Al-Khwarizmi

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Este é un dos 1000 artigos que toda Wikipedia debería ter.
Abu Abdallah Muḥammad ibn Mūsā al-Jwārizmī
Abu Abdullah Muhammad bin Musa al-Khwarizmi.jpg
Al-Khwarizmi nun selo soviético de 1983.
Datos persoais
Nacemento 780
Lugar Khiva (Corasmia).
Falecemento 850
Lugar
Soterrada {{{soterrada}}}
Soterrado {{{soterrado}}}
Residencia Bagdad
Nacionalidade Abbásida
Etnia Persa
Cóncuxe
Fillos {{{fillos}}}
Relixión Islam
Actividade
Campo Aritmética, Álxebra, Trigonometría, Astronomía, Xeografía
Alma mater Casa da sabedoría
Instituacións {{{institucións}}}
Sociedades {{{sociedades}}}
Tese {{{tese}}}
Dir. de tese {{{director_de_tese}}}
Dir. tese
Alumnos tese
Alumnos dest. {{{alumnos_doctorais}}}
Coñecido por Tratados de Álxebra e dos numerais indios.
Influído por
Influíu en Abu Kamil
Premios

[[Ficheiro:|centro|150px]]

Abu Abdallah Muḥammad ibn Mūsā al-Jwārizmī (Abu Yāffar) (عَبْدَالله مُحَمَّد بِن مُوسَى اَلْخْوَارِزْمِي en árabe, خوارزمی en persa e transliterado inicialmente como Algoritmi ou Algaurizin), nado en Khiva (actual Uzbequistán) contra o ano 780 e finado no 850, foi un matemático, astrónomo e xeógrafo persa[1][2] de lingua literaria árabe. Desenvolveu a súa actividade na Casa da sabedoría de Bagdad durante a Idade de ouro do califato Abbásida.

No século XII, as traducións latinas do seu traballo sobre os numerais indios introduciron en Europa o sistema posicional de numeración decimal[3]. O seu Compendio do cálculo mediante restitución e redución presenta a primeira solución sistemática en árabe das ecuacións lineares e cadráticas. No Renacemento europeo, foi considerado o inventor orixinal da álxebra, aínda que hoxe se sabe que a súa obra baseábase nas antigas fontes gregas e indias[4]. Tamén revisou a Xeografía de Ptolomeo e escribiu sobre astronomía e astroloxía.

Algunhas palabras reflicten a importancia das contribucións de al-Khwarizmi ás matemáticas: "Álxebra" deriva de al-jabr, unha das dúas operacións que usaba para resolver ecuacións cadráticas. "Algoritmo" procede de Algoritmi, a forma latina do seu nome[5], que tamén está na orixe da palabra castelá guarismo[6] e da portuguesa e galega algarismo, ambas co significado de díxito numérico.

Traxectoria[editar | editar a fonte]

Naceu no seno dunha familia persa[1][2]. O erudito musulmán do século X Ibn al-Nadim dá como o seu lugar de nacemento a rexión de Corasmia[7].

Poucos detalles da vida de Al-Khwarizmi coñécense con certeza. O seu nome parece indicar que procede da rexión de Corasmia (Khiva), daquela parte do Gran Khorasán, que ocupaba a parte leste do Grande Irán, hoxe Provincia de Xorazm en Uzbequistán.

O historiador Al-Tabari, case contemporáneo del, dicía que o seu nome era Muhammad ibn Musa al-Khwārizmī al-Majousi al-Katarbali (محمد بن موسى الخوارزميّ المجوسـيّ القطربّـليّ en árabe). O epíteto al-Katarbali ou al-Qutrubbulli podería indicar que procedía de Qutrubbul (Qatrabbul), un distrito vinícola cercano a Bagdad[8]. Poren Roshdi Rashed[9] suxire:

Non hai que ser un filólogo ou un experto no período histórico para ver que a cita de Al-Tabari debería lerse como "Muhammad ibn Mūsa al-Khwārizmī e al-Majūsi al-Qutrubbulli", e, xa que logo, estase a referir a dúas persoas entre cuxos nomes omitiuse nunha copia temperá a conxunción wa (e, en árabe و). Isto non sería digno de mención se non se tivesen feito unha serie de erros concernentes á pesonalidade de Al-Khwarizmi, mesmo en ocasións sobre a orixe do seu coñecemento. Recentemente G. J. Toomer ... con inxenua confianza construíu unha completa fantasía cimentada no erro, se ben non se lle pode negar o mérito de divertir ao lector.

