Número áureo

Unha sección áurea é unha división en dous dun segmento segundo proporcións dadas polo número áureo. A lonxitude total a+b é ao segmento máis longo a como a é ao segmento máis corto b.

O número áureo ou número de ouro (tamén chamado número prateado, razón extrema e media, razón áurea, razón dourada, media áurea, proporción áurea e divina proporción) representado pola letra grega φ (fi) (en honor ao escultor grego Fidias), é o número irracional:

$\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,618033988749894848204586834365638...$

Trátase dun número alxébrico que posúe moitas propiedades interesantes e que foi descuberto na antigüidade, non como “unidade” senón como relación ou proporción entre segmentos de rectas. Esta proporción encóntrase tanto nalgunhas figuras xeométricas como na natureza en elementos tales como caracois, nervios das follas dalgunhas árbores, o grosor das ramas, etc.

Así mesmo, atribúeselle un carácter estético especial aos obxectos que seguen a razón áurea, así como unha importancia mística. Ao largo da historia, atribuíuselle importancia en diversas obras de arquitectura e outras artes, aínda que algúns de estes casos foron obxectables para as matemáticas e a arqueoloxía.

Definición

Números γ - ζ(3) - √2 - √3 - √5 - φ - α - e - π - δ
Binario	1,1001111000110111011...
Decimal	1,6180339887498948482...
Hexadecimal	1,9E3779B97F4A7C15F39...
Fracción continua	$1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{\ddots}}}}$
Alxébrico	$\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Dise que dous números positivos a e b están en razón áurea se e só si:

$\frac{a + b}{a} = \frac{a}{b} = \varphi$

Para obter o valor de $\varphi$ a partir desta razón considere o seguinte:

Que a lonxitude do segmento máis curto b sexa 1 e que a de a sexa x. Para que estes segmentos cumpran coa razón áurea deben cumprir que:

$\frac{1 + x}{x} = \frac{x}{1}$

Multiplicando ambos lados por x e reordenando:

$\ x^2 - x -1 = 0$

Mediante a fórmula xeral das ecuacións de segundo grao obtense que as dúas solucións da ecuación son

$x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \varphi \approx 1,61803$

$x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} = -\frac{1}{\varphi} \approx -0,61803$

A solución positiva é o valor do número áureo.

Historia do número áureo

Existen varios textos que suxiren que o número áureo atópase como proporción en certas estelas Babilonias e Asirias de arredor de 2000 a. C. Porén, non existe documentación histórica que indique que o número áureo foi usado conscientemente polos arquitectos ou artistas na construción das estelas. Tamén é importante notar que cando se mide unha estrutura complicada é fácil obter resultados curiosos se se teñen moitas medidas dispoñibles. Ademais para que se poda considerar que o número áureo está presente, as medidas deben tomarse desde puntos relativamente obvios do obxecto e este non é o caso dos elaborados teoremas que defenden a presencia do número áureo. Por todas estas razóns Mario Livio e Alvaro Valarezo conclúen que é moi improbable que os babilonios descubriran o número áureo.

O primeiro en facer un estudio formal sobre o número áureo foi Euclides (c. -300--265), quen o definiu dea seguinte maneira:

"Dise que unha liña recta está dividida no extremo e o seu proporcional cando a liña enteira é ao segmento maior como o maior é ao menor."

Euclides n' Os Elementos.

Euclides demostrou tamén que este número non pode ser descrito como a razón de dous números enteiros, é dicir é irracional.

Platón (c. -428-347) viviu antes de que Euclides estudara o número áureo, porén, ás veces atribúeselle o desenvolvemento de teoremas relacionados co número áureo debido que o historiador grego Proclo escribiu:

"Eudoxo... multiplicou o número de teoremas relativos á sección aos que Platón deu orixe."

Proclo en Un comentario sobre o Primeiro Libro dos Elementos de Euclides.

Aquí a miúdo interpretouse a palabra sección (τομή) como a sección áurea. Con todo, a partir do século XIX esta interpretación foi motivo de gran controversia e moitos investigadores chegaron á conclusión de que a palabra sección non tivo nada que ver co número áureo. Non obstante, Platón considerou que os números irracionais, descubertos polos pitagóricos, eran de particular importancia e a chave á física do cosmos. Esta opinión tivo unha gran influencia en moitos filósofos e matemáticos posteriores, en particular os neoplatónicos.

