Derivada

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

A derivada é unha operación realizada ás funcións dentro do cálculo infinitesimal (ou cálculo diferencial e integral) polo cal se busca un cálculo que relacione a variación (aumento o diminución) do valor dependente da función segundo o valor da variable independente, é dicir, canto aumenta y por cada aumento de x. Para que unha función sexa derivable nun punto  x_a \, ten que ser continua na súa contorna pola dereita e pola esquerda e ter o mesmo límite polos dous lados. Nese caso defínese a derivada coma o resultado de:

 f' (x_a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_a+h)-f(x_a)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_a-h)-f(x_a)}{-h} \,

Do mesmo xeito pódese definir o valor da función derivada para calquera punto do dominio de  f(x) \,, na cal se expresa o valor da derivada para tódolos puntos continuos do dominio:

 f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x-h)-f(x)}{-h} \,

Differentiable function.png

Exemplos da definición[editar | editar a fonte]

Derivada dunha función polinómica:

 f(x) \,
 = 3x^2 + 2x - 6 \, \Rightarrow
 f'(x) \,
 = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
 
= \lim_{h \to 0} \frac{(3(x+h)^2 + 2(x+h) - 6) - (3x^2 + 2x - 6) }{h}
 = \lim_{h \to 0} \frac{(3(x^2 + h^2 + 2xh) + 2(x+h) - 6) - (3x^2 + 2x - 6)}{h}
 = \lim_{h \to 0} \frac{(3x^2 +3h^2 + 6xh + 2x + 2h - 6) - (3x^2 + 2x - 6)}{h}
 = \lim_{h \to 0} \frac{3x^2 +3h^2 + 6xh + 2x + 2h - 6 - 3x^2 - 2x + 6}{h}
 = \lim_{h \to 0} \frac{3h^2 + 6xh + 2h}{h}
 = \lim_{h \to 0} 3h + 6x + 2
 = 6x + 2 \,

Derivada da función logaritmo:

  •  f(x) = \log_a x \,
  •  f(x+h) = \log_a (x+h) \,
  •  f(x+h) - f(x) = \log_a (x+h) - \log_a x = \log_a \frac{x+h}{x} \,
  •  \frac{f(x+h) - f(x)}{h} =

Táboa de funcións derivadas[editar | editar a fonte]

PROPIEDADE PRIMITIVA DERIVADA
Derivada dunha constante  k \,  0 \,
Derivada de x  x \,  1 \,
Derivada de k x  k \, x \,  k \,
Produto por escalares,
xeralización do anterior
 k \, f(x) \,  k \, f'(x) \,
Derivada dunha suma  f(x) + g(x) \,  f'(x) + g'(x) \,
Derivada dun produto  f(x) \, g(x) \,  f'(x) \, g(x) + f(x) \, g'(x) \,
Derivada dunha división,
deducida da do produto
 \frac{f(x)}{g(x)}  \frac{f'(x) g(x) - f(x) g'(x)}{g^2 (x)}
Derivada dunha potencia,
deducida da do produto ( x\in\mathbb{R} )
 f(x)^m \,  m \, f(x)^{m-1} \, f'(x) \,
Derivada dun logaritmo  \log_a f(x) \,  \frac{1}{f(x) log_e(a)} \, f'(x)
Derivada dunha exponencial  a^{f(x)} \,  a^{f(x)} \, log_e a \, f'(x)
Derivada trigonométrica 1  \sin f(x) \,  \cos f(x) \, f'(x)
Derivada trigonométrica 2 \cos f(x) \, -\sin f(x) \, f'(x)
Derivada trigonométrica 3 \tan f(x) \, \sec^2 f(x) \, f'(x)
Derivada trigonométrica 4 \sec f(x) \, \sec f(x) \, \tan f(x) \, f'(x)
Derivada trigonométrica 5 \mbox{cosec} \, f(x) \, -\mbox{cosec} f(x) \, \mbox{cotan} f(x) \, f'(x)
Derivada trigonométrica 6 \mbox{cotan} \, f(x) \, -\sec^2f(x)  \, f'(x)
Derivada trigonométrica inversa 1  \mbox{arcsin} \, f(x) \,  \frac{ f'(x)  }{\sqrt{ 1 - f^2(x) }}
Derivada trigonométrica inversa 2  \mbox{arccos} \, f(x) \, \frac{ -f'(x) }{\sqrt{ 1 - f^2(x) }}
Derivada trigonométrica inversa 3  \mbox{arctan} \, f(x) \, \frac{ f'(x)  }{ 1 + f^2(x) }
Derivada trigonométrica inversa 4  \mbox{arcsec} \, f(x) \, \frac{ -f'(x) }{ 1 + f^2(x) }
Derivada trigonométrica inversa 5  \mbox{arccosec} \, f(x) \, \frac{ f'(x)  }{f(x) \sqrt{ f^2(x) - 1}} = \frac{ f'(x)  }{\sqrt{ f^4(x) - f^2(x) }}
Derivada trigonométrica inversa 6  \mbox{arccotan} \, f(x) \, \frac{ -f'(x) }{f(x) \sqrt{ f^2(x) - 1}} = \frac{ -f'(x) }{\sqrt{ f^4(x) - f^2(x) }}

Exemplos de aplicación[editar | editar a fonte]

lim 2x+1= x->2

Utilidade[editar | editar a fonte]

O uso da derivación ten valido para explicar ou determinar multitude de situacións da física ou da xeometría. Un pequeno exemplo pode ser a seguinte táboa:

FIGURA LONXITUDE SUPERFICIE VOLUME
Círculo &
circunferencia
(Circunferencia)
 2 \pi r \,
(Círculo)
 \pi r^2 \,
NON
PROCEDE
Esfera NON
PROCEDE
 4 \pi r^2 \,  \frac{4}{3} \pi r^3 \,

onde se pode comprobar que o valor de dimensión espacial N se corresponde coa derivada do valor de dimensión espacial N+1 da mesma figura.

Outro caso na física sería o valor da posición, velocidade e aceleración dunha partícula expresadas en función do tempo, que son cada unha derivada da anterior:

 \begin{matrix} \mbox{posición} & p = & p_0 + & v_0 t + & \frac{1}{2} a_0 t^2 \\ \mbox{velocidade} & v= & & v_0 + & a_0 t \\ \mbox{aceleración} & a= & & & a_0 \end{matrix}

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Outros artigos[editar | editar a fonte]