Número irracional

Sistema numérico en matemáticas.
Elementais
$\mathbb{N}$ Naturais {0,1,2,3...} $\mathbb{P}$ Primos ⊂$\mathbb{N}$, $\mathbb{P}$=$\mathbb{N}$x:{1,x} {2,3,5,7,11...} Números abundantes Números amigos Números compostos Números defectivos Números perfectos Números sociábeis $\mathbb{Z}$ Enteiros {...-2,-1,0,+1,+2,...} Pares {...-2,0,+2,..} Impares {...-3,-1,+1,+3...} $\mathbb{Q}$ Racionais { $\mathbb{Z} , 1/2 , -33/7$, etc.} $\mathbb{R}$ Reais {$\mathbb{Z} , \mathbb{Q} , \mathrm{i} , \mathrm{Tr}$} Irracionais { $\sqrt{3},\sqrt[3]{1/7},11^{-5}$, etc} Alxébricos $\mathrm{Tr}$Trascendentes Pi(π)≈ 3.1415926535 Número e≈ 2.7182818284 (≠ $\mathbb{Q}$) $\mathrm{i}$ Unidade imaxinaria $= \sqrt{-1}$ $\mathbb{C}$ Números complexos {$\mathbb{R} , \mathrm{i}$}, ∞ Infinito Números infinitos Números transfinitos
Extensións dos números complexos
Bicomplexos Hipercomplexos {$\mathbb{R}$,i,j,k} Cuaternións ~i2=j2=k2=ijk=-1 Octonións Sedenións Superreais Hiperreais Surreais
Especiais
Nominais Ordinais {1o,2o,...} (de orde) Cardinais {$\aleph_1, \aleph_2, \aleph_3, \cdots$}
Outros importantes
Secuencias de enteiros Constantes matemáticas Lista de números Números grandes
Sistemas de numeración
Numeración en base constante Numeración arábiga Numeración babilónica Numeración chinesa Numeración xaponesa Numeración maia Numeración romana

Os números irracionais son aqueles elementos da recta real que non son expresables mediante números racionais usando as operaciones internas deste conxunto. É dicir, un número irracional non pode expresarse da forma a/b sendo a e b enteiros.

Os números irracionais caracterízanse por posuír infinitas cifras decimais que non seguen ningún patrón repetitivo. Os máis celebres números irracionais son identificados mediante símbolos. Algúns destes son:

• π (Pi): relación entre o perímetro dunha circunferencia e o seu diámetro.

• e: :$e = \lim_{x \to \infin} \left ( 1 + \frac {1} {x} \right ) ^x$

• $\Phi$ (Número áureo):$= \frac {1 + \sqrt 5} {2}$

Demostración

Un exemplo destes números irracionais é a raíz cadrada de 2. Partamos inicialmente de que a raíz cadrada de 2 si pode ser un número racional.

$\sqrt 2=\frac {m}{n}$

Iso significaría que m e n non teñen factores comúns, porque se non, poderiamos simplificar esa fracción ata atopar un factor común. Se elevamos os dous termos da ecuación ao cadrado temos

$2=\frac {m^2}{n^2}$

Aquí podemos deducir que m é un número par, porque dado que $n^2 \times 2 = m^2$ , m sempre será par ao proceder dun produto de 2.

Polo tanto, se m é par podemos expresalo como m=2k. E se elevamos isto ao cadrado temos que

$m^2 = 4k^2$

Ou o que é o mesmo

$2n^2 = 4k^2 \rightarrow n^2 = 2k^2$

Co que chegamos á conclusión de que n tamén é par. Pero iso non é posible, porque levaría a que m e n tivesen un factor común, e iso descartámolo ao comezo. Esta reductio ad absurdum é a que nos indica que as nosas premisas eran erróneas e que $\sqrt{2}$ non pode ser racional.

Números transcendentes

De especial relevancia son os chamados números trascendentes, que non poden ser solución de ningunha ecuación alxebraica. Por exemplo, o número áureo é unha das raíces da ecuación x²-x-1=0, polo que non é un número trascendente. Pola contra, pi e e si son trascendentes.

Os números irracionais non son numerables, é dicir que entre dous irracionais calquera existen infinitos números. Por extensión os números reais tampouco son contables xa que incluen o conxunto dos irracionais.

Véxase tamén

• Número
• Matemáticas