Saltar ao contido

Sedenión

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

Na álxebra abstracta, os sedenións forman unha álxebra non conmutativa e non asociativa de 16 dimensións sobre os números reais, normalmente representados pola letra S maiúscula, S ou .

Os sedenións obtéñense aplicando a construción de Cayley-Dickson aos octonións, que se poden expresar matematicamente como .[1] Polo tanto, os octonións son isomorfos a unha subálxebra dos sedenións. A diferenza dos octonions, os sedenions non son unha álxebra alternativa.

Aritmética

[editar | editar a fonte]
Unha visualización dunha extensión 4D do octonión cúbico [2] que mostra as 35 tríadas como hiperplanos a través do vértice real do exemplo de sedenión dado

Cada sedenión é unha combinación linear dos sedenións unitarios , , , ,... , , que forman unha base do espazo vectorial dos sedenións. Cada sedenión pódese representar na forma

A suma e a resta defínense pola suma e resta dos coeficientes correspondentes e a multiplicación é distributiva sobre a suma.

Multiplicación

[editar | editar a fonte]

Do mesmo xeito que os octonións, a multiplicación de sedenións non é nin conmutativa nin asociativa. No entanto, a diferenza dos octonións, os sedenións nin sequera teñen a propiedade de ser alternativos. No entanto, teñen a propiedade da asociatividade da potencia, que se pode definir así, para calquera elemento de , a potencia está ben definida. Tamén son unha álxebra flexíbel.

Os sedenións teñen un elemento de identidade multiplicativo e inversos multiplicativos, mais non son unha álxebra de división porque teñen divisores de cero: pódense multiplicar dous sedenións distintos de cero para obter cero, por exemplo . Todos os sistemas numéricos hipercomplexos despois dos sedenións que se basean na construción de Cayley-Dickson tamén conteñen divisores de cero.

A táboa de multiplicación dos sedenións móstrase a continuación:

Propiedades dos sedenións

[editar | editar a fonte]

Na táboa anterior podemos ver que:

e

Antiasociativa

[editar | editar a fonte]

Os sedenións non son totalmente antiasociativos. Escollemos catro xeradores calquera, e . O seguinte ciclo de 5 mostra que estas cinco relacións non poden ser todas antiasociativas.

En particular, na táboa anterior, usando e a última expresión asocia.

Aplicacións

[editar | editar a fonte]

Moreno (1998) mostrou que o espazo de pares de sedenións norma un que se multiplican dando cero é homeomorfo á forma compacta do Grupo de Lie excepcional G2. (Teña en conta que no seu artigo, un "divisor de cero" significa un "par" de elementos que se multiplican dando cero.)

Guillard & Gresnigt (2019) demostraron que as tres xeracións de leptóns e quarks que están asociados coa simetría de gauge ininterrompida pódese representar usando a álxebra dos sedenións complexos .

  1. "Ensembles de nombre" (PDF). Forum Futura-Science. 6 Setembro 2011. Consultado o 11 outubro 2024. 
  2. (Baez 2002)

Véxase tamén

[editar | editar a fonte]

Bibliografía

[editar | editar a fonte]
  • Kevin Carmody, Circular and Hyperbolic Quaternions, Octonions and Sedenions, Applied Mathematics and Computation 28:47-72 (1988)
  • Kevin Carmody, Circular and Hyperbolic Quaternions, Octonions and Sedenions - Further results, Applied Mathematics and Computation, 84:27-47 (1997)
  • K. Imaeda et M. Imaeda, Sedenions: algebra and analysis, Applied Mathematics and Computation, 115:77-88 (2000)

Outros artigos

[editar | editar a fonte]

Ligazóns externas

[editar | editar a fonte]