Lóxica

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Este é un dos 1000 artigos que toda Wikipedia debería ter.

A lóxica, termo con orixe no grego λογική logos, 'razón', 'palabra', é a parte da filosofía e das matemáticas que se ocupa dos razoamentos expresados lingüisticamente. Estuda a súa estrutura, a súa forma e a súa corrección e establece cando un razoamento está ben construído e podemos, polo tanto, asegurar a validez da súa conclusión.

Así como o obxecto de estudo tradicional da química é a materia, e o da bioloxía a vida, o da lóxica é a inferencia. A inferencia é o proceso polo cal se derivan conclusións a partir de premisas.[1] A lóxica investiga os principios polos cales algunhas inferencias son aceptables, e outras non. Cando unha inferencia é aceptable, éo pola súa estrutura lóxica, e non polo contido específico do argumento ou a linguaxe utilizada. Por esta razón a lóxica considérase unha ciencia formal, como a matemática, no canto dunha ciencia empírica.

A lóxica tradicionalmente foi considerada unha rama da filosofía. Pero desde finais do século XIX, a súa formalización simbólica demostrou unha íntima relación coas matemáticas, e deu lugar á lóxica matemática. No século XX a lóxica pasou a ser principalmente a lóxica simbólica, un cálculo definido por símbolos e regras de inferencia, o que permitiu a súa aplicación á informática. Até o século XIX, a lóxica aristotélica e estoica mantiveron sempre unha relación cos argumentos formulados en linguaxe natural. Por iso, aínda que eran formais, non eran formalistas.[2] Hoxe esa relación trátase baixo un punto de vista completamente diferente. A formalización estrita mostrou as limitacións da lóxica tradicional ou aristotélica, que hoxe se interpreta como unha parte pequena da lóxica de clases.

A natureza da lóxica[editar | editar a fonte]

Aristóteles, 384–322 adC., un dos pais da filosofía.

O concepto central que estuda a lóxica é a relación de consecuencia lóxica. Informalmente podémolo expresar de varias maneiras. Dado un conxunto de proposicións (as premisas) e unha proposición (a conclusión) podemos dicir que as premisas teñen como consecuencia lóxica a conclusión se esta se segue das premisas, ou se as premisas constitúen unha boa xustificación para a conclusión, ou o razoamento que empeza coas premisas e acaba coa conclusión é loxicamente válido. Esta relación explicouse de varias maneiras que, xeralmente, parten dunha mesma idea básica: entre unhas premisas e unha conclusión hai relación de consecuencia lóxica se, e só se, non é posible que as premisas sexan verdadeiras e en cambio a conclusión sexa falsa.

A forma tamén é unha noción central para a lóxica porque permite estudar a consecuencia lóxica. Recibiu varios tratamentos. En particular, a lóxica simbólica fíxoo a través de linguaxes simbólicas, mentres que a lóxica tradicional aristotèlica-medieval fíxoo a través da siloxística.

  • A lóxica formal estuda a inferencia a través de sistemas formais que fan abstracción do contido das proposicións e fíxanse só na súa forma. As primeiras regras de lóxica formal foron descritas por Aristóteles.[4] A grandes liñas, podemos dicir que a todo sistema formal correspóndelle determinar unha linguaxe (natural ou artificial) en que se formulan as proposicións, uns enunciados que se consideran verdadeiros e que non hai que demostrar (os axiomas) e unhas regras de inferencia que permiten obter novos enunciados a partir de enunciados xa xustificados. Aqueles enunciados que se poden demostrar simplemente a partir dos axiomas e as regras de inferencia (é dicir, sen o uso de premisas suplementarias) son os teoremas do sistema.

Consistencia, corrección e completitude[editar | editar a fonte]

Algunhas das propiedades máis importantes que pode ter un sistema formal son as seguintes:

  • Consistencia: o sistema é libre de contradicións, é dicir, as proposicións que permite xustificar son loxicamente compatibles entre si e non é posible derivar ningunha contradición.
  • Corrección: o sistema só permite derivar proposicións que son consecuencia lóxica das premisas que se utilizaron na derivación, é dicir, non permite derivar unha proposición falsa a partir de premisas verdadeiras. Por tanto, se un sistema é correcto e ten axiomas verdadeiros, entón todos os teoremas que permite demostrar son tamén verdadeiros, e todas as consecuencias que permite derivar de premisas verdadeiras tamén son verdadeiras. Deste xeito a relación de derivabilidade nun sistema formal correcto é unha relación de consecuencia lóxica.
  • Completitude: dado calquera conxunto de premisas o sistema permite derivar todas as proposicións que son consecuencia lóxica.

