Divisor

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
(Redirección desde «Divisibilidade»)

En matemáticas, un divisor dun número enteiro tamén chamado factor de é un número enteiro que se pode multiplicar por algún número enteiro para producir [1] Neste caso, tamén se di que é múltiplo de Un número enteiro é divisible por outro número enteiro se é un divisor de ; isto implica que ao dividir por non temos un resto.

Definición[editar | editar a fonte]

Un número enteiro é divisible por un número enteiro distinto de cero se existe un número enteiro tal que A nomenclatura habitual é

En latex sería "m \mid n".

Isto pódese ler así divide a é un divisor de é un factor de ou é múltiplo de Se non divide a daquela a notación é [2] [3]

Que en latex sería "m \not\mid n".

Xeral[editar | editar a fonte]

Os divisores poden ser tanto negativos como positivos, aínda que moitas veces o termo está restrinxido a divisores positivos. Por exemplo, hai seis divisores de 4, que son 1, 2, 4, −1, −2 e −4, pero só se mencionarían os positivos (1, 2 e 4).

1, -1, e coñécense como divisores triviais de Un divisor de que non é un divisor trivial coñécese como un divisor non trivial (ou divisor estrito [4]). Un número enteiro distinto de cero con polo menos un divisor non trivial coñécese como número composto, mentres que as unidades −1 e 1 e os números primos non teñen divisores non triviais.

Os divisores propios son todos menos o número en si e o seu negativo, para o exemplo de 4 e tendo en conta só os divisores positivos, o 1 e o 2 son os divisores propios.

Existen regras de divisibilidade que permiten recoñecer certos divisores dun número a partir dos díxitos do número.

Exemplos[editar | editar a fonte]

  • 7 é un divisor de 42 porque así podemos dicir Tamén se pode dicir que 42 é divisible por 7, 42 é múltiplo de 7, 7 divide 42 ou 7 é un factor de 42.
  • Os divisores non triviais de 6 son 2, − 2, 3, − 3.
  • Os divisores positivos de 42 son 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
  • Os divisores positivos propios de 42 son 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21.
  • O conxunto de todos os divisores positivos de 60, parcialmente ordenado pola divisibilidade, ten o diagrama de Hasse:

Outras nocións e feitos[editar | editar a fonte]

Algunhas regras elementais:

  • Se e entón é dicir, a divisibilidade é unha relación transitiva.
  • Se e entón ou
  • Se e entón cúmprese que , igual para a resta

Se e entón [a] Isto denómínase lema de Euclides.

Se é un número primo e entón ou

Un número enteiro cuxo único divisor propio é 1 chámase número primo.

Calquera divisor positivo de é un produto de divisores primos de elevado a algunha potencia. Esta é unha consecuencia do teorema fundamental da aritmética .

Un número dise que é perfecto se é igual á suma dos seus divisores propios, deficiente se a suma dos seus divisores propios é menor que e abundante se esta suma supera

O número total de divisores positivos de é unha función multiplicativa no caso de e seren relativamente primos, entón Por exemplo,  ; Os oito divisores de 42 son 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 e 42. Esta función tamén se pode escribir como a número cero das funcións sigma

A suma dos divisores positivos de é outra función multiplicativa (p. ex ). Esta última coñécese como función divisor e cada subíndice de sigma representa a potencia dos divisores cos que se fai a suma, por iso , pois os divisores elevados a cero é igual que contalos.

Se a factorización de está dada polos primos

daquela o número de divisores positivos de é

e cada un dos divisores ten a forma

onde para cada

Para cada número natural temos

En álxebra abstracta[editar | editar a fonte]

Teoría de aneis[editar | editar a fonte]

Artigo principal: Divisibilidade (anel).

Retícula de división[editar | editar a fonte]

Artigo principal: Retícula de división.

Nas definicións que permiten que o divisor sexa 0, a relación de divisibilidade converte o conxunto de enteiros non negativos nun conxunto parcialmente ordenado que é unha retícula distributiva completa. O elemento maior desta retícula é 0 e o menor é 1. A operación de encontro ven dada polo máximo común divisor e a operación de unión polo mínimo común múltiplo. Esta retícula é isomorfa ao dual da retícula de subgrupos do grupo cíclico infinito Z.

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Notas[editar | editar a fonte]

  1. refírese ao máximo común divisor, siglas en inglés.

Citas[editar | editar a fonte]

Bibliografía[editar | editar a fonte]