Aritmética

Táboas aritméticas para nenos, Lausanne, 1835

A aritmética (do grego αριθμός = número) é unha das máis antigas ramas elementais da matemática. Comunmente enténdese por aritmética a parte da álxebra elemental ensinada na escola primaria que estuda os números e as operacións básicas que con eles se fan. Os matemáticos tamén falan dunha aritmética superior coa que designan á teoría de números.

Antigamente a aritmética cinguíase ao estudo das propiedades dos números naturais, dos números enteiros, e dos números racionais (en forma de fraccións), así como das propiedades das operacións entre estes números. As operacións aritméticas tradicionais son a adición, a subtracción, a multiplicación e a división.

Máis tarde esta disciplina medrou, incluíndo o estudo doutros números coma os reais (considerados como expresións numéricas cun número ilimitado de cifras decimais), e de operacións máis complexas derivadas das operacións aritméticas básicas coma as raíces cadradas, as potencias, a exponenciación e os logaritmos.

Historia

Detalle dun manuscrito medieval en alemán con alegorías de cada unha das artes liberais xunto cun representante ilustre. Boecio é escollido para representar á Aritmética.

Os máis famosos restos de operacións aritméticas realizados na prehistoria atópanse no chamado óso de Ishango datado ao redor do -18000. Pénsase que este óso marcouse co fin de servir como axuda para operar con números.

Semella claro que ao redor do -1850 os Babilonios xa tiñan un coñecemento sólido de boa parte da aritmética elemental, se nos baseamos no achado de táboas de arxila coma a Plimpton 322, que contén unha lista de números escritos en formato sexaxesimal correspondentes a sinxelas ternas pitagóricas. Tamén os exipcios tiñan extensos coñecementos aritméticos, así coma de xeometría, como amosa o papiro matemático Rhind escrito ao redor do -1650. No tocante ós contidos aritméticos cabe resaltar que neste papiro se pode xa atopar un algoritmo de multiplicación, así coma o emprego de fraccións da unidade.

Na segunda metade do século VI a.C., na escola pitagórica considerábase á aritmética coma unha das catro ciencias matemáticas (Mathemata). Na idade media a aritmética formaba parte do Quadrivium (aritmética, xeometría, música e astronomía) ensinado por Alcuíno na Academia Palatina, que xunto co Trivium (gramática, retórica e dialéctica) constitúen as sete artes liberais ensinadas nas universidades medievais.

Os algoritmos aritméticos modernos son posibles grazas á introdución do sistema de numeración hindú-arábigo e a notación decimal posicional dos números. A aritmética baseada neste sistema de numeración desenvolveuse ao longo de varios séculos coa contribución dos grandes matemáticos hindús Aryabhata, Brahmagupta e Bhaskara I. Aryabhata probou diferentes formas de notación posicional; Brahmagupta desenvolveu as modernas suma, resta, multiplicación e división baseadas na numeración hindú; e Bhaskara I semella ser o primeiro en empregar unha notación puramente decimal, introducindo un símbolo para o cero. A aritmética de hoxe en día descende dos métodos orixinarios da India, que xunto co sistema numérico hindú asimiláronse polos árabes e foron transmitidos por estes na Idade Media aos europeos. Con anterioridade ao uso destes métodos, a realización de operacións aritméticas básicas era unha tarefa complicada. No ano 662, algunhas pasaxes escritas polo bispo nestoriano persa Severus Sebokht, amosan que daquela a ciencia e o sistema de numeración hindú eran xa coñecidos e apreciados por persoas do oriente medio.

Detalle do Códice Albeldense, ou Codex Vigilanus. Os primeiros números arábigos en Occidente.

A aritmética hindú era máis sinxela que a grega xa que o sistema numérico hindú era posicional e tiña número cero. Os árabes asimilaron as técnicas da ciencia hindú, que logo transmitiron a través dos seus escritos aos europeos. A obra máis antiga que chegou a nós explicando o sistema de numeración decimal e a súa aritmética, é un dos manuscritos do matemático persa do século IX Al-Khwarizmi do cal desgraciadamente só se conservan algunhas versións latinas pouco fieis ao orixinal.

