Integral

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Véxase tamén: INTEGRAL (satélite).

No cálculo, a integral dunha función foi criada orixinalmente para determinar a área baixo unha curva no plano cartesiano, mais tamén xorde naturalmente en ducias de problemas de Física, como por exemplo na determinación da posición en todos os instantes dun obxecto, sendo coñecida a súa velocidade en todos os instantes.

O proceso de calcular a integral dunha función chámase integración.

Diferentemente da noción asociada de derivación, existen varias definicións para a integración. Todas elas tratando de resolver algúns problemas conceptuais relacionadas con limites, continuidade e existencia de certos procesos utilizados na definición. Porén todas estas definicións dan a mesma resposta para o resultado final dunha integración.

Definición conceptual[editar | editar a fonte]

Integrando a área dunha función abaixo dunha curva

Para describirmos a integral dunha función f(x) dun intervalo x entre [a, b] utilízase a notación:

 S = \int_{a}^{b} f(x) dx

A idea desta notación utilizando un S dado é xeneralizar a noción de sumatorio. Isto porque intuitivamente a integral de f(x) pode ser entendida como a suma de pequenos rectángulos de base dx e altura f(x), onde o produto f(x) dx é a área deste rectángulo. A suma de todas estas pequenas áreas, ou áreas infinitesimais, fornece a área total abaixo da curva. Máis precisamente podemos dicir que a integral de riba é o valor limite da suma:

 \sum_{i=0}^{N} f(x_i) \Delta x.

onde:

\Delta x = \frac{b-a}{N}

é a lonxitude dos pequenos intervalos nos cales dividimos o intervalo (ba), f(x_i) é o valor da función nalgún punto deste intervalo. O que se espera é que cando N for moito grande o valor da suma acima se aproxime do valor da área debaixo da curva e, polo tanto, da integral de f(x) no intervalo. Ou sexa que o limite

 \lim_{N\to\infty} \sum_{i=0}^{N} f(x_i) \Delta x =  \int_{a}^{b} f(x) dx = S

estea definido. O problema é que este raciocinio intuitivo é difícil de expresar en linguaxe matemática precisa. Por isto existen varias formas de se definir á integración dun xeito formal. O resultado no entanto é coherente entre elas.

Teorema fundamental do Cálculo[editar | editar a fonte]

Se resolvermos a integral de riba entre os limites a e b, o resultado final pódese escribir como:

 S =  \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)

Onde a función F(x) é a función resultante da integración da función f(x). O problema da integración, isto é, atopar a solución para unha integral, resúmese polo tanto a atopar a función F(x).

O resultado de riba é extremamente importante pois ofrécenos unha dica de como obter a integral. Para ver isto, supuña que o limite superior da integral, isto é, b é moito próximo de a, tal que posamos escriber:

 b = a + \Delta x

Como os puntos limites da integral están moito próximos podemos escribir:

 \int_{a}^{a+\Delta x} f(x) dx = F(a + \Delta x) - F(a)

E ollando na definición da integración como un limite, dada acima, podemos dicir que a integral, neste caso se resume a apenas un dos termos na suma, e polo tanto podemos dicir, sen causar un erro moito grande, que:

 \int_{a}^{a+\Delta x} f(x) dx = f(a) \Delta x = F(a + \Delta x) - F(a)

Comparando coa definición da derivada dunha función:

 f(x) = \frac{ F(x + \Delta x) - F(x) }{ \Delta x } \rightarrow f(x) = \frac{d}{dx} F(x)

vemos que a función que procuramos F(x) é unha función tal que, cando tomamos a súa derivada obtemos a función f(x). Noutras palabras, se sabemos como calcular a derivada dunha función podemos tamén calcular a integral da función resultante. Esta propiedade móstranos que a integración na verdade é a operación inversa da derivación, pois se derivarmos unha función e deseguido a integrarmos, obteremos a función orixinal. Esta propiedade chámase Teorema fundamental do Cálculo.

Paso a Paso[editar | editar a fonte]

Integral Definida - Unha integral definida consiste basicamente en integrar unha función constante nos intervalos continuos, a través das primitivas.


Fórmula das Primitivas

 \int a.x^{n} dx = \frac{a.x^{n+1}} {n+1}

Exemplo:

Tratamos a cada membro da función como unha función separada, e deseguido efectuamos a suma entre eles e xeramos outra función, a función na cal substituiremos o valor de X polos valores do intervalo; deste xeito, usamos o teorema do cálculo para chegar ao valor da integral.


No intervalo (0,3)


 f(x) = x^2+2x+4



 \int (x^2) dx + \int (2x) dx + \int (4) dx


Aquí úsase a Fórmula da Primitiva para cada integral.


 \frac{x^{2+1}} {2+1} + \frac{2.x^{1+1}} {1+1} + \frac{4.x^{0+1}} {0+1}


Xeramos a outra función, que se usará para substituirmos os valores do intervalo.


 \frac{x^3} {3} + x^2 + 4.x


Para x = 0

 f(a) = 0


Para x = 3

 \frac{3^3} {3} + 3^2 + 4.3
 f(b) = 30


TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO.


 \int_{a}^{b} f(x) dx = f(b) - f(a)


 \int_{0}^{3} (x^2+2x+4) dx = \frac{3^3} {3} + 3^2 + 12 - 0


 \int_{0}^{3} (x^2+2x+4) dx = 30

Exemplos de integración[editar | editar a fonte]

Estas son as integrais dalgunhas das funcións máis comúns:

 \int_{a}^{b} 1 dx = x|_a^b  = (ba) (Integral dunha función constante)
 \int_{a}^{b} x dx = \frac{1}{2} x^2|_a^b  = \frac{1}{2}(b^2a^2) (Integral dunha función f(x) = x )

Por definición, a barra  f(x) |_a^b utilízase co significado da diferenza  f(b) - f(a)

Definicións de integral[editar | editar a fonte]

Para definicións do proceso de integración máis rigorosas vexa os ligazóns mais embaixo.


Véxase tamén[editar | editar a fonte]