Números amigos

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Sistema numérico en matemáticas.
Elementais

\mathbb{N} Naturais {0,1,2,3...}

\mathbb{Z} Enteiros {...-2,-1,0,+1,+2,...}

\mathbb{Q} Racionais { \mathbb{Z} , 1/2 , -33/7 , etc.}
\mathbb{R} Reais {\mathbb{Z} , \mathbb{Q} , \mathrm{i} , \mathrm{Tr}}

\sqrt{3},\sqrt[3]{1/7},11^{-5}, etc}

\mathrm{i} Unidade imaxinaria = \sqrt{-1}
\mathbb{C} Números complexos {\mathbb{R} , \mathrm{i}},
Infinito

Extensións dos números complexos

Bicomplexos
Hipercomplexos
{\mathbb{R},i,j,k} Cuaternións ~i2=j2=k2=ijk=-1
Octonións
Sedenións
Superreais
Hiperreais
Surreais

Especiais

Nominais
Ordinais {1o,2o,...} (de orde)
Cardinais {\aleph_1, \aleph_2, \aleph_3, \cdots}

Outros importantes

Secuencias de enteiros
Constantes matemáticas
Lista de números
Números grandes

Sistemas de numeración

Dous números amigos son dous números enteiros positivos tales que a suma dos divisores propios dun deles é igual ó outro (a unidade considerase divisor propio, pero non o é o número mesmo).

Un exemplo é o par (220, 284), xa que:

  • os divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110, que suman 284
  • os divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71 e 142, que suman 220

Para os pitagóricos os números amigos tiñan moitas propiedades místicas.

Ao redor do ano 850, Thabit ibn Qurra (826-901) descubriu unha fórmula xeral para a cal se podían obter números amigos: se

p = 3 × 2n-1 - 1,
q = 3 × 2n - 1,
r = 9 × 22n-1 - 1,

onde n > 1 é enteiro e p, q, e r son números primos, entón

2npq e 2nr son un par de números amigos.

Esta fórmula xenera os pares (220, 284), (17.296, 18.416) e (9.363.584, 9.437.056). O par (6232, 6368) tamén é de números amigos, pero non se pode obter pola fórmula anterior.

Os números amigos foron estudiados por Al Madshritti (falecido en 1007), Abu Mansur Tahir (al-Baghdadi) (980-1037), René Descartes (1596-1650), a quen se lle atribúe ás veces a fórmula de Tabit, C. Rudolphus e outros. A fórmula de Tabit fi xeralizada por Leonhard Euler.

Se un número é amigo de sí mesmo (é igual á suma dos seus divisores propios), recibe o nome de número perfecto.