Raíz cadrada

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Símbolo para a raíz cadrada de x.

En matemáticas, a raíz cadrada dun número real non negativo x é o número real non negativo que, multiplicado consigo mesmo, dá x. A raíz cadrada de x escríbese \sqrt{x}. Por exemplo, \sqrt{16} = 4 , xa que 4 × 4 = 16, e \sqrt{2} = 1,4142.... As raíces cadradas son importantes na resolución de ecuacións cadráticas.

A xeralización da función raíz cadrada ós números negativos da lugar ós números imaxinarios e ó campo dos números complexos.

O símbolo da raíz cadrada empregouse por primeira vez no século XVI. Especúlase con que tivo a súa orixe nunha forma alterada da letra r minúscula para representar a palabra latina "radix", que significa "raíz".

Definición[editar | editar a fonte]

Sexa n un número natural non nulo. A función x → xn define unha bixección, de R para R se n é impar, e de \mathbb{R}^+ = [0,\infty] se n é par.
Chámase enésima raíz, ou raíz de orde n á súa función recíproca, e denótase:

y = \sqrt[n]{x} = x^{1/n}. (dúas notacións posibles)

Para todo n natural, a e b reais positivos, temos a equivalencia:

a = b^n \iff  b = \sqrt[n]{a}.

No gráfico seguinte, hai debuxadas as curvas dalgunhas raíces, así como das súas funcións recíprocas, no intervalo [0;1]. A diagonal da ecuación y = x é eixo de simetría entre cada curva e a curva da súa recíproca.

Función raíz 1.png

Cambiando de escala:

Función raíz 2.png

A raíz de orde dúas chámase raíz cadrada e, por ser a máis frecuente, escríbese sen superíndice: \sqrt{x} en vez de \sqrt[2]{x}.
A raíz de orde tres chámase raíz cúbica.

O cálculo efectivo da raíz faise mediante as funcións logaritmo e exponencial:

\sqrt[n]{x} = \exp\left(\ln \frac{x}{n}\right) = \frac{e^{\ln x}}{n}.

Tódolos ordenadores e calculadoras empregan este método. O problema é que este cálculo non funciona cos números negativos, porque o logaritmo usual so está definido en (0; + ∞). De aí unha tendencia, aínda minoritaria, de definir as raíces a partir desta fórmula, e polo tanto de restrinxir os seus dominios de definición a (0; + ∞).

Propiedades[editar | editar a fonte]

As seguintes propiedades da raíz cadrada son válidas para tódolos números positivos x, y (e, no primeiro caso, distintos de cero):

\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}
\sqrt{xy} = \sqrt{x} \sqrt{y}
\sqrt{x^2} = \left|x\right| para todo número real x (véxase valor absoluto)
\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}, que é outro xeito de expresar a raíz cadrada.

A función raíz cadrada, en xeral, transforma números racionais en números alxébricos; \sqrt{x} é racional se e só se x é un número racional que pode escribirse como fracción dos cadrados perfectos. Se o denominador é 12 = 1, entón trátase dun número natural. En cambio, \sqrt{2} é irracional.

A función raíz cadrada, como inversa que é da potenciación por 2, transforma a superficie dun cadrado na lonxitude do seu lado.

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Outros artigos[editar | editar a fonte]