Sobre a relixión de Al-Khwarizmi, escribe Toomer:

Outro epíteto que lle deu Al-Ṭabari, "al-Majūsī," parecería indicar que foi un seguidor da vella doutrina do zoroastrismo. Isto aínda podería ser posíbel na Persia da época, mais o piadoso prefacio da Álxebra de Al-Khwarizmi mostra claramente a súa ortodoxia musulmá, así o epíteto de Al-Tabari podería significar non máis que os seus devanceiros, ou mesmo el na súa xuventude, foran zoroastristas[10].

O libro Kitāb al-Fihrist de Ibn al-Nadīm inclúe unha curta biografía de Al-Khwarizmi, xunto cunha lista dos libros que escribiu. A maior parte do seu traballo desenvolveuno entre o 813 e o 833. Despois da conquista islámica de Persia, Bagdad converteuse no centro do comercio e dos estudos científicos, e moitos mercaderes e científicos viaxaron a esta cidade desde lugares tan lonxanos como China e a India, como tamén fixo Al-Khwarizmi. En Bagdad traballou como xefe de bibliotecarios na Casa da sabedoría, fundada polo califa Harún al-Rashid e perfecionada polo seu fillo e sucesor Al-Ma'mun, onde estudou as ciencias e matemáticas e traduciu manuscritos científicos do grego e do sánscrito

O estudoso do mundo islámico D. M. Dunlop suxire a posibilidade de que Al-Khwarizmi fora a mesma persoa que Muḥammad ibn Mūsā ibn Shākir, o maior dos tres Banu Musa[11].

Contribucións[editar | editar a fonte]

Al-jabr wa 'l-muqābala.

As contribucións de Al-Khwarizmi ás matemáticas, astronomía, xeografía, e cartografía estableceron as bases para innovar a álxebra e a trigonometría. A súa aproximación sistemática á resolución das ecuacións lineares e cadráticas levou ao nacemento dunha nova disciplina, á álxebra, cuxa palabra deriva do título do seu libro "Compendio do cálculo mediante restitución e redución" (al-Kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wa'l-muqabala الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة), escrito no 830.

O seu libro Sobre o cálculo con numerais indios, escrito arredor do 825, foi o principal responsábel do espallamento do sistema de numeración indio por todo o Oriente Medio e Europa, destacando neste eido a introdución do emprego do cero. Foi traducido ao latín como Algoritmi de numero Indorum; este título levou ao termo "algoritmo".

Algúns dos seus traballos estaban baseados na astronomía persa e babilonia, nos numerais indios e nas matemáticas gregas.

Al-Khwarizmi sistematizou e corrixiu os datos que Ptolomeo compilara sobre África e o Oriente Medio. Outro libro importante seu é Kitab surat al-ard ("A Imaxe da Terra"), traducido como Xeografía, no que presenta as coordenadas de lugares baseándose nas da Xeografía de Ptolomeo, mais mellorando os valores para o Mar Mediterráneo, Asia e África.

Tamén escribiu sobre dispositivos mecánicos como o astrolabio e o reloxo de sol. Outras contribucións súas inclúen táboas de funcións trigonométricas, melloras na representación xeométrica das seccións cónicas, e aspectos do cálculo de erros.

Supervisou o traballo de máis de 70 xeógrafos nun proxecto para determinar a circunferencia da Terra e facer un mapamundi para o califa Al-Ma'mun[12].

Cando, no século XII, as súas obras se espallaron por toda Europa a través de traducións latinas, a súa influencia foi fundamental no avance das matemáticas no mundo cristián. Introduciu no Occidente latino os numerais árabes, baseados no valor posicional das cifras, desenvolvidos a partir das fontes indias[13].

