Na álxebra abstracta, os sedenións forman unha álxebra non conmutativa e non asociativa de 16 dimensións sobre os números reais, normalmente representados pola letra S maiúscula, S ou S {\displaystyle \mathbb {S} } .
Os sedenións obtéñense aplicando a construción de Cayley-Dickson aos octonións, que se poden expresar matematicamente como S = C D ( O , 1 ) {\displaystyle \mathbb {S} ={\mathcal {CD}}(\mathbb {O} ,1)} .[1] Polo tanto, os octonións son isomorfos a unha subálxebra dos sedenións. A diferenza dos octonions, os sedenions non son unha álxebra alternativa.
Cada sedenión é unha combinación linear dos sedenións unitarios e 0 {\displaystyle e_{0}} , e 1 {\displaystyle e_{1}} , e 2 {\displaystyle e_{2}} , e 3 {\displaystyle e_{3}} ,... , e 15 {\displaystyle e_{15}} , que forman unha base do espazo vectorial dos sedenións. Cada sedenión pódese representar na forma
A suma e a resta defínense pola suma e resta dos coeficientes correspondentes e a multiplicación é distributiva sobre a suma.
Do mesmo xeito que os octonións, a multiplicación de sedenións non é nin conmutativa nin asociativa. No entanto, a diferenza dos octonións, os sedenións nin sequera teñen a propiedade de ser alternativos. No entanto, teñen a propiedade da asociatividade da potencia, que se pode definir así, para calquera elemento x {\displaystyle x} de S {\displaystyle \mathbb {S} } , a potencia x n {\displaystyle x^{n}} está ben definida. Tamén son unha álxebra flexíbel.
Os sedenións teñen un elemento de identidade multiplicativo e 0 {\displaystyle e_{0}} e inversos multiplicativos, mais non son unha álxebra de división porque teñen divisores de cero: pódense multiplicar dous sedenións distintos de cero para obter cero, por exemplo ( e 3 + e 10 ) ( e 6 − e 15 ) {\displaystyle (e_{3}+e_{10})(e_{6}-e_{15})} . Todos os sistemas numéricos hipercomplexos despois dos sedenións que se basean na construción de Cayley-Dickson tamén conteñen divisores de cero.
A táboa de multiplicación dos sedenións móstrase a continuación:
Na táboa anterior podemos ver que:
Os sedenións non son totalmente antiasociativos. Escollemos catro xeradores calquera, i , j , k {\displaystyle i,j,k} e l {\displaystyle l} . O seguinte ciclo de 5 mostra que estas cinco relacións non poden ser todas antiasociativas.
( i j ) ( k l ) = − ( ( i j ) k ) l = ( i ( j k ) ) l = − i ( ( j k ) l ) = i ( j ( k l ) ) = − ( i j ) ( k l ) = 0 {\displaystyle (ij)(kl)=-((ij)k)l=(i(jk))l=-i((jk)l)=i(j(kl))=-(ij)(kl)=0}
En particular, na táboa anterior, usando e 1 , e 2 , e 4 {\displaystyle e_{1},e_{2},e_{4}} e e 8 {\displaystyle e_{8}} a última expresión asocia. ( e 1 e 2 ) e 12 = e 1 ( e 2 e 12 ) = − e 15 {\displaystyle (e_{1}e_{2})e_{12}=e_{1}(e_{2}e_{12})=-e_{15}}
Moreno (1998) mostrou que o espazo de pares de sedenións norma un que se multiplican dando cero é homeomorfo á forma compacta do Grupo de Lie excepcional G2. (Teña en conta que no seu artigo, un "divisor de cero" significa un "par" de elementos que se multiplican dando cero.)
Guillard & Gresnigt (2019) demostraron que as tres xeracións de leptóns e quarks que están asociados coa simetría de gauge ininterrompida S U ( 3 ) c × U ( 1 ) e m {\displaystyle \mathrm {SU(3)_{c}\times U(1)_{em}} } pódese representar usando a álxebra dos sedenións complexos C ⊗ S {\displaystyle \mathbb {C\otimes S} } .