Saltar ao contido

Octonión

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

En matemáticas, os octonións son unha extensión non asociativa dos cuaternións. Forman unha álxebra de oito dimensións sobre o corpo ℝ dos números reais. A álxebra de octonións é xeralmente denotada por 𝕆.

Ao perder a importante propiedade da asociatividade, os octonións recibiron menos atención que os cuaternións. Malia isto, conservan a súa importancia en álxebra e xeometría, especialmente entre os grupos de Lie.

Definición

[editar | editar a fonte]

Estrutura do espazo vectorial

[editar | editar a fonte]

O espazo 𝕆 de octonións é un espazo vectorial real de dimensión 8 relacionado cunha base denotada como (1, i, j, k, l, il, jl, kl) (anticipando lixeiramente a definición de multiplicación).

Noutras palabras : cada octonion x escríbese de forma única como unha combinación linear con coeficientes reais destes oito elementos:

e as dúas operacións espaciais vectoriais (suma de dous octonións e multiplicación pola esquerda dun octonión por un número real) fanse coordenada por coordenada.

Multiplicación

[editar | editar a fonte]

A multiplicación de octonións defínese entón como a única aplicación bilinear, e verifica

e cuxos valores nos vectores da base veñen dados pola táboa de multiplicación que aparece a continuación:

1 i j k l il jl kl
1 1 i j k l il jl kl
i i –1 k –j il –l –kl jl
j j –k –1 i jl kl –l –il
k k j –i –1 kl –jl il –l
l l –il –jl –kl –1 i j k
il il l –kl jl –i –1 –k j
jl jl kl l –il –j k –1 –i
kl kl –jl il l –k –j i –1

Inmediatamente notamos que:

  • (casas brancas) 1 é neutro (primeira fila e columna da táboa) e os outros 7 elementos da base teñen o cadrado –1 (diagonal);
  • (casas verdes) dous elementos distintos a e b, entre os 7 elementos da base distintos de 1, anticomutativo ( ab = –ba ) (agás nas filas e columnas 1 e na diagonal onde o produto é conmutativo, a táboa é antisimétrica en signo con respecto á diagonal).
  • O cuarto superior esquerdo da táboa é idéntico á táboa de multiplicación de cuaternións. En particular: ij = k, jk = i, ki = j.

A escolla inicial de (1, i, j, k, l, il, jl, kl) como base é, madía leva, arbitraria: como veremos máis adiante, hai moitas outras opcións para i e j tal que, configurando k = ij e escollendo l adecuadamente, obtemos a mesma táboa. A maiores, dada esa opción, outra base é por exemplo (1, i, j, k, l, li, lj, lk): a táboa modifícase logo por cambios de signos.

Plano mnemotécnico de Fano

[editar | editar a fonte]
Plano mnemotécnico de Fano

Unha forma mnemotécnica de lembrar os produtos dos octonións unitarios vén dada polo diagrama superior.

Este diagrama de sete puntos e sete "círculos" (na figura plana, os segmentos que unen 3 puntos considéranse círculos estendéndoos ata o infinito por cada lado onde se unen) chámase plano de Fano (en realidade é o plano proxectivo construído sobre o corpo de dous elementos Z/2Z). Os círculos están orientados neste diagrama. Os sete puntos corresponden aos sete elementos non reais da base de 𝕆. Cada par de puntos atópase nun único círculo, e cada círculo pasa exactamente por tres puntos.

Sexa (a, b, c) unha terna ordenada de puntos situados nun dos círculos dados coa orde dada pola dirección da frecha. A multiplicación vén dada por:

  • ab = c, ba = –c

con permutacións circulares conservando a orde relativa dada pola dirección do círculo:

  • bc = a, cb = –a
  • ca = b, ac = –b

As multiplicacións operan coa oitava dimensión (real) do seguinte xeito :

Cada un dos sete círculos xera unha subálxebra de 𝕆 isomorfa aos cuaternións ℍ.

Conxugado

[editar | editar a fonte]

O conxugado dun octonión

está dado por

A conxugación é unha involución de 𝕆 e satisfai

(nótese o cambio na orde de sucesión).

Partes reais e imaxinarias

[editar | editar a fonte]

A parte real do octonión x defínese do seguinte xeito

e a súa parte imaxinaria

A norma dun octonión x defínese como a raíz cadrada dun número real positivo :

  • .

Esta norma corresponde á norma euclidiana en .

.

A existencia dunha norma en 𝕆 implica a existencia dun inverso para todo elemento distinto de cero en 𝕆. O inverso de calquera x distinto de cero vén dado por:

Propiedades

[editar | editar a fonte]

Así como os cuaternións (definidos proporcionando unha multiplicación do espazo vectorial de base (1, i, j, k = ij) ) forman unha ℝ.álxebra xerada por i e j, os octonións (definidos proporcionando unha multiplicación do espazo vectorial de base (1, i, j, ij, l, il, jl, (ij)l) ) forma unha ℝ-álxebra xerada por i, j e l .

A multiplicación de octonións non é

  • nin conmutativa: ij = –ji ,
  • nin asociativa: (ij)l = kl = –i(jl) .

Satisfai unha propiedade máis débil que a asociatividade: a alternatividade, é dicir que dous elementos calquera a e b satisfán:

A multiplicación de octonións é a maiores asociativa de potencias, é dicir, que as potencias están definidas de forma unívoca. Os octonións comparten unha propiedade importante con ℝ, ℂ e ℍ: a norma sobre 𝕆 satisfai

Isto implica que os octonións forman unha álxebra de división normada. As álxebras de dimensións superiores definidas pola construción de Cayley-Dickson (por exemplo os sedenións) non cumpren esta propiedade: todos teñen divisores de cero e as súas multiplicacións xa non satisfán a conservación das normas.

Segundo un teorema de Hurwitz, as únicas álxebras normadas ℝ con división son ℝ, ℂ, ℍ e 𝕆. Outro teorema, debido a Zorn, estabelece que estas catro álxebras tamén forman as únicas ℝ-álxebras de división alternativas de dimensión finita.

Dado que a multiplicación de octonións non é asociativa, os elementos distintos de cero de 𝕆 non forman un grupo senón só un cuasigrupo.

Automorfismos

[editar | editar a fonte]

Un automorfismo da álxebra dos octonións é un automorfismo do espazo vectorial A de 𝕆 que satisfai

O grupo de automorfismos de 𝕆 é o grupo G2. É un grupo de Lie real simplemente conexo e compacto, de dimensión 14. Este grupo é o máis pequeno dos cinco grupos de Lie excepcionais.

Véxase tamén

[editar | editar a fonte]

Bibliografía

[editar | editar a fonte]

Outros artigos

[editar | editar a fonte]

Ligazóns externas

[editar | editar a fonte]