Álxebra[editar | editar a fonte]

Páxina do manuscrito orixinal do Libro de álxebra de Al-Khwarizmi.

O Compendio do cálculo mediante restitución e redución,en árabe الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة transliterado Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa-l-muqābala}}, é un libro matemático escrito aproximadamente no 830. Foi escrito baixo o fomento do califa Al-Ma'mun como unha obra popular de cálculo e está repleta de exemplos e aplicacións dun amplo rango de problemas de comercio, agrimensura e herdanzas legais[14]. O termo álxebra (al-jabr) deriva do nome dunha das operacións básicas con ecuacións que se describe nesta libro, significando restitución, ou substración dun número en ambos membros da ecuación. O libro foi traducido ao latín como Liber algebrae et almucabala por Roberto de Chester en Segovia no ano 1145, e de aí a palabra "álxebra". Outra tradución foi feita por Xerardo de Cremona na Escola de Tradutores de Toledo. En Oxford consérvase unha única copia árabe que foi traducida ao inglés por F. Rosen en 1831, e en Cambridge gárdase unha tradución ao latín[15].

Proporciona un exhaustivo método de resolución de ecuacións polinómicas de primeiro e segundo grao[16] e discute os métodos fundamentais de "restitución" e "redución", referentes á transposición de termos substraídos no outro membro da ecuación, isto é, a cancelación de termos semellantes nos dous membros da ecuación[16]

O método de Al-Khwarizmi de resolución de ecuacións lineares e cadráticas reduce primeiramente a ecuación a unha das seis formas estándar seguintes (onde b e c son enteiros positivos):

  • cadrados igual a raíces (ax2 = bx)
  • cadrados igual a número (ax2 = c)
  • raíces igual a número (bx = c)
  • cadarados e raíces igual a número (ax2 + bx = c)
  • cadrados e número igual a raíces (ax2 + c = bx)
  • raíces e número igual a cadrados (bx + c = ax2)

divídese logo polo coeficiente do cadrado e finalmente úsanse as operacións de "restitución" (al-jabr) e "redución" (al-muqābala). Al-jabr é o proceso de eliminar unidades negativas, raíces e cadrados da ecuación engadindo a mesma cantidade a cada membro da ecuación. Por exemplo, x2 = 40x − 4x2 redúcese a 5x2 = 40x. Al-muqābala é o proceso de levar cantidades do mesmo tipo ao mesmo membro da ecuación. Por exemplo, x2 + 14 = x + 5 redúcese a x2 + 9 = x.

Na descrición anterior usouse a notación matemática moderna para os tipos de problemas que se discuten no libro. Porén, no tempo de Al-Khwarizmi aínda non fora inventada a maior parte desta notación e tivo que usar a linguaxe ordinaria para presentar problemas e as súas solucións. Por exemplo, un problema é descrito como segue:

Se alguén di: "Divide dez en dúas partes, se multiplicas unha por si mesma o resultado será igual a oitenta e catro veces a outra". Cálculo: Dis, dez menos a cousa, multiplicada por si mesma, é un cento máis un cadrado menos vinte veces, e isto é igual a oitenta e catro cousas. Separa as vinte cousas dun cento e un cadrado, e engádeo a oitenta e un. Será entón un cento máis un cadrado, o cal é igual a a un cento e unha raíz. Divide as raíces pola metade; esta é cicuenta e metade. Restándolle un cento, o resto é dous mil catrocentos cincuenta e un cuarto. Extráelle a esto a raíz; é cuarenta e nove e unha metade. Réstalle isto á metade das raíces, que é cincuenta e unha metade. O que queda é unha das dúas partes"[14].

