Número pi

Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: Pi.

Cando o diámetro dun círculo é 1, a lonxitude da circunferencia é pi.

Números – Números irracionais ζ(3) – √2 – √3 – √5 – φ – α – e – π – δ
Binario	11,00100100001111110110…
Decimal	3,14159265358979323846…
Hexadecimal	3,243F6A8885A308D31319…
Fracción continua	$3 + \cfrac{1}{7 + \cfrac{1}{15 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{292 + \ddots}}}}$ Nótese que esta fracción continua non é periódica.

Pi ou π é unha constante matemática cuxo valor é a razón aritmética de calquera circunferencia dun círculo co seu diámetro; este é o mesmo valor ca o da razón da área dun círculo co cadrado do seu raio. É aproximadamente igual a 3,14159 na notación decimal habitual. π é unha das constantes matemáticas e físicas máis importantes: moitas fórmulas das matemáticas, ciencias e enxeñaría están moi relacionadas con π.

π é un número irracional, o que significa que o seu valor non pode ser expresado exactamente como fracción m/n, onde m e n son enteiros. Por conseguinte, a súa representación decimal nunca acaba ou se repite. É tamén un número transcendental, o que quere dicir que non existen secuencias finitas de operacións alxebraicas con números enteiros (multiplicacións, raíces, sumas, etc.) que poidan ser igual ao seu valor; demostrar isto foi un logro recente na historia das matemáticas e un resultado significativo das matemáticas alemás do século XIX. Ao longo da historia matemática, teñen habido moitos esforzos por determinar π máis exactamente e entender a súa natureza; a fascinación co número mesmo pasou a cultura non-matemática.

A letra grega π, frecuentemente enunciado pi, foi adoptada para o número a partir da palabra grego para perímetro "περίμετρος", por vez primeira por William Jones en 1707, e popularizada por Leonhard Euler en 1737. A constante tamén é ocasionalmente referida coma a "constante circular", a "constante de Arquimedes" (para non ser confundida co número de Arquimedes) ou "número de Ludolph" (a partir dun matemático alemán cuxos esforzos para calcular os máis dos seus díxitos o fixeron coñecido).

Definicións

• En xeometría plana, π pódese definir como a relación da circunferencia co seu diámetro.
• Tamén se define π analiticamente usando funcións trigonométricas, como exemplos:
  • como o menor positivo x para o cal sen(x) = 0,
  • como o duplo do menor positivo x para o cal cos(x) = 0.

Fórmulas que conteñen π

Probabilidade

• A probabilidade de que dous enteiros positivos escollidos ó chou sexan primos entre si é: 6/π²
• Se se elixen ó chou dous números positivos menores que 1, a probabilidade de que xunto co número 1 podan ser os lados dun triángulo obtusángulo é: (π-2)/4
• Agulla de Buffon: Se lanzamos, ó chou, unha agulla de lonxitude L sobre unha superficie na que hai debuxadas liñas paralelas separadas unha distancia D, a probabilidade de que a agulla corte unha liña é: Lπ/2D

Xeometría

• Ángulos: 180 graos son equivalentes a π radiáns

Forma xeométrica	Formula
Circunferencia do circo de raio r e diámetro d	$C = \pi d = 2 \pi r \,\!$
Área of circo de raio r	$A = \pi r^2 \,\!$
Área da elipse con semi-eixos a e mais b	$A = \pi a b \,\!$
Volume da esfera de raio r	$V = \frac{4}{3} \pi r^3 \,\!$
Superficie da esfera de raio r	$A = 4 \pi r^2 \,\!$
Volume do cilindro de altura h e raio r	$V = \pi r^2 h \,\!$
Superficie do cilindro de altura h e raio r	$A = 2 ( \pi r^2 ) + ( 2 \pi r ) h = 2 \pi r (r + h) \,\!$
Volume do cono de altura h e raio r	$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \,\!$
Superficie do cono de altura h e raio r	$A = \pi r \sqrt{r^2 + h^2} + \pi r^2 = \pi r (r + \sqrt{r^2 + h^2}) \,\!$

Ademais, o ángulo 180° en graos equivale a π radians (unha volta enteira, 360 graos, son equivalentes a 2π radiáns).

Análise

Moitas fórmulas de análise matemática conteñen π, incluíndo series infinitas, integrais, e as chamadas funcións especiais.

• François Viète, 1593 (Proba de Viète):

$\frac2\pi= \frac{\sqrt2}2 \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2\ldots$

• formula de Leibniz:

$\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}$

Esta serie infinita, citada a miudo, escrébese como se indica arriba, pero exprésase mais tecnicamente como:

$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \left (\frac{1}{2n+1}\right ) = \frac{\pi}{4}$

• produto de Wallis (ver este artigo para a proba):

$\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2}$

• Unha formula de calculo integral  :

$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}$

• problema de Basel, resolta por Euler (ver tamén funcion zeta de Riemann ):

$\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}$

$\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}$

e xeralmente, $\zeta(2n)$ é un multiplo de $\pi^{2n}$ para o enteiro positivo n

• función Gamma evaluada en 1/2:

$\Gamma\left({1 \over 2}\right)=\sqrt{\pi}$

• aproximación de Stirling:

$n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$

• identidade de Euler (chamada por Richard Feynman "a formula mais salientada en matematicas"):

$e^{i \pi} + 1 = 0\;$

• Area dun cuarto do circo unidade:

$\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\,dx = {\pi \over 4}$

Véxase tamén

Outros artigos

• Daniel Tammet

Ligazóns externas

• Páxina sobre π