Conxunto

O concepto de conxunto na Matemática é intuitivo e poderiamos definilo como unha colección de varios obxectos ou elementos, sen importar a súa orde e feita con calquera criterio. Un conxunto está ben definido se é sabido se un determinado elemento pertence ou non ao conxunto.

Os conxuntos represéntanse cunha letra maiúscula.

Dous conxuntos A e B son iguais cando posúen precisamente os mesmos elementos, isto é, se cada elemento de A é un elemento de B e cada elemento de B é un elemento de A.

Notación

Normalmente, úsanse letras maíusculas para representar os conxuntos e letras minúsculas para representar os elementos dun conxunto dado. Se $~A$ é un conxunto e $~a, b, c, d, e$ todos os seus elementos, é frecuente escribir:

$~A= \{a, b, c, d, e\}$ (1)

para definir tal conxunto $~A$. A notación empregada en (1) para definir o conxunto $~A$ chámase notación por extensión.

Para representar que un elemento $~x$ pertence a un conxunto $~A$, escríbese $x\in A$ (léase ben $~x$ no $~A$, ben $~x$ pertence ao $~A$). A negación de $x\in A$ escríbese $x\notin A$ (léase $~x$ non pertence ao $~A$).

Se todos os elementos $~x$ dun conxunto $~A$ satisfan algunha propiedade —que pode representarse como unha proposición $p\left( x\right)$ coa indeterminada $~x$—, usamos a notación por comprensión, e pode definirse:

$~A= \{x:p\left(x\right)\}$

A é o conxunto de elementos x, que cumpren p(x), onde o símbolo : lese "cúmprese que", e pode ser substituído por unha barra $\mid$ "tal que".

Por exemplo, o conxunto $~A= \{1, 2, 3, 4\}$ pode definirse por:

$~A= \{n: 1\leq n\leq 4, n\in\mathbb{N}\}$.

O símbolo $\mathbb{N}$ representa o conxunto dos números naturais.

Subconxuntos e Superconxuntos

Un conxunto $~A$ dise subconxunto doutro $~B$, se todos os elementos do $~A$ son tamén elementos do $~B$; matematicamente:

$x\in A\qquad\Rightarrow\qquad x\in B$,

sexa cal for o elemento $~x$. Así, escríbese $A\subseteq B$.

Deberá ser sinalado que, por definición, non se exclúe a posibilidade de se $A\subseteq B$, cumprirse $A = B$. Se o $~B$ ten ao menos un elemento que non pertenza ao conxunto $~A$, mais se todos os elementos do $~A$ son elementos do $~B$, entón dicimos que $~A$ é un subconxunto propio do $~B$, o que se representa como $A\subset B$.

Se o $~A$ é un subconxunto do $~B$, dicimos tamén que o $~B$ é un superconxunto do $~A$, o que se escribe $B\supseteq A$. Logo

$B\supseteq A\qquad\Leftrightarrow\qquad A\subseteq B$,

e tamén: $B\supset A\qquad\Leftrightarrow\qquad A\subset B$,

significando $B\supset A$ que o $~B$ é superconxunto propio do $~A$.

Polo principio de indentidade, é sempre certo $x\in A\quad\Rightarrow\quad x\in A$, para todos os elementos $~x$, polo que todo conxunto é subconxunto (e tamén superconxunto) de si mismo.

Vemos que $\subseteq$ é unha relación de orde sobre un conxunto $~S$ de conxuntos, pois

$A\subseteq A$			$\subseteq$ é reflexiva.
$A\subseteq B\wedge B\subseteq A$	$\qquad\Rightarrow\qquad$	$A=B \,$	$\subseteq$ é antisimétrica
$A\subseteq B\wedge B\subseteq C$	$\qquad\Rightarrow\qquad$	$A\subseteq C$	$\subseteq$ é transitiva

Conxunto baleiro

O conxunto baleiro ou conxunto vacío é un conxunto que non posúe elementos. Represéntase por $\{\}$ ou $\empty$

Todo conxunto posúe como subconxunto o conxunto baleiro. Podemos mostrar isto supondo que se o conxunto baleiro non pertence ao conxunto en cuestión, entón o conxunto baleiro debe posuír un elemento ao menos que non pertenza a este conxunto. Como o conxunto baleiro non posúe elementos, isto non é posíbel. Como todos os conxuntos baleiros son iguais uns aos outros, é permisíbel falar dun único conxunto sen elementos.

Operacións cos conxuntos

Sexan $~A$ e $~B$ dous conxuntos.

Unión

$A \cup B$

Os elementos que pertencen ao $~A$ ou ao $~B$ ou a ambos os dous $~A$ e $~B$, forman outro conxunto, chamado unión de $~A$ e $~B$, escrito $A\cup B$. Matematicamente:

$A\cup B= \{x:x\in A\quad\vee\quad x\in B\}$.

Intersección

$A \cap B$

Os elementos comúns de $~A$ e mais de $~B$ forman un conxunto denominado intersección de $~A$ e $~B$, representado por $A\cap B$:

$A\cap B= \{x:x\in A\quad\wedge\quad x\in B\}$.

Se dous conxuntos $~A$ e $~B$ son tales que $A\cap B =\emptyset$, entón $~A$ e $~B$ dinse conxuntos disxuntos.

Diferenza

$A \setminus B$

Os elementos dun conxunto $~A$ que non se atopan noutro conxunto $~B$, forman outro conxunto chamado diferenza de $~A$ e $~B$, representado por, $A \setminus B$:

$A \setminus B = \{x:x\in A\quad\wedge\quad x\notin B\}$.

Álxebra de conxuntos

Sexan A, B, e C conxuntos calquera, logo:

• A ∩ A = A
• A ∪ A = A
• A - A = Ø
• A ∩ B = B ∩ A
• A ∪ B = B ∪ A
• (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
• (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
• C - (A ∩ B) = (C - A) ∪ (C - B)
• C - (A ∪ B) = (C - A) ∩ (C - B)
• C - (B - A) = (A ∩ C) ∪ (C - B)
• (B - A) ∩ C = (B ∩ C) - A = B ∩ (C - A)
• (B - A) ∪ C = (B ∪ C) - (A - C)
• A ⊆ B ↔ A ∩ B = A
• A ⊆ B ↔ A ∪ B = B
• A ⊆ B ↔ A - B = Ø
• A ∩ B = Ø ↔ B - A = B
• A ∩ B ⊆ A ⊆ A ∪ B
• A ∩ Ø = Ø
• A ∪ Ø = A
• Ø - A = Ø
• A - Ø = A

Sexa U un conxunto tal que A, B, e C son subconxuntos do U (utilízase a notación A' := U - A). Entón:

• A'' = A
• B - A = A' ∩ B
• (B - A)' = A ∪ B'
• A ⊆ B ↔ B' ⊆ A'
• A ∩ U = A
• A ∪ U = U
• U - A = A'
• A - U = Ø