Matriz (matemáticas)

Unha matriz é un conxunto de números ordenados en filas e columnas de forma rectangular. $\begin{pmatrix} t_{11} & t_{12} & \ldots & t_{1n}\\ t_{21} &t_{22} & \ldots & t_{2n} \\ \vdots&&&\vdots \\ t_{m1} & t_{m2} &\ldots & t_{mn}\end{pmatrix}$

Unha matriz con m filas e con n columnas dise unha matriz m x n

Filas son horizontais: Columnas son verticais MATRIZ 4x4

Un elemento dunha matriz A que está na i-ésima liña e na j-ésima columna é chamado elemento i,j ou (i,j)-ésimo elemento de A. É escrito como A_i,j ou A[i,j].

Exemplos

A matriz a seguir é unha matriz de orde 2×3 con elementos Números naturais

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$

Nese exemplo, o elemento a_{1 2} é 2, o número na primeira liña e segunda columna do cadro.

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}$

As entradas (símbolos) dunha matriz tamén poden ser definidas de acordo cos seus índices i e j. Por exemplo, $a_{i j} = i + j$, para i de 1 a 3 e j de 1 a 2, define a matriz 3x2 $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \\ 4 & 5\end{pmatrix}$.

Tipos de Matrices

Transposta

A transposta de unha matriz A_{m × n} é a matriz A^t_{n × m} en que $a^{t}_{ij} = a_{ji}$, ou sexa, todos os elementos da primeira liña, tornaranse elementos da primeira columna, todos os elementos da segunda liña, tornaranse elementos da segunda columna, todos os elementos da n liña, serán elementos da n columna.

Exemplo: $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}, A^t = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$

Vector liña

Unha matriz 1 × n (unha liña e n columnas) é chamada vector liña.

Exemplo: $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$

Vector columna

Unha matriz m × 1(unha colmuna e m liñas) é chamada vector columna.

Exemplo:$A = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\3 \end{pmatrix}$ 

Cadrada

Unha matriz é dita cadrada se ten o mesmo número de liñas e columnas, ou sexa, cando podemos dicir que, m ten a mesma cantidade de elementos que n. Nunha matriz cadrada A de orde n × n, chamase diagonal principal os elementos a_ij onde i = j, para i de 1 a n.

Exemplo: $\begin{pmatrix}{1}&{-2}&{0}\\{-1}&{2}&{3}\\{0}&{1}&{0}\end{pmatrix}$ matriz cadrada de orde 3x3.

Matriz identidade

I_n é a matriz cadrada n × n que ten todos os membros da diagonal principal iguais a 1 e 0 nas outras posicións.

Exemplo: $I_{2} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

A única matriz identidade que non contén ceros é a matriz identidade de orde 1: $I_{1} = \begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix}$

Matriz simétrica

Unha matriz A dise simétrica se A = A^t. Iso só ocorre con matrices cadradas.

Exemplo: A= $\begin{pmatrix}{1}&{3}&{4}\\{3}&{3}&{2}\\{4}&{2}&{0}\end{pmatrix}$ = At

Operacións envolvendo Matrices

Multiplicación por un escalar

A multiplicación é unha das operacións mais simples que poden ser feitas con matrices. Para multiplicar un número k calquera por unha matriz n×m A, basta multiplicar cada entrada a_ij de A por k. Asi, a matriz resultante B será tamén n×m e b_ij = k.a_ij. Con iso, podese pensar tamén na noción de dividir unha matriz por un número: basta multiplicala polo inverso dese número. Mais esa noción pode ser perigosa: encanto a multiplicación entre un número e unha matriz pode ser dita "conmutativa", o mesmo non vale para a división, pois non se pode dividir un número por unha matriz.

Por exemplo:

$2 \begin{pmatrix} 1 & 8 & -3 \\ 4 & -2 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\times 1 & 2\times 8 & 2\times -3 \\ 2\times 4 & 2\times -2 & 2\times 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 16 & -6 \\ 8 & -4 & 10 \end{pmatrix}$

Adición e Subtracción entre Matrices

Dadas as matrices A e B do tipo m por n, a súa soma A + B é a matriz m por n computada adicionando os elementos correspondentes: (A + B)[i,j] = A[i, j] + B[i,j].

Por exemplo:

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 5 \\ 7 & 5 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+0 & 3+0 & 2+5 \\ 1+7 & 0+5 & 0+0 \\ 1+2 & 2+1 & 2+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 7 \\ 8 & 5 & 0 \\ 3 & 3 & 3 \end{pmatrix}$

Multiplicación de Matrices

A Multiplicación de dúas matrices é só posíbel se o número de columnas da matriz da esquerda é o mesmo número de liñas da matriz da dereita. Se A é unha matriz m por n e B é unha matriz n por p, entón o seu produto AB é a matriz m por p (m liñas e p columnas) dada por:

$(AB)[i,j] = A[i,1] B[1,j] + A[i,2] B[2,j] + ... + A[i,n] B[n,j] \!\$

para cada par i e j.

Por exemplo:

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1 \times 3 + 0 \times 2 + 2 \times 1) & (1 \times 1 + 0 \times 1 + 2 \times 0) \\ (-1 \times 3 + 3 \times 2 + 1 \times 1) & (-1 \times 1 + 3 \times 1 + 1 \times 0) \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 2 \\ \end{pmatrix}$

Propiedades da Multiplicación

A multiplicación de matrices ten as seguintes propiedades:

NON CONMUTATIVA: En xeral o produto de matrices é non conmutativo.

Se as matrices non son cadradas poderemos facer AB pero non BA

Se as matrices son cadradas poderemos facer AB e BA peron non teñen porque coincidir. Se coinciden diremos que as matrices A e B conmutan. AB=BA

Exemplo: $\begin{pmatrix} 1 & 2  \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0  \\ 
   0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 2  \\  0 & 4 \end{pmatrix}$  e $\begin{pmatrix} 0 & 0  \\  0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2  \\ 3 & 4 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 & 0  \\  3 & 4 \end{pmatrix}$ as matrices non conmutan.

DISTRIBUTIVA:

Se A e B $\in {M}_{m x n}$ e a matriz C $\in {M}_{k x m}$ ("distributiva á esquerda"). C(A+B)=CA+CB

Se A e B$\in {M}_{m x n}$ e a matriz C $\in {M}_{n x k}$ ("distributiva á dereita"). (A+B)C=AC+BC

Véxase tamén

• O conxunto das matrices n×m sobre un corpo F coas operacións de soma de matrices e multiplicación de escalar por matriz forma un espazo vectorial de dimensión nm sobre F.

• O espazo vectorial das matrices n×n sobre un corpo F coa operación de multiplicación de matrices forma unha álxebra asociativa con elemento identidade sobre o corpo F.