Xusto é dicir que non todos os sistemas formais gozan destas tres propiedades. De feito, os soados traballos de Kurt Gödel mostraron que non hai ningún sistema útil para a aritmética que sexa ó tempo consistente e completo.[6]

Razoamento dedutivo e indutivo[editar | editar a fonte]

En todo o que dixemos até aquí facíamos referencia só ao razoamento dedutivo, é dicir, a aquel que estuda a relación de consecuencia lóxica entre un conxunto de premisas e unha conclusión. Aínda así, hai que ter en conta que tradicionalmente tamén se considerou outro tipo de razoamento, o razoamento indutivo, que tipicamente deriva xeneralizacións aceptables a partir de observacións empíricas. Este outro tipo de razoamento tamén foi obxecto de estudo pola lóxica. Por tanto, hai que distinguir coidadosamente entre a validez dedutiva e a validez indutiva. Dixemos que unha inferencia é dedutivamente válida se, e só se, non é posible que as premisas sexan verdadeiras e a conclusión sexa falsa. Así, a inferencia dedutiva ou consecuencia lóxica recibe un tratamento puramente semántico. A validez indutiva, en cambio, require aclarar que é unha xeneralización aceptable a partir dun conxunto de observacións empíricas. Este concepto tentouse dilucidar desde varios puntos de vista, algúns máis formais que outros, e ás veces deron lugar a definicións que involucran modelos probabilísticos.

Concepcións diferentes da lóxica[editar | editar a fonte]

Como vimos até agora, a lóxica xurdiu da preocupación pola correctitude da argumentación. Os lóxicos modernos normalmente queren asegurarse que a lóxica estuda tan só aqueles argumentos que se desprenden de formas xerais apropiadas de inferencia. Así pois, por exemplo, a Enciclopedia Stanford de Filosofía di da lóxica que non cobre, aínda así, a totalidade dos bos razoamentos. Esta é a tarefa da racionalidade. Máis ben, a lóxica trata con inferencias das que se pode determinar a orixe da súa validez nas características formais das representacións que están involucradas nesta inferencia, sexa esta lingüística, mental, ou doutro tipo.[7]

Como contraste, Immanuel Kant argumentou que a lóxica tería que se concibir como ciencia do xuízo, unha idea recollida nas obras lóxicas e filosóficas de Gottlob Frege, onde o pensamento (en alemán: gedanke) se substitúe polo xuízo (en alemán: urteil). Seguindo esta concepción, as inferencias lóxicas válidas seguiríanse das características estruturais do xuízo ou dos pensamentos.

Historia da lóxica[editar | editar a fonte]

A lóxica como ciencia e como instrumento de coñecemento científico nace en Grecia e foi fundada por Aristóteles, que escribe moitos tratados sobre o razoamento dedutivo referíndose a unha modalidade deste razoamento que recibe o nome de siloxismo. A esta lóxica iniciada por este filósofo, e conservada practicamente na súa totalidade con algunhas achegas da Idade Media e da Idade Moderna, dámoslle o nome de lóxica clásica ou tradicional. A partir do século XIX comeza a contribución de matemáticos e lóxicos como Boole (XIX), Frege (XIX-XX) ou Rusell (XX), e con eles iniciase a chamada lóxica moderna ou simbólica. As principais diferenzas entre a lóxica clásica e moderna son as seguintes: Na lóxica tradicional só se substituían por símbolos as partes variables dos enunciados, é dicir, os nomes e os predicados, e os outros elementos permanecían nunca linguaxe natural. Coa lóxica simbólica tamén os elementos que sinalan relacións se substitúen. Outra diferenza é que a lóxica moderna ten unha linguaxe formal (por iso pode chamarse lóxica formal), pois non emprega unha linguaxe corrente senón as súas propias regras e signos. A pesar de todo a lóxica moderna non anula á anterior porque inclúe as contribucións fundamentais da súa predecesora. Por iso, a lóxica moderna é máis ampla.