A primeira aparición en Europa dos números hindús foi no Codex Vigilanus copiado por un monxe rioxano no ano 976, aínda que pasarían varios séculos antes de seren aceptados. Na súa difusión xogou un papel importante o "Liber Abaci" do matemático italiano Fibonacci, publicado en Pisa no ano 1202.

Operacións aritméticas

As operacións aritméticas básicas son a adición, a subtracción, a multiplicación e a división, aínda que en ocasións se inclúen operacións máis avanzadas, como os cálculos de porcentaxes, as raíces cadradas, a exponenciación e os logaritmos. A aritmética realízase seguindo unha orde de operacións. Calquera conxunto de obxectos no que se poidan realizar as catro operacións básicas (agás a división entre0) ten a estrutura de corpo.

Instrumentos de cálculo

Os utensilios para facilitar as contas numéricas foron empregados a través de miles de anos. Por exemplo contar cos dedos, establecendo unha correspondencia cos dedos da man. O primeiro obxecto para contar probablemente fose un «pau de contar». Registros posteriores no Crecente Fértil inclúen cálculos (esferas de barro, conos etc.) que representan contas de obxectos, posiblemente grans. Outro exemplo é a numeración con varas.

O ábaco foi empregado dende tempos moi antigos para tarefas aritméticas. Usábase en Babilonia no 2400 a.C. e dende entón aparecereon diferentes táboas. Antes da Idade Media construíronse varias computadoras analóxicas para facer cálculos astronómicos, como a máquina de Antikythera e o astrolabio na antiga Grecia (150-100 a.C.). Herón de Alexandría (c. 10–70) construíu aparellos complexos, incluíndo autómatas e tarxetas programables.

O matemático escocés John Napier decatouse que a multiplicación e a división dos números podía transformarse en sumas e restas empregando o logaritmo dos números. Mentres construía as súas táboas logarítmicas necesitou facer moitas multiplicacións, para o que deseñou os "ósos de Napier". As regras de cálculo foron usadas por xeracións de enxeñeiros antes da invención das calculadoras de peto.

• 
  Conta cos dedos
• 
  Pau de contar
• 
  Numeración chinesa con varas
• 
  Numeración maia
• 
  Táboa babilónica
• 
  Quipu
• 
  Regra de cálculo
• 
  Ábaco
• 
  Máquina de sumar
• 
  Calculadora de peto

Alta aritmética

Artigo principal: Teoría dos números.

O termo aritmética tamén fai referencia á teoría dos números, que desenvolve e afonda nas propiedades dos números enteiros relacionadas coa súa primalidade, divisibilidade e as solucións enteiras das ecuacións. En particular, o teorema fundamental da aritmética e as funcións aritméticas desenvólvense dentro deste cadro e este é o uso que se reflicte en A Course in Arithmetic de Jean-Pierre Serre, ou o que dá Harold Davenport en frases como: "aritmética de primeira orde" ou "alta aritmética".

• A aritmética modular trata das congruencias de números enteiros; o seu estudo inscríbese na teoría dos números.
• A aritmética binaria e a álxebra de Boole, moi empregadas en informática, é o cálculo aritmético efecutado nun sistema de numeración binario e a álxebra resultante. Foi documentada por Leibniz, no século XVII, no seu artigo Explication de l'Arithmétique Binaire.
• A aritmética ordinal, en teoría de conxuntos, describe o cálculo aritmético coas operaciones —suma, multiplicación e potenciación— aplicadas aos números ordinais.
• A aritmética de Peano é o conxunto de axiomas de construción dos números naturais.
• O teorema de incompletitude de Gödel, enunciado en 1930, demostra que ningunha teoría matemática formal capaz de describir os números naturais e a aritmética con suficiente expresividade é a vez consistente e completa.