Matriz (matemáticas)

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

Unha matriz é un conxunto de números ordenados en filas e columnas de forma rectangular. \begin{pmatrix} t_{11} & t_{12} & \ldots & t_{1n}\\ t_{21} &t_{22} & \ldots & t_{2n} \\ \vdots&&&\vdots \\ t_{m1} & t_{m2} &\ldots & t_{mn}\end{pmatrix}

Unha matriz con m filas e con n columnas dise unha matriz m x n

Filas son horizontais: matiz 4x4‎ Columnas son verticais ‎ MATRIZ 4x4

Un elemento dunha matriz A que está na i-ésima liña e na j-ésima columna é chamado elemento i,j ou (i,j)-ésimo elemento de A. É escrito como Ai,j ou A[i,j].


Exemplos[editar | editar a fonte]

A matriz a seguir é unha matriz de orde 2×3 con elementos Números naturais


A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}

Nese exemplo, o elemento a1 2 é 2, o número na primeira liña e segunda columna do cadro.



A = \begin{pmatrix}
    a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
    a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
    \end{pmatrix}

As entradas (símbolos) dunha matriz tamén poden ser definidas de acordo cos seus índices i e j. Por exemplo, a_{i j} = i + j, para i de 1 a 3 e j de 1 a 2, define a matriz 3x2 A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \\ 4 & 5\end{pmatrix}.

Tipos de Matrices[editar | editar a fonte]

Transposta[editar | editar a fonte]

A transposta de unha matriz Am × n é a matriz Atn × m en que a^{t}_{ij} = a_{ji}, ou sexa, todos os elementos da primeira liña, tornaranse elementos da primeira columna, todos os elementos da segunda liña, tornaranse elementos da segunda columna, todos os elementos da n liña, serán elementos da n columna.

Exemplo: A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}, A^t = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}

Vector liña[editar | editar a fonte]

Unha matriz 1 × n (unha liña e n columnas) é chamada vector liña.

Exemplo: 
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}

Vector columna[editar | editar a fonte]

Unha matriz m × 1(unha colmuna e m liñas) é chamada vector columna.

Exemplo:
A = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\3 \end{pmatrix}
 


Cadrada[editar | editar a fonte]

Unha matriz é dita cadrada se ten o mesmo número de liñas e columnas, ou sexa, cando podemos dicir que, m ten a mesma cantidade de elementos que n. Nunha matriz cadrada A de orde n × n, chamase diagonal principal os elementos aij onde i = j, para i de 1 a n.

Exemplo: \begin{pmatrix}{1}&{-2}&{0}\\{-1}&{2}&{3}\\{0}&{1}&{0}\end{pmatrix} matriz cadrada de orde 3x3.

Matriz identidade[editar | editar a fonte]

In é a matriz cadrada n × n que ten todos os membros da diagonal principal iguais a 1 e 0 nas outras posicións.

Exemplo: I_{2} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

A única matriz identidade que non contén ceros é a matriz identidade de orde 1: I_{1} = \begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix}

Matriz simétrica[editar | editar a fonte]

Unha matriz A dise simétrica se A = At. Iso só ocorre con matrices cadradas.

Exemplo: A= \begin{pmatrix}{1}&{3}&{4}\\{3}&{3}&{2}\\{4}&{2}&{0}\end{pmatrix} = At

Operacións envolvendo Matrices[editar | editar a fonte]

Multiplicación por un escalar[editar | editar a fonte]

A multiplicación é unha das operacións mais simples que poden ser feitas con matrices. Para multiplicar un número k calquera por unha matriz n×m A, basta multiplicar cada entrada aij de A por k. Asi, a matriz resultante B será tamén n×m e bij = k.aij. Con iso, podese pensar tamén na noción de dividir unha matriz por un número: basta multiplicala polo inverso dese número. Mais esa noción pode ser perigosa: encanto a multiplicación entre un número e unha matriz pode ser dita "conmutativa", o mesmo non vale para a división, pois non se pode dividir un número por unha matriz.

