Unidade imaxinaria

A unidade imaxinaria i no plano complexo: os números reais son convencionalmente debuxados no eixo horizontal e os números imaxinarios no eixo vertical.

A unidade imaxinaria ou número imaxinario unidade (i) é unha constante matemática que é unha solución da ecuación cadrática x² + 1 = 0. Aínda que non hai número real ningún con esta propiedade i pode usarse para estender os números reais ao que se chama números complexos, usando suma e multiplicación cos números reais e i. Un exemplo simple do uso de i nun número complexo é 2 + 3i.

Definición

As potencias de i son cíclicas:
$\ \vdots$
$\ i^{-4}={\phantom {-}}1{\phantom {i}}$
$\ i^{-3}={\phantom {-}}i{\phantom {1}}$
$\ i^{-2}=-1{\phantom {i}}$
$\ i^{-1}=-i{\phantom {1}}$
$\ \ i^{0}\ ={\phantom {-}}1{\phantom {i}}$
$\ \ i^{1}\ ={\phantom {-}}i{\phantom {1}}$
$\ \ i^{2}\ =-1{\phantom {i}}$
$\ \ i^{3}\ =-i{\phantom {1}}$
$\ \ i^{4}\ ={\phantom {-}}1{\phantom {i}}$
$\ \ i^{5}\ ={\phantom {-}}i{\phantom {1}}$
$\ \ i^{6}\ =-1{\phantom {i}}$
$\ \ i^{7}\ =-i{\phantom {1}}$
$\ \vdots$

É a unidade no conxunto dos números imaxinarios. Exprésase pola letra $i$ e cumpre que:

$\mathrm {i} ^{2}=-1$

Ás veces, isto tamén é expresado como:

$\mathrm {i} ={\sqrt {-1}}$.

Ó ser unha expresión numérica non ten dimensións físicas.

Con i definido deste xeito, dedúcese directamente da álxebra que i e −i son ambas raíces cadradas de −1.

Raíz de x² + 1

Os polinomios (sumas ponderadas das potencias dunha variábel) son unha ferramenta básica na álxebra. Os polinomios cuxos coeficientes son números reais forman un anel, denotado como $\mathbb {R} [x],$ unha estrutura alxébrica con suma e multiplicación e que comparte moitas propiedades co anel de enteiros.

O polinomio $x^{2}+1$ non ten raíces de número real, pero o conxunto de todos os polinomios de coeficiente reais divisíbeis por $x^{2}+1$ forma un ideal, polo que hai un anel cociente $\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1).$ Este anel cociente é isomorfo para os números complexos, e a variábel $x$ expresa a unidade imaxinaria. (Ver exemplo en anel cociente#Exemplos).

Representación gráfica

Artigo principal: Plano complexo.

Os números complexos pódense representar graficamente debuxando a recta numérica real como o eixo horizontal e os números imaxinarios como o eixo vertical dun plano cartesiano chamado plano complexo. Nesta representación, os números 1 e i están á mesma distancia de 0, cun ángulo recto entre eles.

A suma dun número complexo corresponde á translación no plano, mentres que a multiplicación por un número complexo de unidade de magnitude corresponde á rotación arredor da orixe.

Toda transformación de semellanza do plano pode representarse mediante unha función linear complexa $z\mapsto az+b.$

Propiedades

Como número complexo, a unidade imaxinaria segue todas as regras da aritmética complexa

Enteiros gaussianos

As sumas enteiras da unidade real 1 e da unidade imaxinaria i forman unha retícula cadrada no plano complexo chamado números enteiros gaussianos. A suma, diferenza ou produto dos enteiros gaussianos tamén é un enteiro gaussiano:

${\begin{aligned}(a+bi)+(c+di)&=(a+c)+(b+d)i,\\(a+bi)(c+di)&=(ac-bd)+(ad+bc)i.\end{aligned}}$

Rotación de cuarto de volta

Cando se multiplica pola unidade imaxinaria i, calquera número complexo arbitrario do plano complexo xira un cuarto de volta (${\tfrac {1}{2}}\pi$ radiáns ou 90°) no sentido antihorario. Cando se multiplica por −i, calquera número complexo arbitrario rota un cuarto de volta no sentido das agullas do reloxo. En forma polar:

$i\,re^{\varphi i}=re^{(\varphi +\pi /2)i},\quad -i\,re^{\varphi i}=re^{(\varphi -\pi /2)i}.$

En forma rectangular,

$i(a+bi)=-b+ai,\quad -i(a+bi)=b-ai.$

Potencias enteiras

As potencias de i repítense nun ciclo expresábel co seguinte padrón, onde n é calquera número enteiro:

$i^{4n}=1,\quad i^{4n+1}=i,\quad i^{4n+2}=-1,\quad i^{4n+3}=-i.$

Así, baixo a multiplicación, i é un xerador dun grupo cíclico de orde 4.

Escrito como un caso especial da fórmula de Euler para un enteiro n,

$i^{n}={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\pi i{\bigr )}^{n}={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}n\pi i{\bigr )}={\cos }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}n\pi {\bigr )}+{i\sin }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}n\pi {\bigr )}.$

Raíces

As dúas raíces cadradas de i no plano complexo

Do mesmo xeito que todos os números complexos distintos de cero, ${\textstyle i=e^{\pi i/2}}$ ten dúas raíces cadradas distintas que son inversas aditivas. En forma polar, son $${\begin{alignedat}{3}{\sqrt {i}}&={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\pi i}{\bigr )}^{1/2}&&{}={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}\pi i{\bigr )},\\-{\sqrt {i}}&={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}{\pi i}-\pi i{\bigr )}&&{}={\exp }{\bigl (}{-{\tfrac {3}{4}}\pi i}{\bigr )}.\end{alignedat}}$$

En forma rectangular son

${\begin{alignedat}{3}{\sqrt {i}}&={\frac {1+i}{\sqrt {2}}}&&{}={\phantom {-}}{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}+{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}i,\\[5mu]-{\sqrt {i}}&=-{\frac {1+i}{\sqrt {2}}}&&{}=-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}i.\end{alignedat}}$

Elevando ambas as dúas expresións temos: $$\left(\pm {\frac {1+i}{\sqrt {2}}}\right)^{2}={\frac {1+2i-1}{2}}={\frac {2i}{2}}=i.$$

Exponencial e logaritmo

A fórmula de Euler descompón a exponencial dun número imaxinario que representa unha rotación:

$\exp i\varphi =\cos \varphi +i\sin \varphi .$

Debido a que a exponencial é periódica, a súa inversa o logaritmo complexo é unha función multivalorada, con cada número complexo do dominio correspondente a varios valores do codominio, separados entre si por calquera múltiplo enteiro de 2πi.

Factorial

O factorial da unidade imaxinaria i dáse máis a miúdo en termos da función gamma avaliada en 1 + i:

$i!=\Gamma (1+i)=i\Gamma (i)\approx 0.4980-0.1549\,i.$

A magnitude e o argumento deste número son:

$|\Gamma (1+i)|={\sqrt {\frac {\pi }{\sinh \pi }}}\approx 0.5216,\quad \arg {\Gamma (1+i)}\approx -0.3016.$

Bibliografía

• Nahin, Paul J. (1998). An Imaginary Tale: The story of i [the square root of minus one]. Chichester: Princeton University Press. ISBN 0-691-02795-1 – vía Archive.org. 

Outros artigos

• Número complexo