Idade Antiga[editar | editar a fonte]

A lóxica, como unha análise explícita dos métodos de razoamento, desenvolveuse orixinalmente en tres civilizacións da historia antiga: China, India e Grecia, entre o século V e o século I a.C.

En China non durou moito tempo: a tradución e a investigación escolar en lóxica foi reprimida pola dinastía Qin, acorde coa filosofía lexista. En India, a lóxica durou bastante máis: desenvolveuse (por exemplo coa nyāya) ata que no mundo islámico apareceu a escola de Asharite, a cal suprimiu parte do traballo orixinal en lóxica. A pesar do anterior, houbo innovacións escolásticas indias até principios do século XIX, pero non sobreviviu moito dentro da India colonial. O tratamento sofisticado e formal da lóxica moderna aparentemente provén da tradición grega.

Considérase a Aristóteles o fundador da lóxica como propedéutica ou ferramenta básica para todas as ciencias. Aristóteles foi o primeiro en formalizar os razoamentos, utilizando letras para representar termos. Tamén foi o primeiro en empregar o termo «lóxica» para referirse ao estudo dos argumentos dentro da «linguaxe apofántica» como manifestador da verdade na ciencia. Sostivo que a verdade maniféstase no xuízo verdadeiro e o argumento válido no siloxismo: «Siloxismo é un argumento no cal, establecidas certas cousas, resulta necesariamente delas, por ser o que son, outra cousa diferente».[8] Referiuse en varios escritos do seu Órganon a cuestións tales como concepto, a proposición, definición, proba e falacia. Na súa principal obra lóxica, os Primeiros analíticos, desenvolveu o siloxismo, un sistema lóxico de estrutura ríxida. Aristóteles tamén formalizou o cadro de oposición dos xuízos e categorizou as formas válidas do siloxismo. Ademais, Aristóteles recoñeceu e estudou os argumentos indutivos, base do que constitúe a ciencia experimental, cuxa lóxica está estreitamente ligada ó método científico. A influencia dos logros de Aristóteles foi tan grande, que no século XVIII, Immanuel Kant chegou a dicir que Aristóteles practicamente completara a ciencia da lóxica.[9]

Os filósofos estoicos introduciron o siloxismo hipotético e anunciaron a lóxica proposicional, pero non tivo moito desenvolvemento.

Doutra banda, a lóxica informal foi cultivada pola retórica, a oratoria e a filosofía, entre outras ramas do coñecemento. Estes estudos centráronse principalmente na identificación de falacias e paradoxos, así como na construción correcta dos discursos.

No período romano a lóxica tivo pouco desenvolvemento, máis ben fixéronse sumarios e comentarios ás obras recibidas, sendo os máis notables: Cicerón, Porfirio e Boecio. No período bizantino, Filopón.

Idade Media[editar | editar a fonte]

Averroes, un dos principais árabes en rescatar a lóxica aristotélica e regresala a Occidente.

Co nome de Dialéctica na Idade Media a lóxica mantén a condición de ciencia propedéutica. Así se estuda na estrutura dos ensinos do Trivium como unha das artes liberais pero sen especiais achegas na Alta Idade Media.

Na súa evolución cara á Baixa Idade Media son importantes as achegas árabes de Al-Farabí; Avicena[10] e Averroes, pois foron os árabes quen reintroduciron os escritos de Aristóteles en Europa.

Na Baixa Idade Media o seu estudo era requisito para entrar en calquera universidade. Desde mediados do século XIII inclúense na lóxica tres corpos separados do texto. Na logica vetus e logica nova é tradicional escritos lóxicos, especialmente o Órganon de Aristóteles e os comentarios de Boecio e Porfirio. A parva logicalia pode ser considerada como representativa da lóxica medieval.

A evolución crítica que se vai desenvolvendo a partir das achegas de Abelardo dinamizaron a problemática lóxica e epistemolóxica a partir do século XIII (Pedro Hispano, Raimundo Lulio[11], Lambert de Auxerre e Guillermo de Sherwood) que culminaron en toda a problemática do século XIV: Guillermo de Ockham, Jean Buridan e Alberto de Saxonia.