Coa notación moderna, sendo 'x' a "cousa" (shay') ou "raíz", na solución anterior danse os seguintes pasos:

(10-x)^2=81 x
x^2 - 20 x + 100 = 81 x
x^2+100=101 x

Sexan 'p' e 'q' as raíces da ecuación. Entón \tfrac{p+q}{2}=50\tfrac{1}{2}, pq =100 e

\frac{p-q}{2} = \sqrt{\left(\frac{p+q}{2}\right)^2 - pq}=\sqrt{2550\tfrac{1}{4} - 100}=49\tfrac{1}{2}

Polo tanto unha raíz ven dada por:

x=50\tfrac{1}{2}-49\tfrac{1}{2}=1

Outros autores publicaron tamén textos co nome Kitāb al-jabr wa-l-muqābala como Abū Ḥanīfa al-Dīnawarī, Abū Kāmil Shujā ibn Aslam, Abū Muḥammad al-ʿAdlī, Abū Yūsuf al-Miṣṣīṣī, 'Abd al-Hamīd ibn Turk, Sind ibn ʿAlī, Sahl ibn Bišr, e Šarafaddīn al-Ṭūsī.

J. J. O'Conner e E. F. Robertson escribiron:

Quizais un dos máis importantes avances feitos polas matemáticas árabes comeza ao mesmo tempo que o traballo de Al-Khwarizmi, cal é o principio da álxebra. É importante entender na súa xusta medida a importancia desta nova idea. Foi un movemento revolucionario fóra do concepto grego de matemáticas, que era esencialmente xeomtétrico. A álxebra era unha teoría unificada que permitía tratar como "obxectos alxébricos" os números racionais e os irracionais, as magnitudes xeométricas, etc. Deu ás matemáticas unha nova e completa senda cun concepto moito máis amplo que as que había ata entón, e proporcionou un vehículo para o futuro desenvolvemento da disciplina. Outro aspecto importante da introdución das ideas alxébricas foi que estas permitiron ás matemáticas ser aplicadas a si mesmas dun xeito que non ocorrera antes[17].

R. Rashed e Angela Armstrong din:

O texto de Al-Khwarizmi pode ser visto non só distinto das táboas babilonias de arxila, senón tamén da Aritmética de Diofanto. O texto non vai mais alá dunha serie de problemas para resolver, mais a exposición, que comeza con termos primitivos nos que as combinacións deben dar todos os posíbeis prototipos de ecuacións, constitúe o verdadeiro obxecto de estudo. Por outro lado, a idea de ecuación aparece por si mesma desde o principio, e podería dicirse, dun xeito xenérico e na medida en que non emerxe simplemente no curso da solución dun problema, que está chamada especificamente para definir unha clase infinita de problemas[18].

Aritmética[editar | editar a fonte]

Primeira páxina dunha tradución ao latin do traballo de Al-Khwarizmi sobre os numerais indios, comeza coa frase "Dixit algorizmi" que se toma con frecuencia como título da obra.

A segunda obra en importancia de Al-Khwarizmi foi no campo da aritmética. O texto orixinal árabe perdeuse e só se conserva unha tradución ao latín do século XII feita, con moita probabilidade por Adelard de Bath, quen tamén traduciu as táboas astronómicas en 1126.

O manuscrito en latín non ten título e adoitase nomealo frecuentemente coas dúas palabras con que comeza, Dixit algorizmi ("Dicía Al-Khwarizmi"). Outro título bastante estendido é Algoritmi de numero Indorum, dado por Baldassarre Boncompagni en 1857. O título árabe orixinal foi posibelmente كتاب الجامع و التفريق بحساب الهند transliterado Kitāb al-Jamʿ wa-l-tafrīq bi-ḥisāb al-Hind[19] ("O libro da suma e da resta segundo o cálculo indio"[20]).

O traballo de Al-Khwarizmi en aritmética foi responsábel da introdución en Occidente dos numerais árabes, baseados no sistema de numeración indo-arábico que desenvolveron os matemáticos indios. O termo "algoritmo", derivado de "algarismo", refírese á técnica desenvolvida por Al-Khwarizmi de facer aritmética mediante os numerais indo-arábicos. Ambas palabras, "algoritmo" e "algarismo", derivan das formas latinas do nome de Al-Khwarizmi, Algoritmi e Algorismi, respectivamente.

Astronomía[editar | editar a fonte]

Páxina dunha tradución latina da Zīj de Al-Khwarizmi.

