Conmutatividade

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Exemplo que amosa a conmutatividade da suma (3 + 2 = 2 + 3).

Unha operación binaria é conmutativa cando o resultado da operación é o mesmo sexa cal sexa a orde dos elementos cos que se opera.

Definición alxébrica[editar | editar a fonte]

Sexa E un conxunto no cal foi definida unha operación binaria ou lei de composición interna *, é dicir, unha aplicación:


   \begin{array}{rcl}
      \star : \; E \times E & \to & E             \\
      (x,y)                 & \to & z = x \star y
   \end{array}

Dise que * é conmutativa se se comproba para todo (x,y) de E×E a igualdade x * y = y * x. Escrito formalmente:

\forall (x,y) \in E^2, \quad x \star y = y \star x.
Diagrama correspondente á conmutatividade.

Este diagrama ilustra a conmutatividade: p é o intercambio das variables x e y. Dá o mesmo resultado percorrer a frecha horizontal, é dicir, aplicala operación *, que percorrer a frecha vertical (intercambiar as variables) e despois a diagonal (aplicar * ).

Estes diagramas, onde o resultado non depende do traxecto senón só do punto de partida e do de chegada, chámanse diagramas conmutativos.

Por convención, se unha operación está escita co símbolo +, suponse sempre que é conmutativa. Esta convención non é válida para o produto × nin · pois, por exemplo, o produto de matrices non é conmutativo en dimensións superiores a 1, nin o produto dos números cuaternións. O produto vectorial tampouco é conmutativo. Unha operación binaria é conmutativa cando o resultado da operación é o mesmo sexa cal sexa a orde dos elementos cos que se opera.

Exemplos[editar | editar a fonte]

Xeneralización[editar | editar a fonte]

Simetría por diagrama.png

Xeneralízase o concepto a toda clase de aplicacións de dúas ou máis variables, e fálase de "simetría" no canto de conmutatividade:

  • f, función de dúas variables é simétrica se para todo (x,y), f(x,y) = f(y,x).
  • Unha función de n variables é simétrica se non cambia o seu valor cando intercambia os seus argumentos: con tres variables obtéñense:
f(x,y,z) = f(y,z,x) = f(z,x,y) = f(x,z,y) = f(z,y,x) = f(y,x,z).

Estas propiedades están no seguinte diagrama conmutativo:

onde p é o intercambio de dúas variables, id é a aplicación identidade.
O diagrama resúmese en: f o (p×id) = f o (id×p) = f, onde o denota a composición das funcións.

  • En álxebra linear existe un concepto "oposto": a antisimetría, propiedade que di que o intercambio de dúas variables implica un troco de signo: f(y,x) = - f(x,y).

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Outros artigos[editar | editar a fonte]