Aquí están tratados unha cantidade de novos problemas na fronteira da lóxica e da semántica que non foron tratados polos pensadores antigos. De especial relevancia é a problemática respecto da valoración dos termos da linguaxe en relación cos conceptos universais, así como o estatuto epistemolóxico e ontolóxico destes e o problema da individuación.

Idade Moderna[editar | editar a fonte]

Retrato de G.W.F. Hegel.
Artigo principal: Kant.
Artigo principal: Idealismo.
Artigo principal: Hegel.

Un novo enfoque adquire esta lóxica nas interpretacións racionalistas de Port Royal, no século XVII, (Antoine Arnauld; Pierre Nicole) pero tampouco supuxeron un cambio radical no concepto da lóxica como ciencia.

Os filósofos racionalistas, con todo, achegaron a través do desenvolvemento da análise e o seu desenvolvemento nas matemáticas (Descartes, Pascal e Leibniz) os temas que van marcar o desenvolvemento posterior. Son de especial importancia a idea de Descartes dunha Mathesis universalis[12] e de Leibniz na procura dunha linguaxe universal, especificado con precisión matemática sobre a base de que a sintaxe das palabras debería estar en correspondencia coas entidades designadas como individuos ou elementos metafísicos, o que faría posible un cálculo ou computación mediante algoritmos no descubrimento da verdade.[13]

Aparecen os primeiros intentos e realizacións de máquinas de cálculo, (Pascal, Leibniz) e, aínda que o seu desenvolvemento non foi eficaz, con todo a idea dunha Mathesis Universal ou «Característica Universal», é o antecedente inmediato do desenvolvemento da lóxica a partir do século XX.

Kant consideraba que a lóxica por ser unha ciencia a priori atopara o seu pleno desenvolvemento practicamente coa lóxica aristotélica, polo que apenas fora modificada desde entón.[14]

Pero fai un uso novo da palabra «lóxica» como lóxica transcendental, no sentido de investigar os conceptos puros do entendemento ou categorías transcendentais.

A lóxica do pensar transcendental acaba situándose nun proceso dialéctico como idealismo subxectivo en Fichte; idealismo obxectivo en Schelling e, finalmente un idealismo absoluto en Hegel.

Hegel considera a lóxica dentro do Absoluto como un proceso dialéctico do Espírito Absoluto[15] que produce as súas determinacións como concepto e a súa realidade como resultado no devir da Idea do Absoluto como Suxeito[16] cuxa verdade se manifesta no resultado do movemento mediante a contradición en tres momentos sucesivos, tese-antítese-síntese. A epistemoloxía e a ontoloxía van unidas e expostas na Filosofía entendida esta como Sistema Absoluto.

Século XIX[editar | editar a fonte]

George Boole.

A partir da segunda metade do século XIX, a lóxica sería revolucionada profundamente. En 1847, George Boole publicou un breve tratado titulado A análise matemática da lóxica, e en 1854 outro máis importante titulado As leis do pensamento. A idea de Boole foi construír á lóxica como un cálculo no que os valores de verdade represéntanse mediante o 0 (falsidade) e o 1 (verdade), e ós que se lles aplican operacións matemáticas como a suma e a multiplicación.

Ó mesmo tempo, Augustus De Morgan publica en 1847 a súa obra Lóxica formal, onde introduce as leis de De Morgan e tenta xeneralizar a noción de siloxismo. Outro importante contribuínte inglés foi John Venn, quen en 1881 publicou o seu libro Lóxica Simbólica, onde introduciu os famosos diagramas de Venn.

Charles Sanders Peirce e Ernst Schröder tamén fixeron importantes contribucións.

