Ángulo

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Este é un dos 1000 artigos que toda Wikipedia debería ter.
∠, o símbolo do ángulo en Unicode é U+2220.

En xeometría plana, un ángulo é a rexión do plano comprendida entre dúas semirrectas con orixe común[1]. As semirrectas son os lados do ángulo, e a orixe común é o vértice do ángulo[2].

Na xeometría do espazo considéranse dous tipos de ángulos:

  • O ángulo diedro, que é a rexión do espazo delimitada por dous semiplanos, chamados caras, que parten dunha recta común chamada aresta[2].
  • O ángulo sólido, que é a rexión do espazo que subtende un feixe de raios que parten dunha orixe común que é o vértice do ángulo[3]. Tipos particulares de ángulos sólidos son:
  • O ángulo sólido cónico, no que a rexión que o forma está delimitada por unha superficie cónica.
  • O ángulo poliedro, que é a rexión do espazo delimitada por tres ou máis ángulos planos, chamados caras cun vértice común, que é o vértice do ángulo poliedro; e que están dispostos de tal xeito que cada cara comparte os lados que a delimitan con outras dúas caras, e ningunha máis. Ditos lados son as arestas do ángulo poliedro. O ángulo poliedro de tres caras chámase ángulo triedro[2].

Nas xeometrías non euclidianas defínese o ángulo dun xeito semellante, por exemplo, na xeometría esférica, un ángulo é a rexión esférica comprendida entre dous semicírculos máximos.

Definicións clásicas e etimoloxía[editar | editar a fonte]

Segundo Proclo, un ángulo debe ser ou unha cualidade, ou unha cantidade, ou unha relación. O primeiro concepto foi utilizado por Eudemo de Rodas, que describiu un ángulo como a desviación respecto dunha líña recta; o segundo por Carpo de Antioquía, que o viu como o intervalo ou o espazo entre as líñas que se intersecaban; Euclides adoptou o terceiro concepto, se ben as súas definicións de ángulos rectos, agudos e obtusos son certamente cuantitativas. Euclides define un ángulo plano como a inclinación recíproca de dúas liñas que se encontran unha á outra e non están en liña recta[4][5].

A palabra ángulo provén da raíz indoeuropea ank ("pregar", "curvar"), da que derivan o vocábulo grego ἀγκύλος, ankýlos ("pregado", "curvado"), e o latino angulus ("esquina")[6].

Un problema clásico: a trisección do ángulo[editar | editar a fonte]

Artigo principal: Trisección do ángulo.

A trisección do ángulo, xunto coa cuadratura do círculo e a duplicación do cubo, é un dos tres problemas clásicos da matemática grega, que consiste en dividir un ángulo dado noutros tres iguais usando só regra sen graduar e compás. A súa imposibilidade foi demostrada en 1836 por Pierre Wantzel[7].

Medida de ángulos[editar | editar a fonte]

A medida en radiáns do ángulo θ é o cociente de s entre r.
Un ángulo diedro e o ángulo plano que dá a súa medida.

A medida dun ángulo reflicte a súa amplitude, é dicir, o maior ou menor afastamento entre os lados que o delimitan; canto maior sexa esta amplitude, maior será a medida do ángulo. Esta medida caracterízase usualmente pola magnitude da rotación máis pequena que aplica un dos lados no outro. Os ángulos coa mesma medida chámanse congruentes.

Adoitase usar indistintamente a palabra ángulo para referirse tanto ao ángulo como á súa medida, así é habitual falar, por exemplo, dun ángulo de 43º no canto da expresión máis precisa de ángulo que mide 43º.

Para medir un ángulo trázase unha circunferencia de raio arbitrario con centro no vértice do ángulo; a medida do ángulo, θ, é proporcional á razón entre a lonxitude do arco circular que abrangue o ángulo, s, e o raio da circunferencia, r, é dicir:

 \theta = k \frac{s}{r}.

onde k é unha constante que depende da unidade de medida empregada. O valor de θ é independente do raio elixido: ao cambiar a lonxitude do raio, a lonxitude do arco cambia na mesma proporción, co cal o cociente s/r non varía.

