Raíz dunha función

Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: Raíz (homónimos).

En matemáticas, unha raíz dunha función $f(x)$ é un elemento $x$ do dominio desta función tal que $f(x)=0$. Deste xeito, tamén se di cero da función.

Unha raíz dun polinomio é un cero da súa función polinómica.

O teorema fundamental da álxebra afirma que calquera polinomio non nulo ten como moito tantas raíces como grao ten o polinomio, e os dous números coinciden ao considerar raíces complexas (en xeral, as raíces nunha extensión alxebricamente pechada) contadas coas súas multiplicidades. Por exemplo, o polinomio $f$ de grao dous, definido por

$f(x)=x^{2}-5x+6$

Ten as dúas raíces $2$ e $3$, xa que

$f(2)=2^{2}-5\cdot 2+6=0\quad {\textrm {e}}\quad f(3)=3^{2}-5\cdot 3+6=0$

Se a función é unha aplicación dos números reais aos números reais, entón os seus ceros son as coordenadas x dos puntos onde a gráfica intersecta co eixe das x.

Solución dunha ecuación

Toda ecuación na variábel x pode ser reescrita como

$f(x)=0$

ao arrexuntar tódolos termos no lado esquerdo. Así, as solucións dunha ecuación son exactamente as raíces da función f. Noutras palabras, atopar o "cero dunha función" é unha frase equivalente a atopar unha "solución da ecuación obtida igualando a función a 0", e o estudo dos ceros de funcións é exactamente o mesmo que o estudo de solucións de ecuacións.

Raíces de polinomios

Todo polinomio real de grao impar ten un número impar de raíces reais (contando multiplicidades); do mesmo xeito, un polinomio real de grao par ten que ter un número par de raíces reais. Como consecuencia, os polinomios reais de grao impar teñen que ter polo menos unha raíz real (porque 1 é o menor número enteiro impar), mentres que os polinomios de grao par poden non ter ningunha. Este principio pódese demostrar co teorema do valor intermedio: xa que as funcións polinómicas son continuas, o valor da función ten que cruzar o 0 no proceso de mudar desde valores negativos a positivos, ou viceversa.

Teorema fundamental da álxebra

Artigo principal: Teorema fundamental da álxebra.

O teorema fundamental da álxebra afirma que todo polinomio de grao $n$ ten $n$ raíces complexas, contando coas súas multiplicidades. As raíces non reais de polinomios cos coeficientes reais conforman parellas de complexos conxugados.

Cálculo de raíces

Para calcular raíces de funcións, por exemplo funcións polinómicas, a miúdo cómpre o uso de técnicas especializados ou de aproximación (por exemplo, o método de Newton). Con todo, para algunhas funcións polinómicas, incluíndo aquelas de grao non maior a 4, pódense atopar tódalas súas raíces alxebricamente en termos dos seus coeficientes.