A pesar do discutible do seu coñecemento sobre o número áureo, Platón deuse á tarefa de estudar a orixe e a estrutura do cosmos, cousa que intentou usando os cinco sólidos platónicos, construídos e estudados por Teeteto. En particular, combinou a idea de Empédocles sobre a existencia de catro elementos básicos da materia, coa teoría atómica de Demócrito, para Platón cada un dos sólidos correspondía a unha das partículas que conformaban cada un dos elementos. Segundo Platón, a terra estaba asociada ao cubo, o lume ao tetraedro, o aire ao octaedro, a auga ao icosaedro, e finalmente o Universo como un todo, estaba asociado co dodecaedro.

En 1509 o matemático e teólogo Luca Pacioli publica o seu libro De Divina Proportione (A Proporción Divina), no que plantea cinco razóns polas que considera apropiado considerar divino ao Número áureo:

1. A unicidade; Pacioli compara o valor único do número áureo coa unicidade de Deus.
2. O feito de que estea definido por tres segmentos de recta, Pacioli asóciao coa Trindade.
3. A inconmensurabilidade; para Pacioli a inconmensurabilidade do número áureo, e a inconmensurabilidade de Deus son equivalentes.
4. A Autosimilaridade asociada ao número áureo; Pacioli compáraa coa omnipresencia e invariabilidade de Deus.
5. Segundo Pacioli, dea mesma maneira en que Deus deu ser ao Universo a través da quinta esencia, representada polo dodecaedro; o número áureo deu ser ao dodecaedro.

En 1525, Durero publica Instrución sobre a medida con regra e compás de figuras planas e sólidas onde describe como trazar con regra e compás a espiral baseada na sección áurea, que se coñece como “espiral de Durero”.

O astrónomo Johannes Kepler (1571-1630), desenvolveu un modelo Platónico do Sistema Solar utilizando os sólidos platónicos, e referiuse ao número áureo en términos grandiosos

“A xeometría ten dous grandes tesouros: un é o teorema de Pitágoras; o outro, a división dunha liña entre o extremo e a súa proporcional. O primeiro podémolo comparar a unha medida de ouro; o segundo debémolo denominar unha xoia preciosa”

Johannes Kepler en Mysterium Cosmographicum (O Misterio Cósmico).

O primeiro uso coñecido do adxectivo áureo, dourado, ou de ouro, para referirse a este número faino o matemático alemán Martin Ohm, irmán do célebre físico Georg Simon Ohm, na segunda edición de 1835 do seu libro Die Reine Elementar Matematik (As Matemáticas Puras Elementais). Ohm escribe nunha nota ao pé:

"Un tamén acostuma chamar a esta división dunha liña arbitraria en dous partes como estas a sección dourada."

Martin Ohm en Die Reine Elementar Matematik (As Matemáticas Puras Elementais).

A pesar de que a forma de escribir suxire que o término xa era de uso común para a fecha, o feito de que non o incluíra na súa primeira edición suxire que o término puido gañar popularidade arredor de 1830.

Nos textos de matemáticas que trataban o tema, o símbolo habitual para representar o número áureo foi τ do grego τομή que significa corte ou sección. Porén, a moderna denominación Φ ó φ, efectuouna en 1900 o matemático Mark Barr na honra de Fidias xa que esta era a primeira letra do seu nome escrito en grego (Φειδίας). Esta honra concédeselle a Fidias polo máximo valor estético atribuído ás súas esculturas, propiedade que xa por entón se lle atribuía tamén ao número áureo. Mark Barr e Schooling foron responsables dos apéndices matemáticos do libro The Curves of Live, de Sir Theodore Cook.

O número áureo nas matemáticas

Fórmula da relación Áurea

Para conseguir un número cuxa relación con outro sexa φ pódese utilizar esta fórmula:

$\ a^{2} = b^{2}+ab$

Sendo sempre a>b, a>0 y b>0

Se por exemplo, queremos un valor áureo para 2 sendo este o segmento menor, ou sexa b, resulta que:

$\ a^2 = 4 + 2a$

Ordenando:

$\ a^2 - 2a -4 = 0$

Coa fórmula Cuadrática:

$a = 1 + \sqrt{5}$

Propiedades e representacións

Ángulo de ouro

${\frac{360^\circ}{\varphi+{1}}} \approx 137{,}5^\circ$

Propiedades alxébricas

• Φ é o único número real positivo tal que:

$\varphi^2 = \varphi + 1\$

A expresión anterior é fácil de comprobar:

$\varphi^2 = \frac{1 + 2\sqrt{5} + 5}{2^2} = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{2^2} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

$\varphi + 1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} + \frac{2}{2} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

• Φ posúe ademais as seguintes propiedades:

$\varphi - 1 = \frac{1}{\varphi} \$

$\varphi^3 = \frac {\varphi + 1} {{\varphi - 1}} \$

• As potencias do número áureo poden ser escritas en función dunha suma de potencias de graos inferiores do mesmo número, establecendo unha verdadeira sucesión recorrente de potencias.

