Número pi

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Este é un dos 1000 artigos que toda Wikipedia debería ter.
Cando o diámetro dun círculo é 1, a lonxitude da circunferencia é pi.
NúmerosNúmeros irracionais
ζ(3)√2√3√5φαeπδ
Binario 11,00100100001111110110…
Decimal 3,14159265358979323846…
Hexadecimal 3,243F6A8885A308D31319…
Fracción continua 3 + \cfrac{1}{7 + \cfrac{1}{15 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{292 + \ddots}}}}
Nótese que esta fracción continua non é periódica.

Pi ou π é unha constante matemática cuxo valor é a razón aritmética de calquera circunferencia dun círculo co seu diámetro; este é o mesmo valor ca o da razón da área dun círculo co cadrado do seu raio. É aproximadamente igual a 3,14159 na notación decimal habitual. π é unha das constantes matemáticas e físicas máis importantes: moitas fórmulas das matemáticas, ciencias e enxeñaría están moi relacionadas con π[1].

π é un número irracional, o que significa que o seu valor non pode ser expresado exactamente como fracción m/n, onde m e n son enteiros. Por conseguinte, a súa representación decimal nunca acaba ou se repite. É tamén un número transcendente, o que quere dicir que non existen secuencias finitas de operacións alxebraicas con números enteiros (multiplicacións, raíces, sumas, etc.) que poidan ser igual ao seu valor; demostrar isto foi un logro recente na historia das matemáticas e un resultado significativo das matemáticas alemás do século XIX. Ao longo da historia matemática, teñen habido moitos esforzos por determinar π máis exactamente e entender a súa natureza; a fascinación co número mesmo pasou á cultura non-matemática.

A letra grega π, frecuentemente enunciada pi, foi adoptada para o número a partir da palabra grega para perímetro "περίμετρος", por vez primeira por William Jones en 1707, e popularizada por Leonhard Euler en 1737[2]. A constante tamén é ocasionalmente referida coma a "constante circular", a "constante de Arquimedes" (para non ser confundida co número de Arquimedes) ou "número de Ludolph" (na honra dun matemático alemán cuxos esforzos para calcular os máis dos seus díxitos fixérono coñecido).

Definicións[editar | editar a fonte]

A probabilidade e o número π[editar | editar a fonte]

Gráficas da distribución normal para distintos valores da media e desviación típica. A de cor vermella é a da distribución normal estándar (media 0 e desviación típica 1)

Unha lixeira reflexión pode facernos pensar que nada hai máis alonxado do número π que o concepto de probabilidade, cando a realidade é ben distinta. O matemático e lóxico inglés Augustus De Morgan foi interrogado en certa ocasión por un vendedor de seguros sobre a probabilidade de que un grupo de persoas seguise con vida despois dun certo tempo. Na solución ao problema aparecía o número π, cousa que sorprendeu ao vendedor quen pensou que De Morgan se trabucara. A solución era a correcta e ten que ver coa distribución normal, unha variable aleatoria continua cuxa función de densidade é:


f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} }

onde μ é a media e σ a desviación típica da distribución.

A distribución normal aparece ligada a multitude de situacións reais, entre elas á esperanza de vida do problema do vendedor de seguros. A gráfica desta distribución coñécese como campá de Gauss pola súa forma característica de campá e polo matemático alemán Gauss, quen en 1809 publicou un monográfico no que introducía algúns conceptos estatísticos, entre eles o de distribución normal; porén algúns autores atribúenlle o descubrimento en 1733 ao matemático francés De Moivre, estudando os coeficientes do binomio (a + b)n. É por este nome que Alexander Pope dicía que cada vez que alguén morre, as campás (de Gauss) soan por π.