A obra de Al-Khwarizmi زيج transliterado Zīj al-Sindhind[10] ("táboas astronómicas de Sind e Hind") ten aproximadamente 37 capítulos de cálculos astronómicos e de calendario e 116 táboas de datos astronómicos, astrolóxicos e de calendario, ademais dunha táboa de valores de senos. É a primeira das moitas Zijs árabes baseadas nos métodos astronómicos indios, coñecidos como o sindhind[21]. O traballo contén táboas dos movementos do sol, a lúa e os cinco planetas coñecidos ata entón. O traballo supón un xiro radical na maneira de facer astronomía no Islam. Os astrónomos musulmáns adoptaban, ata ese momento, un xeito primario de aprximación á materia, traducindo obras doutros e aprendendo coñecementos xa descubertos.

A obra orixinal árabe, escrita cara o 820, perdeuse, mais sobreviviu unha tradución latina, presumibelmente feita por Adelard de Bath, da versión do astrónomo madrileño Maslama al-Majriti[21]. Os catro manuscritos da tradución latina que se conservan están na Biblioteca Nacional de Madrid, na Bodleian Library de Oxford, na Bibliothèque Mazarine de París e na Bibliothèque Publique de Chartres.

Trigonometría[editar | editar a fonte]

A obra de Al-Khwarizmi Zīj al-Sindhind contén táboas trigonométricas de senos e cosenos[21]. Tamén se lle atribúe un tratado sobre xeometría esférica relacionado co anterior[17].

Xeografía[editar | editar a fonte]

Mapa do século XV a partir da Xeografía de Ptolomeo mediante comparación.

A terceira obra en importancia de Al-Khwarizmi, rematada en 833, é كتاب صورة الأرض transliterado Kitāb ṣūrat al-Arḍ ("O libro da aparencia da Terra" ou "A imaxe da Terra"), traducido simplemente por Xeografía. É unha completa revisión da Xeografía de Ptolomeo, consistente nunha introdución xeral seguida dunha lista de 2.402 coordenadas de cidades e outros accidentes xeográficos[22].

Só se conserva unha copia desta obra na biblioteca da Universidade de Estrasburgo. Unha tradución latina consérvase na Biblioteca Nacional de Madrid. O título completo traduciuse como Libro da aparencia da Terra, coas súas cidades, montañas, mares, todas as illas e ríos, escrita por Abu Ja'far Muhammad ibn Musa al-Khwārizmī, de acordo co tradado xeográfico escrito por Claudio Ptolomeo.

O libro comeza coa lista de latitudes e lonxitudes, ordenadas por "zonas climáticas", é dicir en bloques de latitudes e, en cada zona climática, por orde de lonxitudes.

Nin a copia árabe nin a tradución latina inclúen o mapamundi, porén, Hubert Daunicht foi quen de reconstruilo a partir da lista de coordenadas. Daunicht leu as latitudes e lonxitudes dos puntos costeiros do manuscrito, ou deduciunos do contexto cando eran ilexíbeis. Transferiu os puntos a un papel milimetrado e conectounos con liñas rectas, obtendo unha aproximación da liña costeira tal como aparecía no mapa orixinal. Despois fixo o mesmo para os ríos e cidades[23].

Al-Khwarizmi corrixiu o desmesurado cálculo que fixera Ptolomeo da lonxitude do Mar Mediterráneo[24] desde as Illas Canarias ata as costas orientais do Mediterráneo. Ptolomeo sobreestimouna en 63 graos de lonxitude, mentres que Al-Khwarizmi case a estima correctamente en case 50 graos de lonxitude. A diferenza do traballo de Ptolomeo, describiu o Atlántico e o Índico como corpos de auga abertos, sen estar pechados por masas terrestres[25]. Al-Khwarizmi estableceu o Meridiano Cero na costa leste do Mediterráneo, uns 10-13 graos ao leste de Alexandría (por onde pasaba o Meridiano Cero de Ptolomeo) e 70 graos ao oeste de Bagdad. A maioría dos xeógrafos musulmáns continuaron usando o Meridiano Cero de Al-Khwarizmi[24].