Por exemplo:

2
  \begin{pmatrix}
    1 & 8 & -3 \\
    4 & -2 & 5
  \end{pmatrix}
=
  \begin{pmatrix}
    2\times 1 & 2\times 8 & 2\times -3 \\
    2\times 4 & 2\times -2 & 2\times 5
  \end{pmatrix}
=
  \begin{pmatrix}
    2 & 16 & -6 \\
    8 & -4 & 10
  \end{pmatrix}

Adición e Subtracción entre Matrices[editar | editar a fonte]

Dadas as matrices A e B do tipo m por n, a súa soma A + B é a matriz m por n computada adicionando os elementos correspondentes: (A + B)[i,j] = A[i, j] + B[i,j].

Por exemplo:


  \begin{pmatrix}
    1 & 3 & 2 \\
    1 & 0 & 0 \\
    1 & 2 & 2
  \end{pmatrix}
+
  \begin{pmatrix}
    0 & 0 & 5 \\
    7 & 5 & 0 \\
    2 & 1 & 1
  \end{pmatrix}
=
  \begin{pmatrix}
    1+0 & 3+0 & 2+5 \\
    1+7 & 0+5 & 0+0 \\
    1+2 & 2+1 & 2+1
  \end{pmatrix}
=
  \begin{pmatrix}
    1 & 3 & 7 \\
    8 & 5 & 0 \\
    3 & 3 & 3
  \end{pmatrix}

Multiplicación de Matrices[editar | editar a fonte]

A Multiplicación de dúas matrices é só posíbel se o número de columnas da matriz da esquerda é o mesmo número de liñas da matriz da dereita. Se A é unha matriz m por n e B é unha matriz n por p, entón o seu produto AB é a matriz m por p (m liñas e p columnas) dada por:

 (AB)[i,j] = A[i,1]  B[1,j] + A[i,2]  B[2,j] + ... + A[i,n]  B[n,j] \!\

para cada par i e j.

Por exemplo:


  \begin{pmatrix}
    1 & 0 & 2 \\
    -1 & 3 & 1 \\
  \end{pmatrix}
\times
  \begin{pmatrix}
    3 & 1 \\
    2 & 1 \\
    1 & 0
  \end{pmatrix}
=
  \begin{pmatrix}
     (1 \times 3  +  0 \times 2  +  2 \times 1) & (1 \times 1   +   0 \times 1   +   2 \times 0) \\
    (-1 \times 3  +  3 \times 2  +  1 \times 1) & (-1 \times 1   +   3 \times 1   +   1 \times 0) \\
  \end{pmatrix}
=
  \begin{pmatrix}
    5 & 1 \\
    4 & 2 \\
  \end{pmatrix}

Propiedades da Multiplicación[editar | editar a fonte]

A multiplicación de matrices ten as seguintes propiedades:

NON CONMUTATIVA: En xeral o produto de matrices é non conmutativo.

Se as matrices non son cadradas poderemos facer AB pero non BA

Se as matrices son cadradas poderemos facer AB e BA peron non teñen porque coincidir. Se coinciden diremos que as matrices A e B conmutan. AB=BA

Exemplo:  \begin{pmatrix} 1 & 2  \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0  \\ 
   0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 2  \\  0 & 4 \end{pmatrix}   e  \begin{pmatrix} 0 & 0  \\  0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2  \\ 3 & 4 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 & 0  \\  3 & 4 \end{pmatrix}  as matrices non conmutan.

DISTRIBUTIVA:

Se A e B  \in {M}_{m x n} e a matriz C  \in {M}_{k x m} ("distributiva á esquerda"). C(A+B)=CA+CB

Se A e B \in {M}_{m x n} e a matriz C  \in {M}_{n x k} ("distributiva á dereita"). (A+B)C=AC+BC


Véxase tamén[editar | editar a fonte]

  • O conxunto das matrices n×m sobre un corpo F coas operacións de soma de matrices e multiplicación de escalar por matriz forma un espazo vectorial de dimensión nm sobre F.
  • O espazo vectorial das matrices n×n sobre un corpo F coa operación de multiplicación de matrices forma unha álxebra asociativa con elemento identidade sobre o corpo F.