Álxebra

Xunto coa xeometría e a análise matemática, a álxebra constitúe unha das ramas principais da matemática.

Antigamente por álxebra entendíase a serie de coñecementos teóricos e de técnicas nas que se empregan as operacións elementais da aritmética para atopar valores numéricos que solucionen unha ecuación matemática, na que os números descoñecidos son representados por letras. Isto é o que hoxe en día se coñece como álxebra elemental, que inclúe tamén o estudo dos polinomios e o das suas raíces.

Co tempo a álxebra elemental deu lugar a desenvolvementos máis complexos no que se deu en chamar álxebra abstracta ou álxebra moderna. A xeralización ven da mán da definición de distintos tipos de estruturas alxébricas, isto son, conxuntos de elementos non necesariamente de tipo numérico, nos que se definen operacións con propiedades inspiradas nas das operacións elementais de números. Así pois, poderíase dicir que a álxebra é a rama da matemática que estuda as propiedades das estruturas.

Clasificación

Podemos dividir a álxebra en:

• Álxebra elemental: estuda as regras que gobernan as ecuacións nas que se empregan símbolos abstractos para denotar cantidades numéricas, e a resolución de problemas polo emprego destes símbolos e regras.
• Álxebra abstracta: tamén chamada álxebra moderna. Estuda estruturas alxébricas definidas axiomaticamente, como os grupos, aneis ou espazos vectoriais. Nela inclúense entre outras:
  • Álxebra lineal: estuda as propiedades dos espazos vectoriais e as matrices.
  • Álxebra universal: estuda as propiedades comúns a grandes familias de estruturas alxébricas.

Álxebra elemental

Na álxebra elemental, a adición, a subtracción, a multiplicación, e a división son utilizadas para encontrar números (valores dunha variable) nun problema de matemáticas (ecuación) cando non se coñecen.

Un exemplo sería encontrar o valor de $x$ (a variable) na ecuación: $x - 5 = 2$.

Coa axuda da álxebra, pódese sumar cinco a ambolosdous membros da ecuación ($x - 5 + 5 = 2 + 5$), polo que a resposta é: $x = 7$.

Noutras palabras:

No primeiro membro: $x - 5 + 5$. O número -5 e o número 5 suman 0, deixando polo tanto só un "$x$".

No segundo membro: $2 + 5$. O 2 e o 5 suman 7.

Reescribindo a ecuación:

$x - 0 = 7$,

e polo tanto a solución é $x = 7$

$7 - 5 = 2$.

A álxebra pode ser utilizada para resolver problemas da vida real porque as regras da álxebra funcionan no mundo real e os números poden ser utilizados para representar fielmente os valores das cousas reais.

Por exemplo, se dou 5 moedas a un amigo e quédanme 10, cántas tiña antes? Como intentamos descubrir cántas moedas tiven antes, a esa cantidade chamamoslle x. As moedas que eu tiven antes menos as que eu lle dei ao meu amigo fan o total das que eu teño agora, logo $x - 5 = 10$. Podemos sumar cinco en cada membro da ecuación para obter $x - 5 + 5= 10 + 5$; logo $x = 15$. O x, o número de moedas que eu tiven é 15.

Notación na álxebra elemental

Na álxebra, a adición de z e y (ou z mais y) escríbese $y + z$. Na álxebra, a subtracción de z a y (ou y menos z) escríbese $y - z$.

Na álxebra, a multiplicación de y por z (ou y veces z) pódese escribir de 4 maneiras diferentes: y × z, y*z, y(z), ou yz, sendo esta última a forma máis común.

Cando multiplicamos un número por unha letra, o número escríbese diante da letra.

Cando o número é o 1, entón non se escribe porque 1 multiplicado por unha cousa calquera é esa mesma cousa.

En álxebra, a división: y dividido por z escríbese y */* z ou y/z. Esta última forma é a máis empregada.

Representacións gráficas na álxebra elemental

Na álxebra elemental tamén é útil o uso de gráficas, como a da fórmula básica da recta y=mx+b onde b é o valor no que a recta corta o eixo de ordenadas da gráfica e m é a pendente da recta. Esta fórmula verifícase para ás coordenadas do grafo ou pares ordenados (x,y).

Orixe da álxebra

O termo álxebra deriva da obra Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī hīsāb al-ğabr wa’l-muqābala ou Al-jabr wa 'l-muqābala, isto é, Compendio do cálculo mediante restitución e reducción (ou "Ensaio da Computación de Transferencia e da Ecuación"), que foi traducido ao latín coma Liber algebrae et almucabala. O texto foi escrito no século IX polo matemático persa Mohammed ibn-Musa al-Khwarizmi. Os cristiáns introduciron este libro en Europa traducido ao latín no século XII. O termo alxebra é a traducción literal de restitución (transferencia da solución numérica no lugar das letras da ecuación) feita polos traductores ao latín da obra.