Número imaxinario

Sistema numérico en matemáticas
Conxuntos numéricos ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ
Naturais ($\mathbb {N}$) Números de Fermat, de Sophie Germain e de Mersenne Enteiros ($\mathbb {Z}$) Primos ($\mathbb {P}$) / Compostos Pares / Impares Abundantes / Defectivos Números perfectos, amigos e sociábeis Racionais ($\mathbb {Q}$) Fraccións Reais ($\mathbb {R}$) Positivos ($\mathbb {R} _{>0}$) / Negativos ($\mathbb {R} _{<0}$) Irracionais ($\mathbb {I}$) Alxébricos / Transcendentes ($\mathrm {Tr}$) Números complexos ($\mathbb {C}$) Números imaxinarios
Números destacables
-1 0 1 Φ ≈ 1,6180339887... e ≈ 2,7182818284 π ≈ 3,1415926535 i = ${\sqrt {-1}}$ Constantes matemáticas
Outras extensións dos números complexos
Bicomplexos Hipercomplexos Cuaternións ($\scriptstyle \mathbb {H}$) Octonións ($\scriptstyle \mathbb {O}$) Sedenións ($\scriptstyle \mathbb {S}$) Superreais Hiperreais Surreais
Infinito
Infinito (∞) Números infinitos Números transfinitos Números alef {$\aleph _{0},\aleph _{1},\cdots$}
Especiais
Nominais Ordinais (1o,2o...) Cardinais
Outros importantes
Secuencias de enteiros Lista de números Números grandes
Sistemas de numeración
Numeración en base constante Sistema binario (2) Sistema octal (8) Sistema decimal (10) Sistema hexadecimal (16) Numeración arábiga Numeración babilónica Numeración chinesa Numeración xaponesa Numeración maia Numeración romana

En Matemáticas, un número imaxinario (ou número puramente imaxinario) é un número complexo cuxa parte real é igual a cero.

As potencias de i son cíclicas:
$\ \vdots$
$\ i^{-2}=-1{\phantom {i}}$
$\ i^{-1}=-i{\phantom {1}}$
$\ \ i^{0}\ ={\phantom {-}}1{\phantom {i}}$
$\ \ i^{1}\ ={\phantom {-}}i{\phantom {1}}$
$\ \ i^{2}\ =-1{\phantom {i}}$
$\ \ i^{3}\ =-i{\phantom {1}}$
$\ \ i^{4}\ ={\phantom {-}}1{\phantom {i}}$
$\ \ i^{5}\ ={\phantom {-}}i{\phantom {1}}$
$\ \vdots$
$i$ é a cuarta raíz da unidade

Pódese engadir un número imaxinario bi a un número real a para formar un número complexo da forma a + bi, onde os números reais a e b chámanse, respectivamente, a "parte real" e a "parte imaxinaria" do número complexo.

Definición

Todo número complexo pode ser escrito como $a+ib$, onde $a$ e $b$ son números reais e i é a unidade imaxinaria coa propiedade de que

$\mathrm {i} ^{2}=-1\,$

O número $a$ é a parte real do número complexo, e $b$ é a parte imaxinaria. A pesar de Descartes usar inicialmente o termo "número imaxinario" para designar o que actualmente se chama "número complexo", o termo hoxe en día significa especificamente un número complexo con parte real igual a $0$, é dicir, un número da forma $ib$, onde $b$ é un número real. Nótese que, tecnicamente, o cero $0$ considérase como sendo un número puramente imaxinario: $0$ é o único número complexo que é tanto real como puramente imaxinario.

Historia

Unha ilustración do plano complexo. Os números imaxinarios están no eixo de coordenadas verticais.

Rafael Bombelli estableceu por primeira vez as regras para multiplicar números complexos en 1572. René Descartes escribiu sobre eles en 1637 na súa obra La Géométrie, onde usou o termo imaxinario en sentido pexorativo, xa que na época eses números eran pobremente entendidos e considerábase que non existían. O uso dos números imaxinarios non foi aceptado amplamente ata os traballos de Leonhard Euler (1707–1783) e Carl Friedrich Gauss (1777–1855).

Interpretación xeométrica

Rotacións de 90-graos no plano complexo

Xeometricamente, os números imaxinarios atópanse no eixo vertical do plano numérico complexo, o que permite que se presenten perpendiculares ao eixo real. Este eixo vertical chámase a miúdo "eixo imaxinario"

Nesta representación, a multiplicación por i corresponde a unha rotación no sentido antihorario de 90 graos arredor da orixe, que é un cuarto de circunferencia. A multiplicación por −i corresponde a unha rotación no sentido horario de 90 graos arredor da orixe. Do mesmo xeito, multiplicando por un número puramente imaxinario bi, con b un número real, provocan unha rotación en sentido antihorario arredor da orixe en 90 graos e escalan o movemento cun factor de b. Cando b < 0, isto pódese describir como unha rotación no sentido horario de 90 graos e unha escala de |b|

Véxase tamén

Bibliografía

• Nahin, Paul (1998). An Imaginary Tale: the Story of the Square Root of −1. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-02795-1. 

Outros artigos

• Número complexo

Ligazóns externas

• Why imaginary numbers really do exist
• O número imaxinario existe realmente?