Calendario hebreo[editar | editar a fonte]

Estatua de Al-Khwarizmi na Universidade Tecnolóxica Amir Kabir de Teherán.

Al-Khwarizmi escribiu outros traballos entre os que se acha un calendario hebreo: Risāla fi istikhrāj taʾrīkh al-yahūd ("Extracto da Era Xudía"). Describe o ciclo de intercalación de 19 anos, as regras para determinar en que día da semaná caerá o primeiro día do mes Tishrei. Calcula o intervalo entre a era xudía (creación de Adán) e a era seléucida e dá regras para determinar a lonxitude media do sol e a lúa usando o calendario xudeu. Encontrouse material similar nos traballos de Al-Biruni e Maimónides[10].

Outros traballos[editar | editar a fonte]

Ibn al-Nadim no seu Kitab al-Fihrist (un índice de libros árabes) menciona un libro de anais de Al-Khwarizmi, Kitab al-Tarikh. Non se conversa ningún manuscrito directo, porén, unha copia chegou ata a cidade de Nisibis cara ó ano 1000, onde o atopou o seu veciño, Elías bar Shinaya. A propia crónica de Elías cítao, se ben amosa algunha lagoa neste punto[26].

Algúns manuscritos árabes conservados en Berlín, Estambul, Tashkent, O Cairo e París conteñen moito material que seguramente, ou con moita probabilidade, é creación de Al-Khwarizmi. O manuscrito de Estambul contén un traballo sobre os reloxos de sol que o Kitab al-Fihrist atribúe a Al-Khwarizmi. Outros traballos, como o da determinación da dirección cara á Meca, son sobre astronomía esférica.

Dous textos merecen especial interese no eido da astronomía, referentes á medida angular horizontal entre a alzada horizontal do acimut e o leste (Maʿrifat saʿat al-mashriq fī kull balad), e a determinación do acimut desde unha altura (Maʿrifat al-samt min qibal al-irtifāʿ).

Tamén escribiu dous libros sobre a construción e o uso do astrolabio.

Notas[editar | editar a fonte]