O caso máis simple é: $\Phi^n = \Phi^{n-1}+\Phi^{n-2}$, calquera sexa n un número enteiro. Este caso é unha sucesión recorrente de orden k = 2, pois recórrese a dúas potencias anteriores.

Unha ecuación recorrente de orden k ten a forma $a_1 u_{n+k-1}+a_2 u_{n+k-2}+...+a_k u_n$, onde $a_i$ é calquera número real o complexo e k é un número natural menor ou igual a n e maior ou igual a 1. No caso anterior é $k=2$, $a_1 = 1$ y $a_2 = 1$.

Pero podemos «saltear» a potencia inmediatamente anterior e escribir:

$\Phi^n = \Phi^{n-2} + 2 \Phi^{n-3} + \Phi^{n-4}$. Aquí $k = 4$, $a_1 = 0$, $a_2 = 1$, $a_3 = 2$ y $a_4 = 1$.

Se anulamos ás dúas potencias inmediatamente anteriores, tamén hai unha fórmula recorrente de orden 6:

$\Phi^n = \Phi^{n-3} + 3 \Phi^{n-4} + 3 \Phi^{n-5} + \Phi^{n-6}$

En xeral:

$\Phi^n = \sum_{i=0}^{\textstyle \frac {1}{2} k}{\textstyle \frac{1}{2}k\choose i}\Phi^{\left [\textstyle n-\left(\textstyle \frac{1}{2}k+i\right)\right]}\textstyle;k=2j\in \mathbb{N}\,\textstyle, n\in \mathbb{R}\,\textstyle, i\in \mathbb{N}$.

En resume: calquera potencia do número áureo pode ser considerada como o elemento dunha sucesión recorrente de ordes 2, 4, 6, 8, ..., 2k; onde k é un número natural. Na fórmula recorrente é posible que aparezan potencias negativas de $\Phi$, feito totalmente correcto. Ademais, unha potencia negativa de $\Phi$ corresponde a unha potencia positiva do seu inverso, a sección áurea.

Este curioso conxunto de propiedades e o feito de que os coeficientes significativos sexan os do binomio, pareceran indicar que entre o número áureo e o número e hai un parentesco.

• O número áureo $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ é a unidade fundamental «ε» do corpo $\mathbb{R}\left(\sqrt{5}\right)$ e a sección áurea $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ é a súa inversa, «$\varepsilon^{-1}$». Nesta extensión o «emblemático» número irracional $\sqrt{2}$ cumpre as seguintes igualdades:

$\sqrt{2}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\sqrt{3-\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\sqrt{3+\sqrt{5}}$.

Representación mediante fraccións continuas

A expresión mediante fraccións continuas é:

$\varphi = 1 + \frac{1}{\varphi} \quad \longrightarrow \quad \varphi = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + ...}}}}$

Esta repetición é a única onde sumar é multiplicar e restar é dividir. É tamén a máis simple de todas as fraccións continuas e a que ten a converxencia máis lenta. Esa propiedade fai que ademais o número áureo sexa un número mal aproximable mediante racionais que de feito alcanza o peor grao de aproximabilidade mediante racionais posible.

Representación mediante ecuacións alxébricas

$(\varphi)(\varphi - 1) = 1 \quad \longrightarrow \quad (\varphi)^2 - \varphi - 1 = 0 \quad \longrightarrow \quad \varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

O número áureo $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ e a sección áurea $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ son solucións das seguintes ecuacións:

$\ x^2 - \sqrt{5}\, x + 1 = 0$

$\ x^3 - y^3 - 4 = 0$

$\ x^4 - 3 x^2 + 1 = 0 = (x^2 - x - 1) (x^2 + x - 1)$

Representación trigonométrica

$\varphi = 1+2\sin(\pi/10) = 1 + 2\sin 18^\circ$

$\varphi = {1 \over 2}\csc(\pi/10) = {1 \over 2}\csc 18^\circ$

$\varphi = 2\cos(\pi/5)=2\cos 36^\circ$

$\varphi = \frac{1}{2} \sec \frac{2}{5} \, \pi = \frac{1}{2} \sec 72^\circ$

Estas corresponden ao feito de que o diámetro dun pentágono regular (distancia entre dous vértices non consecutivos) é φ veces a lonxitude do seu lado, e de outras relacións similares no pentagrama.