Outros exemplos do campo das probabilidades onde aparece π son:

  • A probabilidade de que dous enteiros positivos escollidos ó chou sexan primos entre si é 6/\pi^2
  • Elexido ó chou un triángulo cuxo lado maior mide a unidade, a probabilidade de que sexa obtusángulo é (\pi-2)/4
  • O problema da agulla de Buffon: chamado así por ser proposto, e resolto, polo conde de Buffon, científico francés do século XVIII. Lanzada unha agulla, sen que se crave, sobre unha superficie na que se trazaron liñas paralelas equidistantes, trátase de calcular a probabilidade de que a agulla corte a unha liña. Se l é a lonxitude da agulla, e d a distancia entre as liñas, dita probabilidade é:
  1. \frac{2l}{\pi d} cando l < d
  2. \frac{2}{\pi} cando l = d
  3. \frac{2l}{\pi d} - \frac{2}{\pi d} \left \{ \sqrt{l^2 - d^2} + d \sin^{-1} \left( \frac{d}{l} \right) \right \} + 1 cando l > d
  • O problema da agulla de Buffon-Laplace: foi proposto por Laplace en 1812. É unha variante do problema de Buffon considerando a superficie cuadriculada onde os lados da cuadrícula a e b non teñen por que medir o mesmo, e a lonxitude da agulla l é menor que ambos lados.
  1. Se a \neq b, a probabilidade de que a agulla corte a algún lado da cuadrícula é: \frac {2l \left( a + b \right) - l^2 }{\pi ab}
  2. Se a = b, téñense as seguintes probabilidades:
  • Probabilidade de que a agulla non corte a ningunha liña: 1 - \frac {l \left( 4a - l \right)}{\pi a^2}
  • Probabilidade de que a agulla corte a unha liña: \frac {2l \left( 2a - l \right)}{\pi a^2}
  • Probabilidade de que a agulla corte ás dúas liñas: \frac {l^2}{\pi a^2}
A suma das tres probabilidades anteriores é obviamente 1 xa que abarcan todas as posibilidades e corresponden a sucesos incompatíbeis.

Fórmulas que conteñen π[editar | editar a fonte]

Xeometría[editar | editar a fonte]

Forma xeométrica Formula
Circunferencia do circo de raio r e diámetro d C = \pi d = 2 \pi r \,\!
Área of circo de raio r A = \pi r^2 \,\!
Área da elipse con semi-eixos a e mais b A = \pi a b \,\!
Volume da esfera de raio r V = \frac{4}{3} \pi r^3 \,\!
Superficie da esfera de raio r A = 4 \pi r^2 \,\!
Volume do cilindro de altura h e raio r V = \pi r^2 h \,\!
Superficie do cilindro de altura h e raio r A = 2 ( \pi r^2 ) + ( 2 \pi r ) h = 2 \pi r (r + h) \,\!
Volume do cono de altura h e raio r V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \,\!
Superficie do cono de altura h e raio r A = \pi r \sqrt{r^2 + h^2} + \pi r^2 =  \pi r (r + \sqrt{r^2 + h^2}) \,\!

Ademais, o ángulo 180° en graos equivale a π radians (unha volta enteira, 360 graos, son equivalentes a 2π radiáns).

Análise[editar | editar a fonte]

Moitas fórmulas de análise matemática conteñen π, incluíndo series infinitas, integrais, e as chamadas funcións especiais.

\frac2\pi=
\frac{\sqrt2}2
\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2
\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2\ldots
\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}
Esta serie infinita, citada a miudo, escrébese como se indica arriba, pero exprésase mais tecnicamente como:
\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \left (\frac{1}{2n+1}\right ) = \frac{\pi}{4}
 \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2}
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}
\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}
\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}
e xeralmente, \zeta(2n) é un multiplo de \pi^{2n} para o enteiro positivo n
\Gamma\left({1 \over 2}\right)=\sqrt{\pi}
n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n
e^{i \pi} + 1 = 0\;
  • Area dun cuarto do circo unidade:
\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\,dx = {\pi \over 4}

Notas[editar | editar a fonte]

  1. Howard Whitley Eves (1969). An Introduction to the History of Mathematics. Holt, Rinehart & Winston. http://books.google.com/books?id=LIsuAAAAIAAJ&q=%22important+numbers+in+mathematics%22&dq=%22important+numbers+in+mathematics%22&pgis=1. 
  2. Comanor, Milton; Ralph P. Boas (1976). Collier's Encyclopedia. 19. New York: Macmillan Educational Corporation. pp. 21-22. 

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Outros artigos[editar | editar a fonte]

Bibliografía[editar | editar a fonte]

Ligazóns externas[editar | editar a fonte]