Trigonometría

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Este é un dos 1000 artigos que toda Wikipedia debería ter.
Expresión gráfica das funcións trigonométricas.

A trigonometría estuda as relacións entre os lados e os ángulos dun triángulo e, por extensión, as propiedades dos puntos (baricentro, circuncentro, incentro e ortocentro) e rectas (mediana, altura, mediatriz e bisectriz) notábeis dun triángulo.

A palabra deriva do grego trigonon (tri', tres e gonia ángulos), triángulo, e metron, medida[1]; é dicir, etimoloxicamente trigonometría é a medida de tres ángulos ou medida de triángulos.

Funcións directas principais[editar | editar a fonte]

En concreto, a trigonometría establece varias funcións trigonométricas para un ángulo, definibles graficamente segundo unha circunferencia de radio unidade de tal xeito que o devandito ángulo ten o seu vértice no centro do círculo (na figura, o ángulo abrangue a zona gris):

Funcións trigonométricas directas
  • a función chamada seno dun ángulo (abreviada sin ou sen) relaciona o valor do cateto oposto ó ángulo co da hipotenusa. Polo tanto tomando coma referencia a circunferencia de radio unidade da figura, se a hipotenusa ten valor 1 (o do radio), o seno será o segmento vermello, é dicir, o seno terá o valor do cateto oposto cando a hipotenusa vale a unidade;

  • a función chamada coseno dun ángulo (abreviada cos, inda que en portugués se escriba con dobre s) relaciona o valor do cateto contiguo (ou adxacente) co da hipotenusa. Na figura, para unha hipotenusa unitaria (o radio), o coseno será o segmento verde, é dicir, o coseno terá o valor do cateto contiguo cando a hipotenusa vale a unidade;

  • a función chamada tanxente (abreviada tan, inda que exista unha tendencia a notala como tg, seguindo e segundo a súa grafía en latín, castelán e inglés) relaciona as dúas anteriores: é dicir, é a relación entre o seno e o coseno. Para facer que o coseno teña valor unitario, faise coincidir co radio, e polo tanto a tanxente é o segmento azul, exterior á circunferencia, é dicir, a tanxente terá o valor do cateto oposto cando o cateto contiguo vale a unidade:

O nome destas funcións procede de que estes segmentos marcados están no interior (no seo, para seno e coseno) ou na tanxente á circunferencia de radio unidade.

Funcións directas secundarias (ou inversas para a operación produto de funcións)[editar | editar a fonte]

Existen outras tres funcións trigonométricas que teñen o valor inversamente proporcional ás tres anteriores. Os seus nomes son secante, cosecante e cotanxente. Os seus nomes tamén proceden da posición do segmento en relación á circunferencia unidade. Estas inversas son (na figura, o ángulo abrangue tamén a mesma zona gris):

Funcións trigonométricas inversas
  • a función chamada secante dun ángulo (abreviada sec) relaciona o valor da hipotenusa co do cateto continuo ó angulo. Polo tanto tomando coma referencia a circunferencia de radio unidade da figura, se o cateto contiguo ten valor 1 (o do radio), a secante será o segmento en trazos verdes, é dicir, a secante terá o valor da hipotenusa cando o cateto contiguo vale a unidade;

  • a función chamada cosecante dun ángulo (abreviada cosec, inda que en portugués se escriba tamén con dobre s) relaciona o valor da hipotenusa co do cateto oposto. Na figura, para un cateto unitario de valor igual ó radio, a cosecante será o segmento en trazos vermellos, é dicir, a cosecante terá o valor da hipotenusa cando o cateto oposto vale a unidade;

  • a función chamada cotanxente (abreviada cotan, inda que exista tamén unha tendencia a notala como cotg, segundo e seguindo a súa grafía latina, castelá e inglesa) relaciona as dúas anteriores e é inversa da tanxente: é dicir, é a relación entre o coseno e o seno ou entre a secante e a cosecante. Para facer que o coseno teña valor unitario, faise coincidir co radio, e polo tanto a tanxente é o segmento azul, exterior á circunferencia, é dicir, a cotanxente terá o valor do cateto contiguo cando o cateto oposto vale a unidade:

NOTA: Na linguaxe TeX para editar fórmulas da Galipedia, o codificador de etiquetas non recoñece as funcións cosecante nin cotanxente.

Funcións inversas para a composición de funcións (funcións arco)[editar | editar a fonte]

O concepto de inversión nestas funcións opostas non consiste no valor matematicamente inversamente proporcional segundo a matemática, senón no concepto contrario. O seu argumento son números reais e o seu resultado son os ángulos ou arcos (en radiáns). Debido a isto as funcións teñen por nome a denominación da función directa antecedido do prefixo arco-. Así, existen seis funcións opostas: arcoseno, arcocoseno, arcotanxente, arcosecante, arcocosecante e arcocoanxente.

Teorema fundamental dos triángulos[editar | editar a fonte]

Enúnciase como: a suma dos ángulos dun triángulo suma 180º, medida que equivale a π radiáns. Para outros polígonos regulares se pode calcular (e tamén o ángulo interior de cada un dos seus vértices) mediante o seguinte construto baseado neste teorema (as cores son referidas ás da figura):

Cálculo do ángulo dun polígono regular
  • Se un polígono ten n lados e se busca o centro de simetría radial, se pode unir os n vértices mediante n segmentos (en azul);
  • Isto produce n triángulos interiores que terán
  • Tendo en conta que a suma dos ángulos que rodean ó centro de simetría é 360º (en vermello), o resto dos ángulos miden en conxunto:

  • Como o polígono ten n vértices, a cada un corresponderalle:

(en verde)

  • Este valor a medida que se vai aumentando (o seu límite cando n tende a infinito) equivale a 180º, que é o valor da tanxente da circunferencia (o polígono de infinitos lados).

Teorema fundamental da trigonometría[editar | editar a fonte]

Este teorema está baseado no teorema de Pitágoras e relaciona o seno dun ángulo co seu coseno. A súa demostración é moi doada partindo do dito por Pitágoras e dividíndoo entre o cadrado da hipotenusa ( é o cateto oposto e é o cateto contiguo):

Relacións trigonométricas[editar | editar a fonte]

Existe unha relación entre as funcións trigonométricas de varios ángulos (restados ou sumados) e as funcións de cada un dos sumandos ou restandos individualmente. Disto dedúcese a relación entre as funcións dun ángulo e o do seu dobre (facendo a suma de si mesmo). Tamén hai unha equivalencia entre a función dun ángulo e o da súa metade.

Funcións trigonométricas dunha diferenza
Funcións trigonométricas dunha suma
Funcións trigonométricas do ángulo dobre
(deducibles das anteriores)
Funcións trigonométricas do ángulo metade
Suma de funcións trigonométricas
Resta de funcións trigonométricas

Para coñecer o valor da derivada das funcións trigonométricas (directas, inversas e opostas) v. derivada.

Notas[editar | editar a fonte]

  1. Douglas Harper (2001). "Etimoloxía da palabra trigonometría". Online Etymology Dictionary (en inglés). Consultado o 31 de maio de 2013.