Serie (matemáticas)

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

En matemáticas, unha serie é a suma dos términos dunha sucesión. Represéntase unha serie con términos a_n como

\sum_{i=1}^N a_n

onde N é o índice final da serie. As series infinitas van desde 1 ata \infty.

As series poden converxer ou diverxer. En cálculo, unha serie diverxe se converxe a infinito. Para os matemáticos, unha serie diverxe se non converxe a nada.


Algúns tipos de series[editar | editar a fonte]

  • Unha serie xeométrica é unha serie onde cada sucesivo término está producido multiplicando o término previo por unha constante. Exemplo:
1 + {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + {1 \over 16} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty{1 \over 2^n}.
En xeral, as series xeométricas
\sum_{n=0}^\infty z^n
converxen se e soamente se |z| < 1.
1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} + {1 \over 5} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty {1 \over n}.
  • Unha serie alternada é unha serie onde os términos alternan o signo. Exemplo:
1 - {1 \over 2} + {1 \over 3} - {1 \over 4} + {1 \over 5} - \cdots =\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} {1 \over n}.

Criterios de converxencia[editar | editar a fonte]

Clasificar unha serie é determinar se converxe a un número real ou se diverxe (\pm \infty ou oscilante). Para isto existen distintos criterios que, aplicados á serie en cuestión, mostrarán de que tipo é (converxente ou diverxente).

Se unha serie \sum_{k=1}^{\infty} a_k é converxente, entón \lim_{k \rightarrow \infty} a_k=0.

O recíproco non é certo. Por iso, o contra recíproco é:

Se \lim_{k \rightarrow \infty} a_k\neq 0 entón \sum_{k=1}^{\infty} a_k é diverxente

Criterio de D'Alembert[editar | editar a fonte]

Sexa unha serie \sum_{k=1}^{\infty} a_k, tal que a_k>0 (términos non negativos).

Se existe

\lim_{k \rightarrow \infty} \frac {a_{k+1}}{a_k}=l

con l \, \varepsilon \, [0, +\infty], o Criterio de D'Alembert establece que:

  • se l < 1, a serie converxe.
  • se l > 1, a serie diverxe.
  • se l = 1, non é posible dicir nada sobre o comportamento da serie.

Neste caso, é necesario probar outro criterio, coma o criterio de Raabe.

Criterio de Cauchy (raíz enésima)[editar | editar a fonte]

Sexa unha serie \sum_{k=1}^{\infty} a_k, tal que a_k>0 (terminos non negativos). E supoñamos que existe

\lim_{k \rightarrow \infty} \sqrt [k] {a_k}=l, siendo l \, \varepsilon \, [0, +\infty]

Entón, se l < 1, a serie é converxente. En cambio se l > 1 entón a serie é diverxente. Ó igual que o criterio de D'Alembert, se l=1, non podemos concluir nada a priori, debemos ver o criterio de Raabe, para ver se podemos concluir algo.

Criterio de Raabe[editar | editar a fonte]

Normalmente utilizase despois de comprobrar os criterios de D'Alembert e da raíz. Nalgunhas series, pode ocurrir que o límite que nos de a_k, sexa distinto usando os dous criterios. Cando isto ocurre, recurrimos ó criterio de Raabe. Tamén debemos recurrir a el cando o límite de a_k que nos produce é igual a 1 (mediante os criterio de D'Alembert e da raíz).

Sexa unha serie \sum_{k=1}^{\infty} a_k, tal que a_k>0 (términos non negativos). E supoñamos que existe

\lim_{k \rightarrow \infty} k \left ( 1 - \frac {a_{k+1}}{a_k} \right ), sendo l \, \varepsilon \, (-\infty , +\infty )

Por tanto, se l > 1, entón a serie é converxente e se l < 1, a serie é diverxente

Ter coidado aquí, pois as conclusións son ó contrario que nos criterios de D'Alembert e da raíz.

Tipos de converxencia[editar | editar a fonte]

Converxencia absoluta[editar | editar a fonte]

Unha serie a_n converxe absolutamente se

\sum_{i=1}^\infty \left\| {a_n}\right\|

As series utilízanse moito na análise complexa e a análise funcional, onde é relevante se unha serie converxe.