  1. 1,0 1,1 Hogendijk, Jan P. (1998). "al-Khwarzimi" (en holandés). Pythagoras 38 (2): 4–5. http://www.kennislink.nl/publicaties/mohammad-ibn-musa-al-khwarizmi. Consultado o 1 de febreiro de 2014.
  2. 2,0 2,1 Oaks, Jeffrey A.. "Was al-Khwarizmi an applied algebraist?" (en inglés). Universidade de Indianapolis. http://facstaff.uindy.edu/~oaks/MHMC.htm. Consultado o 1 de febreiro de 2014.
  3. Struik, Dirk Jan (1987) (en inglés). A Concise History of Mathematics (4ª ed.). Dover Publications. ISBN 0-486-60255-9.
  4. Rosen, 1831, p. v–vi; Toomer, 1990
  5. Daffa, 1977
  6. Knuth, Donald (1979) (en inglés). Algorithms in Modern Mathematics and Computer Science. Springer-Verlag. ISBN 0-387-11157-3. http://historical.ncstrl.org/litesite-data/stan/CS-TR-80-786.pdf.
  7. Moore, Christopher; Mertens, Stephan (2011) (en inglés). The Nature of Computation. Oxford University Press. p. 36.}
  8. Morony, Michael G. (2005) [1984] (en inglés). Iraq After the Muslim Conquest (facsímil ed.). p. 145. ISBN 1-59333-315-3. http://books.google.com/books?id=uhjSiRAwGuEC&pg=PA145&dq=qatrabbul#v=onepage&q=qatrabbul&f=false.
  9. Rashed, Roshdi (1988). "al-Khwārizmī's Concept of Algebra". En Zurayq, Qusṭanṭīn; Atiyeh, George Nicholas; Oweiss, Ibrahim M. (en inglés). Arab Civilization: Challenges and Responses : Studies in Honor of Constantine K. Zurayk. SUNY Press. p. 108. ISBN 0-88706-698-4. http://books.google.com/books?id=JXbXRKRY_uAC&pg=PA108&dq=Qutrubbulli#PPA108,M1.
  10. 10,0 10,1 10,2 Toomer, Gerald (1990). Gillispie, Charles Coulston. ed (en inglés). Dictionary of Scientific Biography. 7. Nova York: Charles Scribner's Sons. ISBN 0-684-16962-2. http://www.encyclopedia.com/doc/1G2-2830902300.html.
  11. Dunlop, Douglas Morton (1943). "Muḥammad b. Mūsā al-Khwārizmī" (en inglés). The Journal of the Royal Asiatic Society of Great Britain and Ireland (Cambridge University) (2): 248–250. JSTOR 25221920.
  12. "al-Khwarizmi" (en inglés). Encyclopædia Britannica. http://www.britannica.com/eb/article-9045366. Consultado o 3 de febreiro de 2014.
  13. "Khwarizmi, Abu Jafar Muhammad ibn Musa al-" (en inglés). Oxford Islamic Studies Online. http://www.oxfordislamicstudies.com/article/opr/t125/e1305.
  14. 14,0 14,1 Rosen, Frederic. The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing "The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing, al-Khwārizmī" (en inglés). 1831 English Translation. http://www.wilbourhall.org/index.html#algebra The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing. Consultado o 3 de febreiro de 2014.
  15. Karpinski, L. C. (1912). "History of Mathematics in the Recent Edition of the Encyclopædia Britannica" (en inglés). American Association for the Advancement of Science.
  16. 16,0 16,1 Boyer, Carl B. (1991). "The Arabic Hegemony" (en inglés). A History of Mathematics (2ª ed.). John Wiley & Sons, Inc.. pp. 228-229. ISBN 0-471-54397-7.
  17. 17,0 17,1 J J O'Connor; E F Robertson. "Abu Ja'far Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi" (en inglés). MacTutor History of Mathematics archive. =University of St Andrews. http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Al-Khwarizmi.html.
  18. Rashed, R.; Armstrong, Angela (1994) (en inglés). The Development of Arabic Mathematics. Springer. pp. 11–2. ISBN 0-7923-2565-6.
  19. Ruska, Julius (1917). "Zur ältesten arabischen Algebra und Rechenkunst" (en alemán). Sitzungsberichte der Heidelberger Akademie der Wissenschaften, Philosophisch-historische Klasse: 1–125. http://catalog.hathitrust.org/Record/001653568.
  20. Berggren, J. Lennart (1986) (en inglés). Episodes in the Mathematics of Medieval Islam. Nova York: Springer. ISBN 0-387-96318-9.
  21. 21,0 21,1 21,2 Kennedy, E. S. (1956) (en inglés). A Survey of Islamic Astronomical Tables; Transactions of the American Philosophical Society. 46. Filadelfia: American Philosophical Society. pp. 26-9, 128.
  22. "The history of cartography" (en inglés). GAP computer algebra system. http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Cartography.html. Consultado o 4 de febreiro de 2014.
  23. Daunicht, Hubert (1968–1970) (en alemán). Der Osten nach der Erdkarte al-Ḫuwārizmīs : Beiträge zur historischen Geographie und Geschichte Asiens. Bonner orientalistische Studien. N.S.; Bd. 19.
  24. 24,0 24,1 E. S. Kennedy (1996). "Mathematical Geography". En Rashed, Roshdi; Morelon, Régis (en inglés). Encyclopedia of the History of Arabic Science. 1. pp. 185-201.}
  25. Covington, Richard (2007). "The Third Dimension" (en inglés). Saudi Aramco World (maio-xuño): 17–21. http://www.saudiaramcoworld.com/issue/200703/the.third.dimension.htm. Consultado o 4 de febreiro de 2014.
  26. L. J. Delaporte (1910) (en francés). Chronographie de Mar Elie bar Sinaya. París. p. xiii.

Outros artigos[editar | editar a fonte]

Commons
Commons ten máis contidos multimedia na categoría: Al-Khwarizmi