Polinomio

En matemáticas, as funcións polinomiais ou polinomios son unha clase de funcións simples e infinitamente diferenciábeis. Debido á natureza da súa estrutura, os polinomios son moi simples de avaliar e por consecuencia úsanse extensivamente na análise numérica.

Historia

Determinar as raíces de polinomios, ou "resolver ecuacións alxébricas", é un dos problemas máis antigos da matemática. Algúns polinomios, tales como $f(x)=x^{2}+1$, non posúen raíces dentro do conxunto dos números reais. Se, no entanto, o conxunto de candidatos posíbeis se expande ao conxunto dos números imaxinarios, ou sexa, se se ten en conta o conxunto dos números complexos, entón todo polinomio (non-constante) posúe polo menos unha raíz (teorema fundamental da álxebra).

Existe unha diferenza entre a aproximación de raíces e a determinación de fórmulas concretas que as definen. As fórmulas para a determinación das raíces dos polinomios de ata 4º grao son coñecidas desde o século XVI (ver ecuación cuadrática, Gerolamo Cardano, Niccolo Fontana Tartaglia).. En 1824, Niels Henrik Abel probou que non pode haber unha fórmula xeral (incluíndo apenas as operacións aritméticas e radicais) para a determinación de raíces de polinomios de grao igual ou superior ao 5º en termos de coeficientes (ver teorema de Abel-Ruffini). Este resultado marcou o comezo da teoría de Galois, onde se aplica a un estudo detallado das relacións entre as raíces de polinomios.

Definición

Para a sucesión de termos $a_{0},...,a_{n}\in \mathbb {R}$ (ou $\mathbb {C}$) con $a_{n}>$ diferente de cero, un polinomio de grao n (ou tamén función racional enteira) é unha función que posúe a forma

$f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+....a_{1}x+a_{0}\,$,con $a_{n}\,$ diferente de 0

Alternativamente, o polinomio pode ser escrito recorrendo á notación sigma

$f(x)=\sum _{v=0}^{n}a_{v}x^{v}\,$

Os elementos $a_{0},...,a_{n}$ denomínanse de coeficientes do polinomio e o termo $a_{0}$ de coeficiente constante.

Cada elemento sumado $a_{n}x^{n}$ do polinomio denomínase termo. Un polinomio cun, dous ou tres termos chámase de monomio, binomio ou trinomio respectivamente.

En relación ao grao, os polinomios de:

• grao 0 chámanse funcións constantes,
• grao 1 chámanse funcións lineares caso $a_{0}=0$ e funcións afins caso $a_{0}\neq 0$,
• grao 2 chámanse funcións cuadráticas,
• grao 3 chámanse funcións cúbicas,

Pódese estender a definición de polinomio para incluír $f(x)=0$, chamado polinomio nulo. O polinomio nulo non posúe grao definido.

A raíz (ou cero) dun polinomio $f(x)$ é un valor de $x$ tal que $f(x)=0$.

Notas

Os polinomios ata o grao n e mais o polinomio nulo forman un espazo vectorial que se denomina normalmente Π_n. Neste artigo os polinomios representáronse a partir dunha base monomial (ex.: $1,x,x^{2},...,x^{n}$) mais debe notarse que se pode usar calquera outra secuencia polinomial como base, como por exemplo os polinomios de Chebyshev.

Véxase tamén

Outros artigos

• secuencia polinomial
• polinomios de Chebyshev
• polinomio de Ehrhart
• polinomio de Hermite
• polinomio de Hurwitz
• polinomios de Legendre
• interpolación polinomial