No espazo, a medida dun ángulo diedro é igual á medida do ángulo bidimensional que ten por lados dúas rectas perpendiculares nun mesmo punto á aresta do diedro e contidas cadansúa nas caras do diedro.

Unidades[editar | editar a fonte]

Ángulo que mide 1 radián.
Unha rosa dos ventos cos 32 rumbos.
Pendente da costa = 100.Δh/d = 100.tan(α)
Ángulo sólido que mide un estereorradián.

Moitas unidades de medida angular defínense como unha parte dun arco completo de circunferencia, de tal xeito que este é igual a n unidades angulares, para algún número enteiro n. O radián e a parte diametral son as dúas excepcións. Por exemplo, no caso dos graos sesaxesimais n = 360. Unha volta de n unidades obtense tomando k = n/(2π) na fórmula anterior (Demostración: A fórmula anterior pode ser reescrita como k = θr/s.. Unha volta, para a cal θ = n unidades, corresponde a un arco igual á lonxitude da circunferencia, que é 2πr, polo tanto s = 2πr. Substituíndo n por θ e 2πr por s na fórmula, resulta k = nr/(2πr) = n/(2π).)

As unidades de medida de ángulos máis usadas son, de lonxe, os radiáns e os graos sesaxesimais. A continuación enúmeranse algunhas:

  • O radián é a medida dun ángulo que abrangue un arco de circunferencia igual ao raio. A medida dun ángulo en radiáns será, por tanto, igual ao cociente entre o arco que abrangue e o raio; é dicir, o valor da constante na fórmula anterior é a unidade: k=1. A circunferencia completa mide radiáns. A notación abreviada desta unidade é rad, aínda que se omite frecuentemente nos textos de matemáticas, onde o radián é a unidade asumida por defecto. Os ángulos considéranse adimensionais cando se usan radiáns. Ademais do seu uso na xeometría, o radián úsase virtualmente en todo traballo matemático, por exemplo, as funcións trigonométricas só admiten o radián como medida. O radián é a unidade de medida angular do Sistema Internacional de Unidades.
  • Un grao (sesaxesimal) é a medida do ángulo que abarca un arco que mide 1/360 da lonxitude total da circunferencia. A circunferencia completa mide, por tanto, 360 graos. Na fórmula anterior é k=180/π. Unha vantaxe desta vella medida é que moitos ángulos frecuentes na xeometría elemental exprésanse como un número enteiro de graos, por exemplo os coñecidos ángulos de 30, 45 e 60 graos. O grao divídese en 60 minutos, e este en 60 segundos. As notacións abreviadas son un pequeno círculo como superíndice (º) para os graos, unha coma simple de superíndice (´) para os minutos, e unha coma dobre de superíndice (´´) para os segundos. A expresión habitual dunha medida en graos é mediante a notación decimal normal (por exemplo 3,5° para tres graos e medio), mais as subunidades dos minutos e os segundos tamén se usan para expresar un ángulo da forma "graos-minutos-segundos", especialmente nas coordenadas xeográficas, en astronomía e en balística.
  • Un grao centesimal ou gradian é a medida do ángulo que abarca un arco que mide a cuadricentésima parte da lonxitude total da circunferencia. En consecuencia, a circunferencia completa son 400 graos centesimais. O valor da constante na fórmula anterior é k=200/π. A abreviatura usada é grad. O quilómetro definiuse historicamente como a lonxitude do arco dun círculo máximo da Terra que abarca un centigradián, polo que o quilómetro é o análogo decimal da milla náutica sesaxesimal. O gradián úsase maoiritariamente en triangulación.
  • O rumbo, usado na navegación, é 1/32 dunha volta. Ven sendo a oitava parte dun ángulo recto. Cada rumbo subdivídese en catro cuartos de rumbo, polo tanto unha volta completa ten 128 cuartos de rumbo.
  • O ángulo horario astronómico é 1/24 dunha volta. Xa que este sistema se usa para medir o movemento de obxectos que xiran unha vez ao día (como a posición relativa das estrelas), as súas subunidades sesaxesimais chámanse minuto de tempo e segundo de tempo. Obsérvese que son distintos dos minutos e segundos de arco, de feito son 15 veces máis grandes.
  • A pendente dunha costa exprésase en tanto por cento. É igual á tanxente do ángulo que forma a horizontal coa traxectoria da pendente multiplicada por cen. Así unha pendente do 4% corresponde a unha costa na que se ascenden 4 metros por cada 100 metros de desprazamento en horizontal. Para valores menores do 5%, a pendente da costa é aproximadamente igual á medida do ángulo en radiáns multiplicada por 100; no exemplo anterior, a pendente do 4% corresponde a un ángulo cuxa tanxente é 0,04, é dicir 2,29º ou 0,03998 rad; o valor do ángulo en radiáns multiplicado por 100 dá 3,998%, practicamente igual ao valor do 4% da pendente.
  • O grao binario, tamén coñecido por radián binario (ou brad), é 1/256 dunha volta[8]. O grao binario úsase en informática pois esta unidade permite representar eficientemente un ángulo nun byte (aínda que cunha precisión limitada). Outras medidas de ángulos que se usan en informática deben basearse na división dunha volta completa en 2n partes iguais para outros valores de n[9].
  • Para definir a medida dun ángulo sólido Ω, trázase unha esfera de raio r e considérase a área, A, da rexión esférica intersección do ángulo sólido coa esfera. A medida de Ω será igual ao cociente entre a área A e o cadrado do raio da esfera, r2.
 \Omega = \frac{A}{r^2}
A unidade de medida de ángulos sólidos é o estereorradián. O ángulo que mide un estereoradián é aquel que proxecta unha superficie na esfera de r2 unidades cadradas. Como a superficie da esfera é igual a 4πr2, resulta que toda a superficie esférica mide estereorradiáns, a a semiesfera estereorradiáns[3].

