Número hipercomplexo

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

En matemáticas, os números hipercomplexos son unha extensión dos números complexos construídos mediante ferramentas da álxebra abstracta, tales como ternións, cuaternións, tesaríns, cocuaternións, octonións, bicuaternións e sedenións.

Estrutura alxébrica[editar | editar a fonte]

Para ser máis precisos, forman álxebras n-dimensionais sobre os números reais. Pero ningunha destas extensións forma un corpo conmutativo, principalmente porque o corpo dos números complexos está alxebricamente pechado.

Os cuaternións, octonións e sedenións poden ser xerados aplicando a construcción de Cayley-Dickson. As álxebras de Clifford son outra familia de números hipercomplexos.

Representacións xeométricas[editar | editar a fonte]

Así como os números complexos poden ser vistos como puntos nun plano, os números hipercomplexos pódense ver como puntos nalgún espazo euclidiano de máis dimensións (4 dimensións para os cuaternións, tesaríns e cocuaternións, 8 para os octonións e bicuaternións, 16 para os sedenións).

Outro caso interesante é o dos números hipercomplexos unitarios, que teñen módulo unidade. Estes poden ser representados como n-esferas:

  • Os cuaternións unitarios poden ser representados como .
  • Os octonións unitarios poden ser representados como .

Estas representacións están moi ligadas á posibilidade de caracterizar unha n-esfera como fibrado de Hopf sobre un espazo base con m < n onde cada fibra sexa .

Módulo dun número hipercomplexo[editar | editar a fonte]

Se como se explicou antes os números hipercomplexos se representan por vectores dun espazo euclidiano, para os números hipercomplexos que o admiten (todos menos os sedenións de Cayley-Dickson), o módulo dun número hipercomplexo non é outra cousa que o módulo do vector que os representa. O módulo dun número hipercomplexo |Z| pode calcularse como a raíz cadrada do produto do número hipercomplexo polo seu hipercomplexo conxugado: