Número complexo

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Este é un dos 1000 artigos que toda Wikipedia debería ter.
Sistema numérico en matemáticas.
Conxuntos numéricos
Naturais ()
Enteiros ()
Primos () / Compostos
Pares / Impares
Abundantes / Defectivos
Números perfectos
Números amigos
Números sociábeis
Racionais ()
Reais ()
e ≈ 2.7182818284
pi (π) ≈ 3.1415926535
Irracionais
Alxébricos / Transcendentes ()
Números complexos ()
Número imaxinario
Unidade imaxinaria
Extensións dos números complexos

Bicomplexos
Hipercomplexos
{,i,j,k} Cuaternións ~i2=j2=k2=ijk=-1
Octonións
Sedenións
Superreais
Hiperreais
Surreais

Infinito
Especiais

Nominais
Ordinais {1o,2o,...} (de orde)
Cardinais {}

Outros importantes

Secuencias de enteiros
Constantes matemáticas
Lista de números
Números grandes

Sistemas de numeración
Un número complexo pode representarse xeometricamente no plano complexo ("Re" é o eixe real, "Im" é o eixe imaxinario e "i" é a unidade imaxinaria que satisfai a ecuación i2=-1). A representación do número complexo a+bi é o vector que comeza na orixe e remata no punto (a,b).

Os números complexos son unha extensión dos números reais, cumpríndose que . Os números complexos representan todas as raíces dos polinomios, a diferenza dos reais.

Os números complexos son a ferramenta de traballo da álxebra ordinaria, chamada álxebra dos números complexos, así como de ramas das matemáticas puras e aplicadas como variábel complexa, aerodinámica e electromagnetismo entre outras de grande importancia.

Conteñen os números reais e os imaxinarios puros e constitúen posibelmente unha das construcións teóricas máis dignas da intelixencia humana. Os análogos do cálculo diferencial e integral con números complexos reciben o nome de variábel complexa ou análise complexo.

Definición[editar | editar a fonte]

Definirase un complexo z como un par ordenado de números reais (a, b) = (Re(z), Im(z)), no que se definen as seguintes operacións:

  • Suma
  • Multiplicación
  • Igualdade

A primera compoñente (a) chámase parte real e a segunda (b), parte imaxinaria. Se un número ten apenas parte imaxinaria dise que é imaxinario puro.

Do xeito en que foron definidos, os números complexos forman un corpo, o corpo complexo, denotado por C (ou máis apropiadamente polo carácter unicode ℂ ). Se identificar o número real a co complexo (a, 0), o corpo dos números reais R aparecerá como un subcorpo de C. Alén diso, C forma un espazo vectorial de dimensión 2 sobre os reais. Os complexos non poden ser ordenados como, por exemplo, os números reais: C non pode ser convertido de ningún xeito nun corpo ordenado.

Unidade imaxinaria[editar | editar a fonte]

Tendo en conta que , é definido un número especial na Matemática de grande importancia, o número i ou unidade imaxinaria, definido como

Logo,

Representación binomial[editar | editar a fonte]

Cada complexo é representado en forma binomial como:

a é a parte real do número complexo z, e b é a súa parte imaxinaria. Isto é expresado así:

Forma polar[editar | editar a fonte]

Un xeito alternativo de definir un punto P no plano complexo en vez de empregar as coordenadas x e y, é empregar a distancia do punto ao O, punto con coordenadas (0, 0) (a orixe), xunto co ángulo entre o eixo positivo real e o segmento OP no sentido positivo (contrario ás agullas do reloxo). Isto conduce á idea da forma polar dos números complexos.

O módulo dun número complexo é

Se z é un número real (é dicir, ), entón r = | x|. En xeral, polo teorema de Pitágoras, r é a distancia entre o punto P que representa o número complexo z e a orixe. O cadrado do módulo é

onde é o conxugado de .

O argumento de z é o ángulo que forma o raio OP co eixo real positivo, e escríbese . Ao igual có módulo, o argumento pode ser calculado a partir da forma binomial :[1]

O valor de φ adoita ser expresado en radiáns. Pode ser incrementado por calcula múltiplo enteiro de 2π resultando o mesmo ángulo. Habitualmente dáse o valor principal no intervalo (−π, π]. O argumento do número complexo 0 é indeterminado, mais é común escoller arbitrariamente 0.

O valor de φ coincide co resultado da arcotanxente: .

Os valores r e φ dan outra representación dos complexos, coñecida como forma polar, como combinación do módulo e o argumento. Relacionando ambas as expresións pode considerarse a chamada "forma trigonométrica"

Usando a identidade de Euler pode escribirse

Sinopse histórica[editar | editar a fonte]

A primeira referencia coñecida a raíces cadradas de números negativos provén do traballo dos matemáticos gregos, como Herón da Alexandría no século I antes de Cristo, como resultado dunha imposíbel sección dunha pirámide.

Os complexos fixéronse máis patentes no século XVI, cando a investigación de fórmulas que desen as raíces exactas dos polinomios de graos 2 e 3 foron encontradas por matemáticos italianos como Tartaglia e Cardano. Malia só estaren interesados nas raíces reais deste tipo de ecuacións, encontrábanse coa necesidade de traballaren con raíces de números negativos. O termo imaxinario para estas cantidades foi acuñado por Descartes no século XVII e está en desuso.

A existencia de números complexos non foi completamente aceptada ata a interpretación xeométrica que foi descrita por Wessel en 1799, redescuberta algúns anos despois e popularizada por Gauss. A implementación máis formal, con pares de números reais, foi dada no século XIX.

Estrutura alxébrica[editar | editar a fonte]

O conxunto dos números complexos ten estrutura de corpo:

  • Dous números complexos calquera poden sumarse e multiplicarse e o resultado é un número complexo.
  • Todos os números complexos z teñen un oposto (-z).
  • Todos os números complexos diferentes do 0 teñen inverso.

Ademais, estas dúas operacións cumpren a propiedade conmutativa.

Notas[editar | editar a fonte]

  1. Kasana, H.S. (2005). "1". Complex Variables: Theory And Applications (2ª ed.). PHI Learning Pvt. Ltd. p. 14. ISBN 81-203-2641-5. 

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Commons
Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría: Número complexo Modificar a ligazón no Wikidata

Bibliografía[editar | editar a fonte]

Outros artigos[editar | editar a fonte]

Ligazóns externas[editar | editar a fonte]