Espazo vectorial

Un dos conceptos básicos en álxebra linear é o de espazo vectorial ou espazo linear.

A noción común de vectores como obxectos con tamaño, dirección e sentido, xuntamente coas operacións de adición e multiplicación por números reais forma a idea básica dun espazo vectorial. Deste punto de partida entón, para definirmos un espazo vectorial, precisamos dun conxunto de elementos e dúas operacións definidas sobre os elementos deste conxunto, adición e multiplicación por números reais. A multiplicación por reais pode ser trocada aínda por algo máis xeral como se mostra a continuación.

Non é necesario que os vectores teñan interpretación xeométrica, senón poden ser calquera obxecto que satisfaga os axiomas de baixo. Os Polinomios de grao n forman un espazo vectorial, por exemplo, así como grupos de matrices NxM e o espazo de todas as funcións dun conxunto noutro (con algunhas condicións adicionais).

Definición

Un espazo vectorial é unha entidade formada polos seguintes elementos:

Un corpo F, é dicir, un conxunto dotado de dúas operacións internas con propiedades distributivas, elemento inverso etc. na cal os seus elementos farán o papel dos escalares. Os números reais son un exemplo de corpo.
Un conxunto V dotado dunha operación binaria (representada aquí polo sinal +) de $V\times V\rightarrow V$ . Os elementos de V chámanse vectores.
Unha operación . de $F\times V\rightarrow V$ .

As seguintes regras deben valer para que os elementos mencionados constitúan un espazo vectorial:

(u+v)+w=u+(v+w) \forall u,v,w en V
u+v = v+u \forall u,v en V
Hai un elemento O de V, tal que u+O=u \forall u en V
Para todo elemento v de V hai un elemento u tal que v+u=O
a.(b.u)=(a.b).u para a,b en F e u en V
Se 1 é a unidade de F, 1.u=u para u en V
a.(u+v)= a.u+a.v para a en F u,v en V
(a+b).u= a.u+b.u para a,b en F e u en V

As definicións de 1 a 4 mostran que, en canto á operación de adición, un espazo vectorial é un grupo abeliano.

O concepto de espazo vectorial (e os vectores como os seus elementos) é enteiramente abstracto, como os conceptos de grupos, aneis, corpos etc. Para determinar se un conxunto V é un espazo vectorial, temos simplemente que especificar o conxunto, o corpo F, e definir adición e multiplicación por escalar en V. Entón, se V satisfixese as condicións mencionadas, será un espazo vectorial sobre o corpo F.

Terminoloxía

Un espazo vectorial sobre $\mathbb {R}$ , o conxuntos dos números reais, chámase espazo vectorial real.
Un espazo vectorial sobre $\mathbb {C}$ , o conxuntos dos números complexos, chámase espazo vectorial complexo.
Un espazo vectorial cun concepto definido de lonxitude, isto é unha norma definida, chámase espazo vectorial normado.

Conxunto de xeradores e bases

Un subconxunto S dun F-espazo vectorial V dise un conxunto de xeradores de V se todo vector de V pode expresarse como combinación lineal finita dos vectores de S, isto é, $\forall v\in V,\exists \lambda _{1},...,\lambda _{n}\in F,v_{1},...v_{n}\in V$ de xeito que $v=\lambda _{1}v_{1}+...+\lambda _{n}v_{n}$

Se alén disto S fose un conxunto linearmente independente, entón diremos que S é unha base para o espazo vectorial V. Se un espazo vectorial posúe un conxunto finito de xeradores, entón tódalas bases do mesmo teñen o mesmo número de elementos. A este número coñéceselle como dimensión.