Con todo, a verdadeira revolución da lóxica veu da man de Gottlob Frege, quen frecuentemente é considerado como o lóxico máis importante da historia, xunto con Aristóteles. No seu traballo de 1879, a Conceptografía, Frege ofrece por primeira vez un sistema completo de lóxica de predicados. Tamén desenvolve a idea dunha linguaxe formal e define a noción de proba. Estas ideas constituíron unha base teórica fundamental para o desenvolvemento das computadoras e as ciencias da computación, entre outras cousas. A pesar disto, os contemporáneos de Frege pasaron por alto as súas contribucións, probablemente por mor da complicada notación que desenvolveu o autor. En 1893 e 1903, Frege publica en dous volumes As leis da aritmética, onde tenta deducir toda a matemática a partir da lóxica, no que se coñece como o proxecto loxicista. O seu sistema, con todo, contiña unha contradición (o paradoxo de Russell).

Século XX[editar | editar a fonte]

Bertrand Russell.

O século XX sería un de enormes desenvolvementos na lóxica. A partir do século XX, a lóxica pasou a estudarse polo seu interese intrínseco, e non só polas súas virtudes como propedéutica, polo que se estudou a niveis moito máis abstractos.

En 1910, Bertrand Russell e Alfred North Whitehead publican Principia mathematica, un traballo monumental no que logran derivar gran parte da matemática a partir da lóxica, evitando caer nos paradoxos nas que caeu Frege. Os autores recoñecen o mérito de Frege no prefacio. En contraste co traballo de Frege, Principia mathematica tivo un éxito rotundo, e chegou a considerarse un dos traballos de non ficción máis importantes e influentes de todo o século XX. Principia mathematica utiliza unha notación inspirada na de Giuseppe Peano, parte da cal aínda é moi utilizada hoxe en día.

Aínda que á luz dos sistemas contemporáneos a lóxica aristotélica pode parecer equivocada e incompleta, Jan Łukasiewicz mostrou que, a pesar das súas grandes dificultades, a lóxica aristotélica era consistente, aínda que había que interpretarse como lóxica de clases, o cal non é pequena modificación. Por iso a siloxística practicamente non ten uso actualmente.

Ademais da lóxica proposicional e a lóxica de predicados, o século XX viu o desenvolvemento de moitos outros sistemas lóxicos; entre os que destacan as moitas lóxicas modais.

Tipos de lóxica[editar | editar a fonte]

Lóxica siloxística[editar | editar a fonte]

Organon foi a principal obra sobre lóxica de Aristóteles, e dentro deste, os Primeiros analíticos foi o primeiro traballo explícito en lóxica formal. Nesta obra introdúcese o siloxismo lóxico. O siloxismo estuda as conclusións como proposicións que constan de dous termos, relacionados por un número fixo de relacións, e a expresión das inferencias por medio de siloxismos que consisten en dúas proposicións que comparten unha premisa común, e unha conclusión, que é unha proposición que involucra os dous termos non relacionados das premisas .

A obra de Aristóteles tivo unha gran importancia na época clásica e ó longo do período medieval, onde se estudou a fondo, especialmente desde a perspectiva escolástica. Fixéronse varias críticas á Organon: por exemplo, Occam estudou a conveniencia de aceptar ou non o principio do terzo excluído, alicerce fundamental da lóxica aristotélica. Tamén se estudaron sistemas lóxicos complementarios: os estoicos propuxeron un sistema de lóxica proposicional, que interesou a varios lóxicos medievais.

Hoxe en día, o sistema lóxico aristotélico, a pesar de ter unha gran importancia histórica, quedou obsoleto ante o desenvolvemento da lóxica proposicional e o cálculo de predicados. Con todo, aínda se utiliza en determinados aspectos da teoría da argumentación, para establecer preguntas críticas no funcionamento de esquemas de argumentación, por exemplo, no campo legal ou de intelixencia artificial.

Lóxica proposicional[editar | editar a fonte]

Artigo principal: Lóxica proposicional.

O cálculo proposicional (tamén chamado cálculo sentencial) é un sistema formal en que as fórmulas que representan proposicións pódense formar combinando proposicións atómicas usando conectores lóxicos. Na lóxica proposicional, existe un sistema de regras de proba formal que permite que certas fórmulas se poidan establecer como teoremas.

Lóxica de predicados[editar | editar a fonte]

Gottlob Frege.

A lóxica de predicados é o nome xenérico que reciben os sistemas simbólicos formais como a lóxica de primeira orde, a lóxica de segunda orde ou a lóxica infinitista.

