Serie (matemáticas)

En matemáticas, unha serie é a suma dos términos dunha sucesión. Represéntase unha serie con términos $a_n$ como

$\sum_{i=1}^N a_n$

onde N é o índice final da serie. As series infinitas van desde 1 ata $\infty$.

As series poden converxer ou diverxer. En cálculo, unha serie diverxe se converxe a infinito. Para os matemáticos, unha serie diverxe se non converxe a nada.

Algúns tipos de series

• Unha serie xeométrica é unha serie onde cada sucesivo término está producido multiplicando o término previo por unha constante. Exemplo:

$1 + {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + {1 \over 16} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty{1 \over 2^n}.$

En xeral, as series xeométricas

$\sum_{n=0}^\infty z^n$

converxen se e soamente se |z| < 1.

• Unha serie harmónica é do tipo

$1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} + {1 \over 5} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty {1 \over n}.$

• Unha serie alternada é unha serie onde os términos alternan o signo. Exemplo:

$1 - {1 \over 2} + {1 \over 3} - {1 \over 4} + {1 \over 5} - \cdots =\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} {1 \over n}.$

Criterios de converxencia

Clasificar unha serie é determinar se converxe a un número real ou se diverxe ($\pm \infty$ ou oscilante). Para isto existen distintos criterios que, aplicados á serie en cuestión, mostrarán de que tipo é (converxente ou diverxente).

Se unha serie $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ é converxente, entón $\lim_{k \rightarrow \infty} a_k=0$.

O recíproco non é certo. Por iso, o contra recíproco é:

Se $\lim_{k \rightarrow \infty} a_k\neq 0$ entón $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ é diverxente

Criterio de D'Alembert

Sexa unha serie $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$, tal que $a_k>0$ (términos non negativos).

Se existe

$\lim_{k \rightarrow \infty} \frac {a_{k+1}}{a_k}=l$

con $l \, \varepsilon \, [0, +\infty]$, o Criterio de D'Alembert establece que:

• se l < 1, a serie converxe.
• se l > 1, a serie diverxe.
• se l = 1, non é posible dicir nada sobre o comportamento da serie.

Neste caso, é necesario probar outro criterio, coma o criterio de Raabe.

Criterio de Cauchy (raíz enésima)

Sexa unha serie $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$, tal que $a_k>0$ (terminos non negativos). E supoñamos que existe

$\lim_{k \rightarrow \infty} \sqrt [k] {a_k}=l$, siendo $l \, \varepsilon \, [0, +\infty]$

Entón, se l < 1, a serie é converxente. En cambio se l > 1 entón a serie é diverxente. Ó igual que o criterio de D'Alembert, se l=1, non podemos concluir nada a priori, debemos ver o criterio de Raabe, para ver se podemos concluir algo.

Criterio de Raabe

Normalmente utilizase despois de comprobrar os criterios de D'Alembert e da raíz. Nalgunhas series, pode ocurrir que o límite que nos de $a_k$, sexa distinto usando os dous criterios. Cando isto ocurre, recurrimos ó criterio de Raabe. Tamén debemos recurrir a el cando o límite de $a_k$ que nos produce é igual a 1 (mediante os criterio de D'Alembert e da raíz).

Sexa unha serie $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$, tal que $a_k>0$ (términos non negativos). E supoñamos que existe

$\lim_{k \rightarrow \infty} k \left ( 1 - \frac {a_{k+1}}{a_k} \right )$, sendo $l \, \varepsilon \, (-\infty , +\infty )$

Por tanto, se l > 1, entón a serie é converxente e se l < 1, a serie é diverxente

Ter coidado aquí, pois as conclusións son ó contrario que nos criterios de D'Alembert e da raíz.

Tipos de converxencia

Converxencia absoluta

Unha serie $a_n$ converxe absolutamente se

$\sum_{i=1}^\infty \left\| {a_n}\right\|$

As series utilízanse moito na análise complexa e a análise funcional, onde é relevante se unha serie converxe.