Números amigos

Sistema numérico en matemáticas
Conxuntos numéricos ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ
Naturais ($\mathbb {N}$) Números de Fermat, de Sophie Germain e de Mersenne Enteiros ($\mathbb {Z}$) Primos ($\mathbb {P}$) / Compostos Pares / Impares Abundantes / Defectivos Números perfectos, amigos e sociábeis Racionais ($\mathbb {Q}$) Fraccións Reais ($\mathbb {R}$) Positivos ($\mathbb {R} _{>0}$) / Negativos ($\mathbb {R} _{<0}$) Irracionais ($\mathbb {I}$) Alxébricos / Transcendentes ($\mathrm {Tr}$) Números complexos ($\mathbb {C}$) Números imaxinarios
Números destacables
-1 0 1 Φ ≈ 1,6180339887... e ≈ 2,7182818284 π ≈ 3,1415926535 i = ${\sqrt {-1}}$ Constantes matemáticas
Outras extensións dos números complexos
Bicomplexos Hipercomplexos Cuaternións ($\scriptstyle \mathbb {H}$) Octonións ($\scriptstyle \mathbb {O}$) Sedenións ($\scriptstyle \mathbb {S}$) Superreais Hiperreais Surreais
Infinito
Infinito (∞) Números infinitos Números transfinitos Números alef {$\aleph _{0},\aleph _{1},\cdots$}
Especiais
Nominais Ordinais (1o,2o...) Cardinais
Outros importantes
Secuencias de enteiros Lista de números Números grandes
Sistemas de numeración
Numeración en base constante Sistema binario (2) Sistema octal (8) Sistema decimal (10) Sistema hexadecimal (16) Numeración arábiga Numeración babilónica Numeración chinesa Numeración xaponesa Numeración maia Numeración romana

Dous números amigos son dous números enteiros positivos tales que a suma dos divisores propios dun deles é igual ó outro (a unidade considerase divisor propio, pero non o é o número mesmo).

Un exemplo é o par (220, 284), xa que:

• os divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110, que suman 284
• os divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71 e 142, que suman 220

Para os pitagóricos os números amigos tiñan moitas propiedades místicas.

Ao redor do ano 850, Thabit ibn Qurra (826-901) descubriu unha fórmula xeral para a cal se podían obter números amigos: se

p = 3 × 2^n-1 - 1,

q = 3 × 2ⁿ - 1,

r = 9 × 2^2n-1 - 1,

onde n > 1 é enteiro e p, q, e r son números primos, entón

2ⁿpq e 2ⁿr son un par de números amigos.

Esta fórmula xera os pares (220, 284), (17.296, 18.416) e (9.363.584, 9.437.056). O par (6232, 6368) tamén é de números amigos, pero non se pode obter pola fórmula anterior.

Os números amigos foron estudados por Al Madshritti (falecido en 1007), Abu Mansur Tahir (al-Baghdadi) (980-1037), René Descartes (1596-1650), a quen se lle atribúe ás veces a fórmula de Tabit, C. Rudolphus e outros. A fórmula de Tabit foi xeneralizada por Leonhard Euler.

Se un número é amigo de si mesmo (é igual á suma dos seus divisores propios), recibe o nome de número perfecto.

Véxase tamén

Outros artigos

• Número perfecto
• Números sociables