En 1994 deriváronse as seguintes ecuacións relacionando ao número áureo co número da Bestia:

$\frac{\varphi}{2}=-\sin666^\circ=-\cos(6\cdot 6 \cdot 6^\circ).$

O que pode combinarse na expresión:

$\varphi=-\sin666^\circ-\cos(6\cdot 6 \cdot 6^\circ).$

Nambergntes, hai que notar que estas ecuacións dependen de que se elixan os graos sexaxesimales como unidade angular, xa que as ecuacións non se manteñen para unidades diferentes.

Representación mediante raíces anidadas

$\varphi = \sqrt{1 + \varphi} \quad \longrightarrow \quad \varphi = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 +\cdots }}}}$

Esta fórmula como caso particular dunha identidade xeral publicada por Nathan Altshiller-Court, da Universidad de Oklahoma, na revista American Mathematical Monthly, 1917.

O teorema xeral di:

A expresión $\lim_{n \to \infty} \sqrt{a_1 + \sqrt{a_2 + \sqrt{a_3 + \sqrt{a_4 +\sqrt{\cdots + \sqrt{a_n}}}}}}$ (onde $a_i=a$), é igual á maior das raíces da ecuación x² - x - a = 0; ou sexa, $\frac {1 + \sqrt{1 + 4a}}{2}$

Relación coa serie de Fibonacci

Se se denota o enésimo número de Fibonacci como F_n, e ao seguinte número de Fibonacci, como F_{n + 1}, descubrimos que a medida que n aumenta, esta razón oscila sendo alternativamente menor e maior que a razón áurea. Podemos tamén notar que a fracción continua que describe ao número áureo produce sempre números de Fibonacci a medida que aumenta o número de uns na fracción. Por exemplo: $\textstyle \frac{3}{2}= 1,5$ ; $\textstyle \frac{8}{5} = 1,6$ ; e $\textstyle \frac{21}{13}= 1,61538461...$, o que se acerca considerablemente ao número áureo. Entón tense que:

$\varphi = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + ...}}}} = \lim_{n \to \infty}\frac{F_{n +1}}{F_n} = \phi$

Esta propiedade foi descuberta polo astrónomo alemán Johannes Kepler, nambergantes, pasaron máis de cen anos antes de que fora demostrada polo matemático inglés Robert Simson.

A mediados do século XIX o matemático francés Jacques Philippe Marie Binet redescubríu unha fórmula que aparentemente xa era coñecida por Leonhard Euler, e por outro matemático francés, Abraham de Moivre. A fórmula permite encontrar o enésimo número de Fibonacci sen a necesidade de producir todos os números anteriores. A fórmula de Binet depende exclusivamente do número áureo:

$F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left [ \left (\frac{1 +\sqrt{5}}{2} \right )^n - \left (\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right )^n \right ]\quad=\frac{1}{\sqrt{5}} \left [ \left ( \phi \right )^n - \left (\frac{-1}{\phi} \right )^n \right ] \quad$

O número áureo na xeometría

O número áureo e a sección áurea están presentes en todos os obxectos xeométricos regulares ou semiregulares nos que haxa simetría pentagonal, pentágonos ou apareza de algunha maneira a raíz cadrada de cinco.

• Relacións entre as partes do pentágono.
• Relacións entre as partes do pentágono estrelado, pentáculo ou pentagrama.
• Relacións entre as partes do decágono.
• Relacións entre as partes do dodecaedro e do icosaedro.

O rectángulo áureo de Euclides

Euclides obtén o rectángulo áureo AEFD a partir do cadrado ABCD. O rectángulo BEFC é así mesmo áureo.

O rectángulo AEFD é áureo porque os seus lados AE e AD están na proporción do número áureo. Euclides na súa proposición 2.11 de Os elementos obtén a súa construción.>

$GC = \sqrt{5}$

Con centro en G obtense o punto E, e polo tanto

$GE=GC=\sqrt{5}$

resultando evidente que

$AE = AG + GE = 1 + \sqrt{5}$

de onde, finalmente

$\frac{AE}{AD} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}= \varphi$

Por outra parte, os rectángulos AEFD e BEFC son semellantes, de modo que este último é así mesmo un rectángulo áureo.

No pentagrama

Pentagrama que ilustra algunhas das razóns áureas: os segmentos vermello e azul, azul e verde, verde e morado.

O número áureo ten un papel moi importante nos pentágonos regulares e nos pentagramas. Cada intersección de partes dun segmento, interseca a outro segmento nunha razón áurea.

O pentagrama inclúe dez triángulos isóceles: cinco acutángulos e cinco obtusángulos. En ambos, a razón de lado maior e o menor é φ. Estes triángulos coñécense como os triángulos áureos.

Tendo en conta a gran simetría de este símbolo obsérvase que dentro do pentágono interior é posible debuxar unha nova estrela, cunha recursividade ata o infinito. Do mesmo modo, é posible debuxar un pentágono polo exterior, que sería á súa vez o pentágono interior dunha estrela máis grande. Ao medir a lonxitude total dunha das cinco liñas do pentáculo interior, resulta igual á lonxitude de calquera dos brazos da estrela maior, ou sexa Φ. Polo tanto o número de veces en que aparece o número áureo no pentagrama é infinito ao anidar infinitos pentagramas.

O teorema de Ptolomeo e o pentágono

Pódese calcular o número áureo usando o teorema de Ptolomeo nun pentágono regular.

Claudio Ptolomeo desenvolveu un teorema coñecido como o teorema de Ptolomeo, o cual permite trazar un pentágono regular mediante regra e compás. Aplicando este teorema un cuadrilátero é formado ao quitar un dos vértices do pentágono, Se as diagonais e a base maior miden b, e os lados e a base menor miden a, resulta que b² = a² + ab o que implica:

${b \over a}={{(1+\sqrt{5})}\over 2}\,.$

Relación cos sólidos platónicos

O número áureo está relacionado cos sólidos platónicos, en particular co icosaedro e o dodecaedro, cuxas dimensións están dadas en términos do número áureo. Os 12 vértices dun icosaedro con arestas de lonxitude 2, poden darse en coordenadas cartesianas polos seguintes puntos: (0, ±1, ±φ), (±1, ±φ, 0), (±φ, 0, ±1)

Os 20 vértices dun dodecaedro con arestas de lonxitude 2/φ=√5−1, tamén se poden dar en términos similares: (±1, ±1, ±1), (0, ±1/φ, ±φ), (±1/φ, ±φ, 0), (±φ, 0, ±1/φ)

As 12 esquinas dos rectángulos coinciden cos centros das caras dun dodecaedro.

Para un dodecaedro con arestas de lonxitude a, o seu volumen e a súa área total pódense expresar tamén en términos do número áureo:

$A = 3\sqrt{15 +20\varphi} \cdot a^2$

$V = \frac {4 + 7\varphi}{2} \cdot a^3$

Se tres rectángulos áureos se solapan paralelamente nos seus centros, as 12 esquinas dos rectángulos áureos coinciden exactamente cos vértices dun icosaedro, e cos centros das caras dun dodecaedro:

O punto que os rectángulos teñen en común é o centro tanto do dodecaedro como do icosaedro.

O número áureo na Naturaleza

Concha de nautilus en espiral logarítmica.

Na natureza, hai moitos elementos relacionados coa sección áurea e/ou os números de Fibonacci:

• Leonardo de Pisa (Fibonacci), no seu Libro dos ábacos (Liber abacci, 1202, 1228), usa a sucesión que leva o seu nome para calcular o número de pares de coellos n meses despois de que unha primeira parella comeza a reproducirse (supoñendo que os coellos están aislados por muros, se empezan a reproducir cando teñen dous meses de idade, tardan un mes desde a fecundación ata a aparición e cada camada é de dous coellos). Este é un problema matemático puramente independiente de que sexan coellos os involucrados. En realidade, o coello común europeo ten camadas de 4 a 12 individuos e varias veces ao ano, aínda que non cada mes, pese a que a preñez dura 32 días. O problema áchase nas páxinas 123 e 124 do manuscrito de 1228, que foi o que chegou ata nós, e parece que o planteo recurriu a coellos como puidera haber sido a outros seres; é un soporte para facer comprensible unha incógnita, un problema matemático . O cociente de dous termos sucesivos da Sucesión de Fibonacci tende á sección áurea ou ao número áureo se a fracción resultante é propia ou impropia, respectivamente. O mesmo sucede con toda sucesión recurrente de orde dous, segundo demostraron Barr e Schooling na revista The Field do 14 de decembro de 1912.

