten en conta, ademais da magnitude escalar ou módulo, o sentido das magnitudes intervintes. Nas figuras achegadas nesta páxina esquematízase o método gráfico para buscar o resultado.

Método do paralelogramo

Consiste en pór graficamente os dous vectores de xeito que as respectivas orixes coincidan nun punto, completando o resto do paralelogramo por paralelas. O resultado da suma é a diagonal de dito paralelogramo.

Método do triángulo

Consiste en poñer graficamente un vector a continuación de outro, facendo coincidir o extremo inicial dun vector co extremo final do outro vector. O vector suma resultante forma un triángulo canda estes dous vectores, que corresponde ao lado oposto ao vértice dos vectores colocados correctamente, ou dito doutro xeito, vai dende a orixe dun vector até a fin do outro (a e b respectivamente no debuxo adxacente)

Método analítico

• A suma

Con dous vectores de coordenadas,

$\vec{a} = (a_x , a_y , a_z)$

$\vec{b} = (b_x , b_y , b_z )$

o resultado da suma é:

$\vec{a}+ \vec{b} = [(a_x + b_x) , (a_y + b_y) , (a_z + b_z)]$

• A resta

Para restar dous vectores libres $\vec{a}$ e $\vec{b}$ súmase $\vec{a}$ co oposto de $\vec{b}$:

$\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + ( - \vec{b})$

O resultado da resta é:

$\vec{a} - \vec{b} = [(a_x - b_x) , (a_y - b_y) , (a_z - b_z)]$

Módulo resultante

Dados dous vectores $\vec{a}$ e $\vec{b}$, de módulos coñecidos e que forman o ángulo $\theta$ entre si, pódese obter o módulo $\left|\vec{a}+\vec{b}\right|$ coa seguinte fórmula:

$\left| \vec{a} + \vec{b} \right| = \sqrt{\left. | \vec{a} \right|^2 + \left| \vec{b} \right|^2 + 2| \vec{a} | \left| \vec{b} \right| \cos \theta }$

Dedución da expresión

Sexan dous vectores $\vec{a}$ e $\vec{b}$ que forman un ángulo $\theta$ entre si:

A fórmula para calcular $\left| \vec{a} + \vec{b} \right|$ dedúcese observando os triángulos rectángulos que se forman, OCB e ACB, e aplicando o Teorema de Pitágoras. No triángulo OCB:

$OB^2 = OC^2 + CB^2$

$OB = | \vec{a} + \vec{b} |$

$OC = \left| \vec{a} \left| + AC \right. \right.$

Resultando:

$\left| \vec{a} + \vec{b} \right|^2 = \left( | \vec{a} | + AC \right)^2 + CB^2$

No triángulo ACB :

$\frac{AC}{| \vec{b} |} = \cos \theta$

$AC = | \vec{b} | \cos \theta$

$\frac{CB}{| \vec{b} |} = sen \theta$

$CB = | \vec{b} | sen \theta$

Substituíndo isto na igualdade de antes resulta:

$\left| \vec{a} + \vec{b} \right|^2 = \left( | \vec{a} | + | \vec{b} | \cos \theta \right)^2 + \left( \left| \vec{b} | sen \theta \right)^2 \right.$

$\left. \left| \vec{a} + \vec{b} \right|^2 = | \vec{a} |^2 + 2| \vec{a} | | \vec{b} \right| \cos \theta + \left| \vec{b} \right|^2 \cos^2 \theta + \left| \vec{b} \right|^2 sen^2 \theta$

$\left. \left| \vec{a} + \vec{b} \right|^2 = | \vec{a} |^2 + 2| \vec{a} | | \vec{b} \right| \cos \theta + \left| \vec{b} \right|^2 \left( \cos^2 \theta + sen^2 \theta \right)$

$\left. \cos^2 \theta + sen^2 \theta = 1 \rightarrow \left| \vec{a} + \vec{b} \right|^2 = | \vec{a} |^2 + 2| \vec{a} | | \vec{b} \right| \cos \theta + \left| \vec{b} \right|^2$

$\left| \vec{a} + \vec{b} \right| = \sqrt{\left. | \vec{a} |^2 + 2| \vec{a} | | \vec{b} \right| \cos \theta + \left| \vec{b} \right|^2}$

$\left| \vec{a} + \vec{b} \right| = \sqrt{\left. | \vec{a} |^2 + \left| \vec{b} \right|^2 + 2| \vec{a} | | \vec{b} \right| \cos \theta}$

Obtención da Dirección

Para obter os ángulos $\alpha, \beta$ directores no anterior exemplo temos que coñecer o ángulo $\theta$ e ter calculado $\left|\vec{a}+\vec{b}\right|$ .

Podemos usar esta fórmula:

$\frac{|\vec{b}|}{sen \alpha }=\frac{|\vec{a}|}{sen \beta }=\frac{\left|\vec{a}+\vec{b}\right|}{sen \theta }$

Coa fórmula obteremos os seos, despois para achar o ángulo a partir do seo temos que ter en conta que:

$\alpha + \beta = \theta$

Produto dun vector por un escalar

Produto por un escalar

O produto dun vector cun escalar é outro vector que conserva a dirección orixinal, o seu módulo é o produto do escalar polo módulo do vector e o sentido é o mesmo ou oposto segundo o escalar sexa positivo ou negativo respectivamente.

Graficamente sería poñer, sobre a mesma recta da dirección, o módulo tantas veces como marque o escalar, e de ser negativo, viralo sentido do vector (mire o debuxo).

Analiticamente, un número $n \,$ e un vector $\vec a$, o produto $n \, \vec a$ realízase multiplicando cada unha das compoñentes do vector polo escalar. Dado o vector de tres compoñente

$\vec a = ( a_x , a_y , a_z )$

o seu produto polo escalar é

$n \, \mathbf{a} = ( na_x, na_y, na_z )$

é dicir, multiplícase por $n \,$ cada unha das compoñentes do vector.

Ángulo entre dous vectores

Dados os vectores $\vec{a} = (a_x , a_y , a_z)$ e $\vec{b} = (b_x , b_y , b_z )$, o ángulo $\theta$ calcúlase polo seu coseno:

$cos \theta = \frac{a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z}{|\vec{a}||\vec{b}|}$

Isto deriva do produto escalar.

Produto escalar

Artigo principal: Produto escalar.

A • B = |A| |B| cos(θ).
|A| cos(θ) é a proxección escalar de A sobre B.

$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}= |\mathbf{A}| |\mathbf{B}| \cos \theta = A \,B \,\cos \theta$

Produto vectorial

Artigo principal: Produto vectorial.

$|\mathbf{A} \times \mathbf{B}|= |\mathbf{A}| |\mathbf{B}| \sin \theta = A \,B \,\sin \theta$

Véxase tamén

Outros artigos

• Escalar
• Espazo vectorial
• Cálculo vectorial

Ligazóns externas

• Xoga con vectores
• Suma e resta de vectores (en castelán)