Menos un

En matemáticas, −1 é o oposto do 1, é dicir, o número que cando se lle suma 1 dá o elemento neutro da adición, 0. É o maior número enteiro negativo, maior ca −2 e menor que 0.

O menos un aparece na identidade de Euler, xa que e^$\pi$i = −1.

No desenvolvemento de software, −1 é o valor inicial común para os enteiros e adoita empregarse para indicar que a variable non ten información útil.

O menos un ten algunhas propiedades semellantes ao un.

Propiedades alxébrica

Multiplicar un número por −1 equivale a cambiar o signo do número. Isto pode probarse empregando a propiedade distributiva e o axioma que di que 1 é o elemento neutro da multiplicacioón: para x real, tense

$x+(-1)\cdot x=1\cdot x+(-1)\cdot x=(1+(-1))\cdot x=0\cdot x=0$

onde se empregou o feito de que calquera real x multiplicado por 0 dá 0, implicado pola propiedade de cancelación da ecuación

$0\cdot x=(0+0)\cdot x=0\cdot x+0\cdot x\,$

0, 1, −1, i, e −i no plano complexo.

Noutras palabras,

$x+(-1)\cdot x=0\,$

entón (−1) • x é o oposto x, or −x.

Cadrado de −1

O cadrado de −1, é dicir, −1 multiplicado por −1, é 1. Como consecuencia, o produto de dous número negativos é positivo.

Para demostrar alxebricamente o resultado comézase coa ecuación

$0=-1\cdot 0=-1\cdot [1+(-1)]$

Esta ecuación séguese do resultado anterior. A segunda séguese da definición de −1 como oposto de 1. Empregando a propiedade distributiva

$0=-1\cdot [1+(-1)]=-1\cdot 1+(-1)\cdot (-1)=-1+(-1)\cdot (-1)$

A segunda ecuación séguese do feito de que 1 é o elemento neutro da multiplicación. Sumando 1 a ambos os membros obtense

$(-1)\cdot (-1)=1$

O argumento anterior é válido para calquera anel.

Raíces cadradas de −1

O número complexo i satisfai i² = −1, e polo cando pode considerarse unha raíz cadrada de −1. O outro número complexo x que satisfai a ecuación x² = −1 é −i. Na álxebra de cuaternións, que contén o plano complexo, a ecuación x² = −1 ten infinitas solucións.

Exponenciación de enteiros negativos

A función recíproca f(x) = x⁻¹ onde para cada x agás 0 temos que f(x) representa o seu inverso multiplicativo

A exponenciación dun número real diferente de cero pode estenderse aos enteiros negativos. Defínese x⁻¹ = 1/x, o que quere dicir que se definiu como elevar un número a −1 que ten o mesmo efecto que calcular o seu recíproco. Esta definición estendida conserva a lei de exponenciación x^ax^b = x^{(a + b)} para calquera número real a e b.

Un superíndice -1 en f ⁻¹(x) fai a función inversa de f(x). Por exemplo, sin⁻¹(x) é unha notación para a función arcseno.

A exponenciación a enteiros negativos pódese estender aínda máis a elementos invertíbeis dun anel, definindo x⁻¹ como o inverso multiplicativo de x; neste contexto, estes elementos considéranse unidades.