• A relación entre a cantidade de abellas macho e abellas femia nun panal.
• A disposición dos pétalos das flores (o papel do número áureo na botánica recibe o nome de Ley de Ludwig).
• A distribución das follas nun talo. Ver: Sucesión de Fibonacci.
• A relación entre os nervios das follas dos árboles
• A relación entre o grosor das ramas principais e o tronco, ou entre as ramas principais e as secundarias (o grosor dunha equivale a Φ tomando como unidade a rama superior).
• A distancia entre as espirais dunha Piña.

• A relación entre a distancia entre as espiras do interior espiralado de calquera caracol ou de cefalópodos como o nautilus. Hai polo menos tres espirais logarítmicas máis ou menos asimilables a proporcións aúreas. A primera de elas caracterízase pola relación constante igual ao número áureo entre os radiovectores de puntos situados en dous evolutas consecutivas nunha mesma dirección e sentido. As conchas do Fusus antiquus, do Murex, de Scalaria pretiosa, de Facelaria e de Solarium trochleare, entre outras, seguen este tipo de espiral de crecemento. Débese entender que en toda consideración natural, aínda que involucre ás ciencias consideradas máis matemáticamente desenvolvidas, como a Física, ningunha relación ou constante que teña un número infinito de decimais pode chegar ata o límite matemático, porque nesa escala non existiría ningún obxecto físico. A partícula elemental máis diminuta que se poda imaxinar é infinitamente máis grande que un punto nunha recta. As leis observadas e descritas matemáticamente nos organismos cúmplenas transgredíndoas orgánicamente.
• Para que as follas esparcidas dunha planta (Ver Filotaxis) ou as ramas arrededor do tronco teñan o máximo de insolación coa mínima interferencia entre elas, estas deben crecer separadas en hélice ascendente segundo un ángulo constante e teóricamente igual a 360º (2 - φ) ≈ 137º 30' 27,950 580 136 276 726 855 462 662 132 999..." Na natureza se medirá un ángulo práctico de 137º 30' ou de 137º 30' 28" no mellor dos casos. Para o cálculo considérase iluminación vertical e o criterio matemático é que as proxeccións horizontais dunhas sobre outras non se recubran exactamente. Aínda que a iluminación do Sol non é, en xeral, vertical e varía coa latitude e as estacións, isto garantiza o máximo aproveitamento da luz solar. Este feito foi descuberto empíricamente por Church e confirmado matemáticamente por Weisner en 1875. Na práctica non pode medirse con tanta precisión o ángulo e as plantas reprodúceno "orgánicamente"; ou sexa, cunha pequena desviación respecto ao valor teórico.
• Na cantidade de elementos constituíntes das espiralais ou dobres espirais das inflorescencias, como no caso do xirasol, e en outros obxectos orgánicos como as piñas dos pinos atópanse números pertencentes á sucesión de Fibonacci. O cociente de dous números sucesivos desta sucesión tende ao número áureo.
• Existen cristais de Pirita dodecaédricos pentagonais (piritoedros) cuxas caras son pentágonos irregulares. Nambergantes, as proporcións de dito poliedro irregular non involucran o número áureo.
• O número áureo no cine:

O número Fi aparece na película de Disney "Donald no país das Matemáticas"

O número áureo no ser humano

• A Anatomía dos humanos básase nunha relación Φ estadística e aproximada, así vemos que:
  • A relación entre a altura dun ser humano e a altura do seu embigo.
  • A relación entre a distancia do hombro aos dedos e a distancia do cóbado aos dedos.
  • A relación entre a altura da cadeira e a altura do xeonllo.
  • A relación entre o primeiro óso dos dedos (metacarpiano) e a primeira falanxe, ou entre a primeira e a segunda, ou entre a segunda e a terceira, se dividimos todo é Φ.
  • A relación entre o diámetro da boca e o do nariz
  • É Φ a relación entre o diámetro externo dos ollos e a líña inter-pupilar
  • Cando a traquea se divide nos seus bronquios, se se mide o diámetro dos bronquios polo da traquea obtense Φ, ou o da aorta coas súas dúas ramas terminales (ilíacas primitivas).

