Número irracional

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Sistema numérico en matemáticas.
Elementais

\mathbb{N} Naturais {0,1,2,3...}

\mathbb{Z} Enteiros {...-2,-1,0,+1,+2,...}

\mathbb{Q} Racionais { \mathbb{Z} , 1/2 , -33/7 , etc.}
\mathbb{R} Reais {\mathbb{Z} , \mathbb{Q} , \mathrm{Tr}}

  • Irracionais {

\sqrt{3},\sqrt[3]{1/7}, etc}

\mathrm{i} Unidade imaxinaria = \sqrt{-1}
\mathbb{C} Números complexos {\mathbb{R} , \mathrm{i}},
Infinito

Extensións dos números complexos

Bicomplexos
Hipercomplexos
{\mathbb{R},i,j,k} Cuaternións ~i2=j2=k2=ijk=-1
Octonións
Sedenións
Superreais
Hiperreais
Surreais

Especiais

Nominais
Ordinais {1o,2o,...} (de orde)
Cardinais {\aleph_1, \aleph_2, \aleph_3, \cdots}

Outros importantes

Secuencias de enteiros
Constantes matemáticas
Lista de números
Números grandes

Sistemas de numeración

Os números irracionais son aqueles elementos da recta real que non son expresables mediante números racionais usando as operaciones internas deste conxunto. É dicir, un número irracional non pode expresarse da forma a/b sendo a e b enteiros.

Os números irracionais caracterízanse por posuír infinitas cifras decimais que non seguen ningún patrón repetitivo. Os máis celebres números irracionais son identificados mediante símbolos. Algúns destes son:

  • e: :e = \lim_{x \to \infin} \left ( 1 + \frac {1} {x} \right ) ^x

Demostración[editar | editar a fonte]

Un exemplo destes números irracionais é a raíz cadrada de 2. Partamos inicialmente de que a raíz cadrada de 2 si pode ser un número racional.

\sqrt 2=\frac {m}{n}

Iso significaría que m e n non teñen factores comúns, porque se non, poderiamos simplificar esa fracción ata atopar un factor común. Se elevamos os dous termos da ecuación ao cadrado temos

2=\frac {m^2}{n^2}

Aquí podemos deducir que m é un número par, porque dado que n^2 \times 2 = m^2 , m sempre será par ao proceder dun produto de 2.

Polo tanto, se m é par podemos expresalo como m=2k. E se elevamos isto ao cadrado temos que

m^2 = 4k^2

Ou o que é o mesmo

2n^2 = 4k^2 \rightarrow n^2 = 2k^2

Co que chegamos á conclusión de que n tamén é par. Pero iso non é posible, porque levaría a que m e n tivesen un factor común, e iso descartámolo ao comezo. Esta reductio ad absurdum é a que nos indica que as nosas premisas eran erróneas e que \sqrt{2} non pode ser racional.

Números transcendentes[editar | editar a fonte]

De especial relevancia son os chamados números transcendentes, que non poden ser solución de ningunha ecuación alxébrica. Por exemplo, o número áureo é unha das raíces da ecuación x2-x-1=0, polo que non é un número trascendente. Pola contra, pi e e si son trascendentes.

Os números irracionais non son numerables ou contables, é dicir que entre dous irracionais calquera existen infinitos números irracionais. Por extensión os números reais tampouco son contables xa que incluen o conxunto dos irracionais.

Véxase tamén[editar | editar a fonte]