Número perfecto

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Sistema numérico en matemáticas.
Elementais

\mathbb{N} Naturais {0,1,2,3...}

\mathbb{Z} Enteiros {...-2,-1,0,+1,+2,...}

\mathbb{Q} Racionais { \mathbb{Z} , 1/2 , -33/7 , etc.}
\mathbb{R} Reais {\mathbb{Z} , \mathbb{Q} , \mathrm{i} , \mathrm{Tr}}

\sqrt{3},\sqrt[3]{1/7},11^{-5}, etc}

\mathrm{i} Unidade imaxinaria = \sqrt{-1}
\mathbb{C} Números complexos {\mathbb{R} , \mathrm{i}},
Infinito

Extensións dos números complexos

Bicomplexos
Hipercomplexos
{\mathbb{R},i,j,k} Cuaternións ~i2=j2=k2=ijk=-1
Octonións
Sedenións
Superreais
Hiperreais
Surreais

Especiais

Nominais
Ordinais {1o,2o,...} (de orde)
Cardinais {\aleph_1, \aleph_2, \aleph_3, \cdots}

Outros importantes

Secuencias de enteiros
Constantes matemáticas
Lista de números
Números grandes

Sistemas de numeración

Un número perfecto é un enteiro que é igual á suma dos divisores propios menores que el mesmo.

Así, 6 é un número perfecto, porque os seus divisores propios son 1, 2 e 3; e 6 = 1 + 2 + 3. Os seguintes números perfectos son 28, 496 e 8128.

O matemático grego Euclides descubriu que os catro primeiros números perfectos veñen dados pola fórmula 2n-1(2n - 1):

n = 2:   21(22 - 1) = 6
n = 3:   22(23 - 1) = 28
n = 5:   24(25 - 1) = 496
n = 7:   26(27 - 1) = 8128

Ó darse conta de que 2n - 1 é un número primo en cada caso, Euclides demostrou que a fórmula 2n-1(2n - 1) xera un número perfecto sempre que 2n - 1 sexa primo.

Os matemáticos da Antigüidade fixeron moitas suposicións sobre os números perfectos baseándose nos catro que xa coñecían. Moitas destas suposicións resultaron ser falsas. Unha delas era que, como 2, 3, 5 e 7 eran precisamente os catro primeiros números primos, o quinto número perfecto obteríase con n = 11, o quinto número primo. Porén, 211 - 1 =2047= 23 · 89 non é primo e polo tanto n = 11 non xera un número perfecto. Dúas das outras suposicións equivocadas eran:

  • O quinto número perfecto tería cinco díxitos, xa que os catro primeiros teñen 1, 2, 3 e 4, respectivamente.
  • Os números perfectos rematarían alternativamente en 6 e en 8.

O quinto número perfecto (33550336) ten 8 díxitos, falseando así a primeira suposición. En canto á segunda, o quinto número perfecto remata en 6, pero tamén o sexto (8589869056) remata en 6.

É verdade que se 2n - 1 é un número primo, entón 2n-1(2n − 1) é un número perfecto, pero o recíproco non é necesariamente certo. Hoxe en día, aos números primos xerados pola fórmula 2n - 1 coñécense coma números primos de Mersenne, na honra ó monxe do século XVII Marin Mersenne, quen estudou teoría de números e números perfectos.

Posteriormente, Euler demostrou no século XVIII que todos os números perfectos pares xéranse a partir da fórmula que xa descubriu Euclides.

Non se coñece a existencia de números perfectos impares. Sen embargo, existen algúns resultados parciais. Se existe un número perfecto impar debe ser maior que 10300, debe ter polo menos 8 factores primos distintos (e polo menos 11 se non é divisible por 3). Un deses factores debe ser maior que 107, dos deles deben ser maiores que 10.000 e tres factores deben ser maiores que 100.

Considerando a suma dos divisores propios existen outros tipos de números.

Pódese dicir que un número perfecto é un número amigo de sí mesmo.