O número áureo na Arte

Hombre de Vitruvio Leonardo da Vinci

• Relacións na forma da Gran Pirámide de Gizeh. A afirmación de Heródoto de que o cadrado da altura é igual á superficie dunha cara é posible únicamente se a semi-sección meridiana da pirámide é proporcional ao triángulo rectángulo $\left(\ 1,\;\sqrt{\frac{\sqrt{5} + 1}{2}},\;\frac{\sqrt{5} + 1}{2}\right)$, onde 1 representa proporcionalmente á metade da base, a raíz cadrada do número áureo á altura ata o vértice (inexistente na actualidade) e o número áureo ou hipotenusa do triángulo ao apotema da Gran Pirámide. Esta tesis foi defendida polos matemáticos Jarolimek, K. Kleppisch e W. A. Price (ver referencias), apóiase na interpretación dunha pasaxe de Heródoto (Historiae, libro II, cap. 124) e resulta teóricamente con sentido, aínda que unha construción de semellante tamaño deba conter erros inevitables a toda obra arquitectónica e á mesma natureza da tecnoloxía humana, que na práctica pode manexar unicamente números racionais. Os demáis investigadores famosos inclínanse pola hipótese de que os constructores intentaron una cuadratura do círculo, pois a raíz cadrada do número áureo aproxímase moito ao cociente de 4 sobre π. Pero unha construción tal, aínda que se coñecera π cunha aproximación grande, carecería completamente de interés xeométrico. Non obstante, con base en medicións non é posible elixir entre unha ou outra pois a diferencia sobre o monumento real non é maior a 14,2 cm e esta pequena variación queda enmascarada polas incertidumes das medidas, os erros constructivos e, principalmente, porque a pirámide perdeu o revestimento en mans dos primeiros constructores de O Cairo. Para que isto quede máis claro, unha precisión do 1 por mil nunha base de 230 metros equivale a 23 centímetros e na altura está na orde da diferencia real que debería existir entre ambas posibilidades.

• A relación entre as partes, o teito e as columnas do Partenón, en Atenas (s. V a. C.).Durante o primeiro cuarto do século XX, Jay Hambidge, da Universidade de Yale, inspirouse nun pasaxe do Teeteto de Platón para estudiar as proporcións relativas das superficies, algo moi natural cando se trata de obras arquitectónicas. Dous rectángulos non semellantes distínguense entre sí polo cociente do seu lado maior polo menor, número que basta para caracterizar a estas figuras e que denominou módulo do rectángulo. Un cadrado ten módulo 1 e o dobre cadrado módulo 2. Aqueles rectángulos cuxos módulos son números enteiros ou racionais foron denominados "estáticos" e os que posúen módulos irracionais euclidianos, ou sexa, expresables alxebricamente como raíces de ecuacións cuadráticas ou reducibles a elas, "dinámicos". O dobre cadrado é á vez estático e dinámico, pois 2 é a raíz cadrada de 4. Un exemplo de rectángulo dinámico elemental é aquel que ten por lado maior á raíz cadrada de 5 e por lado menor á unidade, sendo o seu módulo a raíz cadrada de 5. Posteriormente Hambidge estudiou aos monumentos e templos gregos e chegou a encadrar o frontón do Partenón nun rectángulo de módulo $\frac {4\Phi - 2}{\Phi + 1}$. Por medio de catro diagonais suministra as principais proporcións verticais e horizontais. Este rectángulo é descomposto en seis de módulo $\sqrt {5}$ e catro cadrados. Como dato adicional para indicar a complexidade do tratamento do edificio tense que en 1837 foron descubertas correccións ópticas no Partenón. O templo ten tres vistas principais e se as súas columnas estiveran perfectamente verticais, todas as súas líñas fosen paralelas e perfectamente rectas e os ángulos rectos foran exactos, polas propiedades da visión humana o conxunto veríase máis ancho arriba que na base, as súas columnas percibiríanse inclinadas cara a fóra e a líña que fundamenta o teito sobre as columnas veríase como unha especie de catenaria, cos extremos do edificio aparentemente máis altos que o centro. Os constructores fixeron a construción compensando estes efectos de ilusión óptica inclinando ou curvando en sentido inverso aos elementos involucrados. Así as columnas exteriores, en ambos lados do frente, están inclinadas hacia adentro nn ángulo de 2,65 segundos de arco, mentres que as que están no medio teñen unha inclinación de 2,61 segundos de arco. A líña que formarían os dinteles entre columnas e que constitúe a base do triángulo que corona o edificio, en realidade é un ángulo de 2,64 segundos de arco co vértice máis elevado que os extremos. De esta forma, e con outras correccións que non se mencionan aquí, lógrase que calquera observador que se sitúe nos tres puntos principais de vista vexa todo o conxunto paralelo, uniforme e recto.

