Número primo

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Sistema numérico en matemáticas.
Elementais

\mathbb{N} Naturais {0,1,2,3...}

\mathbb{Z} Enteiros {...-2,-1,0,+1,+2,...}

\mathbb{Q} Racionais { \mathbb{Z} , 1/2 , -33/7 , etc.}
\mathbb{R} Reais {\mathbb{Z} , \mathbb{Q} , \mathrm{i} , \mathrm{Tr}}

\sqrt{3},\sqrt[3]{1/7},11^{-5}, etc}

\mathrm{i} Unidade imaxinaria = \sqrt{-1}
\mathbb{C} Números complexos {\mathbb{R} , \mathrm{i}},
Infinito

Extensións dos números complexos

Bicomplexos
Hipercomplexos
{\mathbb{R},i,j,k} Cuaternións ~i2=j2=k2=ijk=-1
Octonións
Sedenións
Superreais
Hiperreais
Surreais

Especiais

Nominais
Ordinais {1o,2o,...} (de orde)
Cardinais {\aleph_1, \aleph_2, \aleph_3, \cdots}

Outros importantes

Secuencias de enteiros
Constantes matemáticas
Lista de números
Números grandes

Sistemas de numeración

Número primo é un número natural maior que 1 e que ten exactamente dous divisores positivos distintos: 1 e el mesmo. Se un número natural é maior que 1 e non é primo, dise que é composto. Por convención, os números 0 e 1 non son primos nin compostos.

O concepto de número primo é moi importante na teoría dos números. Un dos resultados da teoría dos números é o Teorema Fundamental da Aritmética, que afirma que calquera número enteiro positivo pode ser escrito univocamente como o produto de varios números primos (chamados factores primos). Ao proceso que recebe como argumento un número e devolve os seus factores primos chámase decomposición en factores primos. Antes do desenvolvemento do cálculo automático, a determinación dos factores primos era un proceso traballoso en extremo, mais a finais do século XVIII xa existían, grazas ao labor dalgúns matemáticos, entre os cales Anton Felkel e Jurix Batolomex Vega, extensas táboas abranxendo o intervalo desde a unidade ata algúns millóns.

Colocando os números primos en orde crecente, temos que os primeiros elementos son:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97...

Exemplos de decomposicións:

  • 4 = 2 × 2
  • 6 = 2 × 3
  • 8 = 2 × 2 × 2
  • 9 = 3 × 3
  • 10 = 2 × 5

Teoremas dos números primos[editar | editar a fonte]

Sábese que, á medida que avanzamos na secuencia dos números enteiros, os primos tórnanse cada vez máis raros. Isto levanta dúas cuestións:

  1. O conxunto dos números primos sería finito ou infinito?
  2. Dado un número natural n, cal é a proporción de números primos entre os números menores que n?

A resposta a primeira cuestión é que o conxunto dos primos é infinito. Podemos demostrar da seguinte forma:

Supoña , por absurdo , que o número de primos sexa finito e sexan  p_1, p_2, p_3,..., p_n os primos.Sexa  P o número tal que

P = \prod_{i=1}^n p_i +1 onde \prod denota o produto.

Temos que P non é primo (por hipótese), logo existe un número primo  q tal que  q \mid\ P . Mais obviamente  q \ne\ p_1,p_2,...p_n . Logo existe un novo número primo, o que é unha contradición.

A resposta para a segunda pregunta é que esa proporción se aproximará máis a n:\ln (n) canto maior sexa n, onde \ln é o logaritmo natural.

Grupos e secuencias de números primos[editar | editar a fonte]

Coñécense dous grupos de números primos:

do tipo:

(4n+1) - pódense sempre escribir como (x^2+y^2)

e

(4n-1) - nunca se poden escribir como (x^2+y^2)

Tratándose de números primos, é perigoso facer unha xeneralización apenas con base nunha observación, non solidamente comprobada matematicamente. Vexamos o exemplo:

31, 331, 3.331, 33.331, 333.331, 3.333.331 e 33.333.331 son primos

mais

333.333.331 non é: (333.333.331 = 17 x 19.607.843)

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Outros artigos[editar | editar a fonte]

Ligazóns externas[editar | editar a fonte]