Cálculo infinitesimal

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

O cálculo infinitesimal (ou cálculo diferencial e integral) é unha rama da matemática que se desenvolveu a partir da xeometría analítica. As súas técnicas aplícanse de maneira xeneralizada tanto nas ciencias como na enxeñería, empregándose para resolver problemas extensos e complexos que non se poderían resolver soamente co emprego da álxebra.

Comporta dúas ideas principais que se complementan:

As operacións de derivación e integración son operacións inversas no sentido que se expresa no Teorema Fundamental do Cálculo. Isto implica que conceptualmente teñen unha prioridade equivalente, podéndose aprender primeiro unha e logo a outra ou viceversa. Con todo, na orde pedagóxica habitual adóitase introducir primeiro o cálculo diferencial.

O cálculo infinitesimal axudou a comprender dun xeito máis preciso a natureza do espazo, o tempo e o movemento. Ao longo de moitos séculos os matemáticos e filósofos enfrontáronse a paradoxos que conducían a divisións por cero ou a sumas de infinitos números. Estas cuestións xurdían no estudo do movemento e no cálculo das áreas dalgunhas superficies. Zenón de Elea creou varios exemplos famosos de tales paradoxos. O cálculo infinitesimal axudou a resolvelos, especialmente co uso de ferramentas coma os límites e as series infinitas.

Aínda que algunhas das ideas do cálculo infinitesimal remóntanse á Grecia Antiga e á India, o seu uso moderno comeza en Europa, no século XVII, cando Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz, baseándose no traballo de matemáticos anteriores, introduciron os principios básicos do cálculo. Os seus avances tiveron un forte impacto no desenvolvemento da física.

Historia[editar | editar a fonte]

Isaac Newton foi un dos máis famosos contribuíntes ao cálculo infinitesimal, polas súas leis do movemento e outros conceptos da física matemática.

A historia do cálculo infinitesimal transcorreu por períodos moi diferentes, sendo os máis destacados os da Grecia Antiga, a India e a Europa da Idade Moderna.

Na Grecia Antiga aparecen algunhas ideas básicas do cálculo integral, mais non semella que ditas ideas desenvolvéranse dun xeito sistemático e rigoroso. Eudoxo de Cnido (c.-408 - c.-355) xa empregaba o método de converxencia (ás veces tamén chamado de exhaución, ou exhaustación), preludio da noción de límite, co fin de calcular áreas e volumes.[1] Arquimedes (c.-287 - c.-212) desenvolveu esta idea en profundidade, ideando métodos que lembran ao cálculo integral.[2]

A matemática hindú, enormemente descoñecida en Occidente ata o século XX, xerou varios traballos que contiñan algunhas das ideas do cálculo infinitesimal. No ano 499, o astrónomo e matemático Aryabhata empregaba a noción de infinitésimo e expresaba un problema de astronomía a través dunha sinxela ecuación diferencial.[3] Manjula, no século X, expresou con maior detalle esta ecuación nun comentario. Finalmente esta ecuación conduciu no século XII a Bhaskara II a desenvolver unha protoderivada para representar o cambio infinitesimal, e a describir unha forma temperá do teorema de Rolle.[4] No século XIV, Madhava, xunto con outros astrónomo-matemáticos da Escola de Kerala, describiu casos especiais de series de Taylor[5] que se tratan no libro Yuktibhasa.[6][7][8][9]

A segunda metade do século XVII foi unha época de grandes novidades en Europa. O cálculo infinitesimal proporcionou unha nova oportunidade á física matemática de resolver cuestións que viñan de lonxe. Varios matemáticos contribuíron a estes grandes adiantos, especialmente John Wallis e Isaac Barrow. James Gregory probou un caso especial do Teorema Fundamental do Cálculo en 1668.

Leibniz e Newton organizaron nun todo coherente coñecementos precedentes, e son recoñecidos normalmente coma os inventores independentes e case que simultáneos do cálculo infinitesimal. Newton foi o primeiro en aplicar o cálculo infinitesimal á física xeral, namentres que Leibniz desenvolveu a meirande parte da notación que se emprega hoxe; a miúdo gastou días en determinar símbolos axeitados para cada concepto. A idea básica que tiveran tanto Newton coma Leibniz foi a do Teorema Fundamental do Cálculo.

