Número cardinal

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

Os números cardinais indican a cantidade de elementos dun conxunto e reflíctense nos conceptos de números naturais e de números enteiros. Por exemplo, consideremos o conxunto de extremidades do corpo humano e chamémoslle E:

E = {brazo dereito, brazo esquerdo, perna dereita, perna esquerda}

O cardinal do conxunto é 4. Podemos dicir que:

  • |E| = 4
  • card(E) = 4
  • #E = 4

4 é un número natural e un número enteiro positivo.

Concepción gramatical[editar | editar a fonte]

Definición[editar | editar a fonte]

O númeral cardinal é a categoría gramatical que indica o número de elementos de un conxunto. O numeral cardinal diferénciase do ordinal, do múltiplo e do partitivo.

Lista[editar | editar a fonte]

Os principais numerais cardinais son: cero, un/unha, dous/dúas, tres, catro, cinco, seis, sete, oito, nove, dez, once, doce, trece, catorce, quince, dezaseis, dezasete, dezaoito, dezanove, vinte, vinte e un/unha, vinte e dous/dúas, trinta, trinta e un/unha, corenta, cincuenta, sesenta, setenta, oitenta, noventa, cen, cento un/unha, douscentos/duascentas, trescentos/as, catrocentos/as, cincocentos/as, quiñentos/as, seiscentos/as, setecentos/as, oitocentos/as, novecentos/as, mil.

Función sintáctica[editar | editar a fonte]

O numeral cardinal adoita incluírse entre os determinantes. Pode ter función adxectiva ou pronominal:

  • se acompaña a un nome (cinco libros)
  • Función pronominal: suple (devolvín dúas).

Riscos morfolóxicos[editar | editar a fonte]

En galego, o numeral cardinal tén marca de xénero en: un/unha, dous/dúas, os centos (trescentas) e os seus derivados. Exemplos:

  • un boi, unha vaca;
  • dous cuxos, dúas becerras;
  • trescentos libros, trescentas follas;

Diferénciese "tres centos de libros" de "trescentos libros".

Substantivos equivalentes[editar | editar a fonte]

Existen algúns substantivos que equivalen a certos números cardinais e que algúns autores denominan colectivos (Carballo Calero, 1979, p. 202 e Álvarez e Xove, 2002, p. 526):

  • un ≡ unidade
  • dous ≡ par, parella
  • tres ≡ trío, terna
  • dez ≡ decena
  • doce ≡ ducia
  • cen ≡ centena

Nalgúns casos, son períodos de tempo:

  • cinco anos ≡ lustro
  • dez anos ≡ década
  • cen anos ≡ século

Noutros casos, poden ter significados connotativos, por exemplo, do campo da música:

  • un músico ≡ solo (non confundir con "só")
  • dous músicos ≡ dúo
  • tres músicos ≡ trío
  • catro músicos ≡ cuarteto

Tamén sucede o mesmo en poesía cos nomes de estrofas e noutros campos.

Concepción matemática[editar | editar a fonte]

Historia[editar | editar a fonte]

O concepto de número cardinal foi proposto por Georg Cantor en 1874. A partir do concepto de cardinalidade, chegamos ao cardinal. A cardinalidade é a característica que define o número de elementos dun conxunto. Os seguintes conxuntos son diferentes pero ten a mesma cardinalidade:

E = {brazo dereito, brazo esquerdo, perna dereita, perna esquerda} C = {norte, sur, leste, oeste}

Por tanto, |E| = |C|

Definindo unha correspondencia biunívoca entre dous conxuntos finitos, Cantor demostraba fácilmente se tiñan a mesma cardinalidade cando había unha relación bixectiva entre os seus elementos. Esta correspondencia un a un tamén lle serviu para crear o concepto de conxunto infinito: todos o seus elementos están relacionados de forma bixectiva co conxunto de números naturais.

Cardinais para particionar e ordenar os conxuntos[editar | editar a fonte]

Os conxuntos poden dividirse en clases de equivalencia definidas en función da relación de equivalencia que inclúa a un par de conxuntos se e só se entre estes existe unha bixección. A cardinalidade dun conxunto sería a clase de equivalencia á que este pertence. Dous conxuntos A,B coa mesma cardinalidade (que pertencen ao mesmo cardinal) denótase:


  \left | A \right | = \left | B \right | \text{ ,ou ben }\# A= \# B

A existencia dunha función inxectiva entre dous conxuntos tamén define unha relación de orde entre os seus cardinais; é dicir:


\left | A \right | \le_{\#} \left | B \right | \Leftrightarrow \exists f:A \rightarrow B \text{, inxectiva}

A relación <_{\#} exclúe a posibilidade de que os cardinais sexan iguais.
É posíbel demostrar que si


\left | A \right | \le_{\#} \left | B \right | e \left | B \right | \le_{\#} \left | A \right | isto implica que \left | A \right | = \left | B \right |

O cardinal do conxunto vacío denótase convencionalmente como 0 (cero) e contén ao único conxunto vacío. E o coxunto baleiro desígnase ∅.

Cardinais transfinitos[editar | editar a fonte]

Os números cardinais dalgúns conxuntos represéntanse con símbolos especiais:

  • O cardinal dos números reais: \mbox{card}(\R) = c;
  • O cardinal dos números naturais: \mbox{card}(\N) = \aleph_0 (Alef-0).
  • O cardinal inmediatamente superior a \aleph_0: \aleph_1

Usando os axiomas de Zermelo-Fraenkel (ZF) pode comprobarse que os tres cardinais anteriores cumpren \aleph_0 < \aleph_1 \le c. A hipótese do continuo afirma que de feito c = \aleph_1. Gödel probou en 1938 que esta hipótese é consistente cos axiomas ZF e, por tanto, pode ser tomado como un axioma novo para a teoría de conxuntos. Sen embargo, en 1963, Paul Cohen probou que a negación da hipótese do continuo tamén é consistente cos axiomas ZF, o que proba que esta hipótese é totalmente independente dos axiomas ZF. É dicir, poden construírse tanto "teorías de conxuntos cantorianas" nas que a hipótese do continuo é una afirmación certa coma "teorías de conxuntos non cantorianas" nas que a hipótese do continuo sexa falsa. Esta situación é similar á das xeometrías non euclídeas.

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Outros artigos[editar | editar a fonte]

Ligazóns externas[editar | editar a fonte]

Bibliografía[editar | editar a fonte]