Mentres que a lóxica siloxística aristotélica especificaba a forma dos xuízos involucrados nunha dedución, a lóxica de predicados permite que as sentenzas sexan analizadas como premisa e argumento de formas diferentes, solucionando así o problema de xeneralidade múltiple que preocupaba os lóxicos medievais.

O desenvolvemento da lóxica de predicados atribúese normalmente a Gottlob Frege, a quen tamén se recoñece como un dos fundadores da filosofía analítica, pero a formulación da lóxica de predicados máis utilizada hoxe en día é a lóxica de primeira orde presentada nos Principles of Mathematical Logic de David Hilbert e Wilhelm Ackermann en 1928. A xeneralización analítica da lóxica de predicados permitiu a formalización das matemáticas, e dirixiu a investigación en teoría de conxuntos, abrindo camiño para o tratamento da teoría de modelos de Alfred Tarski. Non é unha esaxeración afirmar que representa os fundamentos da lóxica matemática moderna.

O sistema orixinal de lóxica de predicados de Frege non era de primeira, senón de segunda orde. A lóxica de segunda orde está defendida especialmente por George Boolos e Stewart Shapiro, ante as críticas de Willard Van Orman Quine e outros.

Lóxica modal[editar | editar a fonte]

Saul Kripke.

En xeral, o termo modal refírese ó feito de que se pode modificar a semántica de certas partes dunha oración usando verbos ou complementos específicos. Por exemplo, non é o mesmo "Imos xogar" que "Teriamos que ir xogar", "Poderiamos ir xogar" ou mesmo "Iremos xogar". De forma máis abstracta, podemos afirmar que a modalidade ten que ver coas circunstancias en que damos por satisfeita unha afirmación. Pola súa natureza, este problema está moi emparentado coa lóxica multi-avaliada, onde non se admite a bivalencia clásica (unha proposición ou ben é certa, ou ben é falsa), senón que se amplían os graos de verdade: certo, falso, descoñecido no caso de Lukasiewicz, e recibe outros tratamentos por parte de Kleene.

O estudo lóxico da modalidade remóntase até Aristóteles, que trata o paradoxo lóxico da continxencia futura:[17] por exemplo, oracións do tipo "Mañá haberá unha batalla naval, ou non haberá ningunha". Segundo o principio do terzo excluído, esta proposición sempre é certa, posto que efectivamente, sempre se dá unha das dúas posibilidades. Aínda así, esta forma de analizalo non resulta satisfactoria, posto que non sabemos do certo que cabe das dúas afirmacións ("haberá unha batalla", ou ben "non haberá ningunha batalla") poida ser certa. Isto expón a posibilidade de introducir operadores modais que se refiran ao grao de certeza de cada proposición: é posible que mañá haxa unha batalla, ou ben é seguro que mañá haberá unha batalla. Con todo, Aristóteles non profunda nesta dirección.

Durante o Idade Media, habería algúns intentos de estudar como se modificaba a lóxica introducindo estes operadores: a idea responde o concepto medieval de continxencia fronte ó de necesidade. William de Ockham, por exemplo, trataría de estudar este tipo de lóxica. Leibniz, e contemporáneamente Deleuze, tratarían problemas similares.

Coa preocupación polos fundamentos das matemáticas de principios de século XX, este problema entroncaríase coas concepcións diferentes das matemáticas que xurdían: por exemplo, o intuicionismo, e daría varios froitos. Coas investigacións de Clarence Irving Lewis, en 1918, a modalidade ampliaríase para incluír a lóxica epistèmica. Co traballo de Arthur Prior, tamén se puido tratar a lóxica temporal como un tipo de lóxica modal. Saul Kripke, coa súa teoría, despois chamada semántica de Kripke, revolucionou as ferramentas formais dispoñibles para os lóxicos, e proporcionaba unha forma de tratar a modalidade usando grafos que tería numerosas aplicacións en lingüística computacional e informática, por exemplo a lóxica dinámica.

Desenvolvementos posteriores da lóxica, por exemplo a lóxica borrosa ou a lóxica cuántica, que incorporan nocións de vaguedade sobre o valor de verdade das proposicións, pódense ver como extensións máis complexas da idea fundacional da lóxica modal.