Gottfried Wilhelm Leibniz foi inicialmente acusado de plaxiar traballos non publicados de Isaac Newton, mais hoxe en día é recoñecido en igual medida coma inventor independente do cálculo infinitesimal.

Cando Newton e Leibniz publicaron os seus resultados por vez primeira, houbo unha grande polémica acerca de que matemático (e por tanto que país) merecía o recoñecemento. Newton obtivo os seus resultados primeiro, mais Leibniz publicounos antes, o que levou a Newton a acusar a Leibniz de roubarlle ideas dos seus apontamentos non publicados. Esta controversia dividiu aos matemáticos de fala inglesa dos matemáticos do continente por moitos anos, en prexuízo dos matemáticos ingleses. A notación de Newton era claramente menos flexible cá de Leibniz, o que provocou certo atraso no desenvolvemento da análise matemática (as matemáticas baseadas no cálculo infinitesimal) no Reino Unido. Os británicos conservaron a notación de Leibniz ata que a comezos do século XIX a chamada Analytical Society introduciu con éxito no Reino Unido o cálculo infinitesimal proposto por Leibniz.

De tódolos xeitos, do estudo coidadoso dos artigos de Leibniz e Newton dedúcese que chegaron independentemente aos seus resultados, empezando Leibniz coa integración e Newton coa diferenciación. Hoxe en día, tanto Newton coma Leibniz son recoñecidos por desenvolver o cálculo infinitesimal de forma independente. De tódolos xeitos, foi Leibniz quen deu á disciplina o seu nome. Newton chamou ao seu cálculo "a ciencia das fluxións".

Tras Leibniz e Newton, moitos matemáticos contribuíron ao continuo desenvolvemento do cálculo infinitesimal. No século XIX, matemáticos coma Cauchy, Riemann e Weierstrass dotaron ao cálculo duns fundamentos máis rigorosos. Foi tamén durante este período que as ideas do cálculo foron xeneralizadas ao espazo euclídeo e ao plano complexo. Lebesgue tamén xeneralizou a noción de integral.

Seki Kowa, un matemático xaponés contemporáneo de Leibniz e de Newton, enunciou tamén algunhas das propiedades fundamentais do cálculo integral. Con todo, o seu traballo non foi coñecido en Occidente por mor da escaseza de contactos co Extremo Oriente.[10]

Hoxe en día, matemáticos de todo o mundo seguen a contribuír no desenvolvemento da disciplina.

Notas[editar | editar a fonte]

  1. Luis Vega Reñón. "Eudoxo de Cnido". DivulgaMAT, Real Sociedad Matemática Española. http://divulgamat.ehu.es/weborriak/Historia/MateOspetsuak/Eudoxo.asp.
  2. Arquimedes (1986). El Método. ISBN 84-206-0151-9.
  3. J.J. O'Connor e E.F. Robertson. "Aryabhata the Elder". The MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, Escocia. http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Aryabhata_I.html.
  4. Ian G. Pearce. "Bhaskaracharya II". Indian Mathematics: Redressing the balance. The MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, Escocia. http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/~history/Projects/Pearce/Chapters/Ch8_5.html.
  5. J.J. O'Connor e E.F. Robertson. "Madhava of Sangamagramma". The MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, Escocia. http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Madhava.html.
  6. J.J. O'Connor e E.F. Robertson. "An overview of Indian mathematics". The MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, Escocia. http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Indian_mathematics.html.
  7. C.G.Ramachandran Nair. "Science and technology in free India". Kerala Calling, Government of Kerala, India. http://www.kerala.gov.in/keralcallsep04/p22-24.pdf.
  8. Charles Whish (1835). Transactions of the Royal Asiatic Society of Great Britain and Ireland.
  9. Angel Ruiz Zúñiga. "La escuela de Kerala". Historia y filosofía de las matemáticas. http://www.cimm.ucr.ac.cr/aruiz/Libros/Historia%20y%20Filosofia/Parte2/Cap08/Parte04_08.htm.
  10. J.J. O'Connor e E.F. Robertson. "Takakazu Seki Kowa". The MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, Escocia. http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Seki.html.