• No cadro Leda atómica de Salvador Dalí, feito en colaboración co matemático romanés Matila Ghyka.

• Nos violíns, a localización das efes (os “oídos”, ou orificios na tapa) relaciónase co número áureo.
• O número áureo aparece nas relacións entre altura e ancho dos obxectos e persoas que aparecen nas obras de Miguel Ángel, Durero e Leonardo da Vinci, entre outros.
• As relacións entre articulacións no home de Vitruvio e noutras obras de Leonardo da Vinci.
• Nas estruturas formais das sonatas de Mozart, na Quinta Sinfonía de Beethoven, en obras de Schubert e Debussý (estes compositores probablemente compuxeron estas relacións de maneira inconsciente, basándose en equilibrios de masas sonoras).
• Na páx. 61 da novela de Dan Brown O código Da Vinci aparece unha versión desordenada dos primeros oito números de Fibonacci (13, 3, 2, 21, 1, 1, 8, 5), que funcionan como unha pista deixada polo curador do museo do Louvre, Jacques Saunière. Nas pp. 121 a 123 explica algunhas das aparicións de este número fi (1,618) na naturaleza.
• No episodio “Sabotaje” da serie de televisión NUMB3RS (primeira temporada, 2005), o xenio da matemática Charlie Eppes menciona que o número fi atópase na estrutura dos cristais, na espiral das galaxias e na concha do nautilus.

• Arte Póvera, movemento artístico italiano dos anos 1960, moitas de cuxas obras se basan nesta sucesión.
• Na cinta de Darren Aronofsky Pi, fe no caos o personaxe central, Max Cohen, explica a relación que hai entre os números de Fibonacci e a sección áurea, aínda que denominándoa incorrectamente como Theta (θ) en vez de Phi (Φ).

O número áureo no misticismo

Na cruz latina, símbolo do catolicismo, a relación entre o pao vertical e o horizontal é o número áureo. Así mesmo, o pao horizontal divide a vertical en seccións áureas.^{[Cómpre referencia]}

Véxase tamén

Bibliografía

• Jarolimek (Viena, 1890). Der Mathematischen Schlüssel zu der Pyramide des Cheops. 

• Kleppisch, K. (1921). Die Cheops-Pyramide: Ein Denkmal Mathematischer Erkenntnis. 

• Cook, Theodore Andrea (1979; obra original: 1914). The Curves of Live. ISBN 0-486-23701-X; ISBN 978-0-486-23701-5. 

• Pacioli, Luca (1991). La Divina Proporción. ISBN 978-84-7600-787-7. 

• Ghyka, Matila (1992). El Número de Oro. ISBN 978-84-85083-11-4. 

• Ghyka, Matila (2006). El Número de Oro. I Los ritmos. II Los Ritos. ISBN 978-84-455-0275-4. 

• Corbalán, Fernando (2010). La proporción áurea. El lenguaje matematico de la belleza. El mundo es matematico. ISBN 978-84-473-6623-1. 

Outros artigos

• Número π
• Espiral logarítmica
• Estrela mágica
• Sucesión de Fibonacci
• Composición áurea
• Pitágoras
• Luca Pacioli
• Matila Ghyka
• Roger Penrose
• Decágono regular

Ligazóns externas

• Astronomy.swin.edu.au (Fi, la sección áurea).
• ChampionTrees.org (Fi: la proporción divina).
• GoldenRatio.com.ar (propiedades interesantes del número áureo y aplicación en la biología).
• MCS.Surrey.ac.uk (La sección áurea: fi).
• MathWorld.Wolfram.com/GoldenRatio.html (la sección áurea).
• Rt000z8y.EresMas.net (una buena página que explica Φ detalladamente]
• Rt000z8y.EresMas.net (más ejemplos de Φ en la vida).
• Castor.es (El número Fi en la arquitectura, pintura, animales, plantas etc.)
• Gráficas de sucesiones áureas en MATLAB
• Gráficas de sucesiones áureas en MATLAB II
• El número de Oro - La Razón Aurea
• http://www.palermo.edu/ingenieria/downloads/Investigacion/ElNumeroyloSagrado1P.pdf