Notas[editar | editar a fonte]

  1. The Cambridge Dictionary of Philosophy (Segunda edición ed.). Robert Audi. 
  2. La actualidad de la lógica de Aristóteles. 62. 2006. pp. 139-150. http://www.scielo.cl/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0718-43602006000100009. 
  3. Platón, The Portable Plato, editado por Scott Buchanan, Penguin, 1976, ISBN 0-14-015040-4.
  4. Aristóteles, The Basic Works, Richard Mckeon, editor, Modern Library, 2001, ISBN 0-375-75799-6, especialmente, Posterior Analytics.
  5. Whitehead, Alfred North; Russell, Bertrand. Cambridge University Press. Principia Mathematica to *56, 1967. ISBN 0-521-62606-4.
  6. 6,0 6,1 Ver un tratamento moderno de A. G. Hamilton, Logic for Mathematicians, Cambridge, 1980, ISBN 0-521-29291-3.
  7. [Logic] "does not, however, cover good reasoning as a whole. That is the job of the theory of rationality. Rather it deals with inferences whose validity can be traced back to the formal features of the representations that are involved in that inference, be they linguistic, mental, or other representations".Hofweber, T. (2004). "Logic and Ontology". Stanford Encyclopedia of Philosophy. Edward N.; Zalta. http://plato.stanford.edu/entries/logic-ontology.  (en inglés)
  8. Aristóteles. Primeiros analíticos. I 24b 18-23. 
  9. *Kant. Crítica da Razón Pura, 1781
  10. De especial relevancia é a súa distinción entre ser de esencia e ser de existencia de gran importancia na interpretación da lóxica.
  11. Coa idea de confeccionar unhas táboas ou Ars Magna, a modo de máquina que permitise a dedución de todas as verdades, incluídas as da Fe
  12. Regulae ad directionem ingenii. Regra IV
  13. Enciclopedia Oxford de Filosofía. op. cit.
  14. Así o expresa:
    A lóxica de Aristóteles non tivo que retroceder un só paso.... É tamén digno de atención que tampouco puidese dar, até agora, ningún paso cara a adiante, e que, segundo toda aparencia, parece xa pechada e acabada. Cando algúns modernos trataron de estendela introducindo capítulos, fixeron palpable a ignorancia que teñen da propia natureza desta ciencia. Cando se traspasan os límites dunha ciencia e se entra noutra non é un aumento o que se produce, así a todo unha desnaturalización.>Os límites da lóxica están claramente determinados, ó ser unha ciencia que só expón e demostra rigorosamente as regras formais do pensar
    Kant. Crítica da Razón Pura, 1781
  15. O puro ser e a pura nada son, por tanto, a mesma cousa.- O que constitúe a verdade non é nin o ser nin a nada, senón aquilo que non traspasa, senón que traspasou; vale dicir, o ser [traspasado] na nada e a nada [traspasada] no ser. Pero, ó mesmo tempo, a verdade non é a súa indistinción, senón o que eles non son o mesmo senón que son separables, e inmediatamente cada un desaparece no seu oposto. A súa verdade, pois, consiste neste movemento do inmediato desaparecer dun noutro: o devir; un movemento onde os dous son diferentes, pero por vía dunha diferenza que ó mesmo tempo resolveuse inmediatamente.
    Hegel Wissenschaft der Logik. Ciencia da Lóxica. Libro I: A doutrina do ser. Sección I: Determinación (calidade). Capítulo I: c) Devir. 1.- A unidade do ser e a nada. Cita e tradución : Clemente Fernández, S.I.Os filósofos modernos, selección de textos - Tomo II. 1970. Madrid. BAC. Cursivas no orixinal citado
  16. O Absoluto hase de entender como Suxeito, non como substancia; fronte á idea aristotélica do ser que predominou na filosofía tradicional. Para unha exposición sintética do pensamento de Hegel: Zubiri. Naturaleza, Historia y Dios. 1963. Editora Nacional. ”Hegel y el problema metafísico”. p.223 e ss.
  17. Da interpretación (segundo libro do Organon), Aristóteles, capítulo 9. De feito, o problema xa fora tratado antes por Diodor Cronos, da escola megárica, e foi recollido por Aristóteles.