Instrumentos de medida[editar | editar a fonte]

Os aparellos para medición de ángulos varían segundo o contexto; así, sobre o terreo úsanse os teodólitos e os goniómetros, como en topografía e enxeñaría; na navegación úsabase o sextante, hoxe en día en desuso ao ser substituído polos modernos GPS; e sobre o papel trabállase co transportador de ángulos, limitado hoxe o seu uso nas tarefas escolares, antigamente úsábase na elaboración de planos de arquitectura ou enxeñaría, onde caíu en desuso coa aparición dos programas informáticos de deseño gráfico.

Clasificación[editar | editar a fonte]

Ángulos de ata media volta[editar | editar a fonte]

Considerando que a rexión da que fala a definición de ángulo é a menor rexión do plano comprendida entre os dous lados, só teríamos ángulos de ata media volta de circunferencia (entre 0º e 180º). Neste caso, un ángulo pode ser:

Ángulos: agudo (a), obtuso (b), e raso (c). a e b son ángulos suplementarios.

Dous ángulos agudos dinse complementarios se suman un cuarto de volta. Se un ángulo mide α graos, o seu complementario mide 90º − α graos.

Dous ángulos dinse suplementarios se suman o ángulo raso. Se un ángulo mide α graos, o seu complementario mide 180º − α graos. O suplementario do ángulo recto é el mesmo; o suplementario dun ángulo agudo é un ángulo obtuso e viceversa.

Ángulos de ata unha volta completa[editar | editar a fonte]

Introducindo unha difereciación entre os dous lados que delimitan o ángulo (lado orixe ou incial e lado extremo, final ou terminal), unha certa orientación que indica o sentido de xiro desde o lado orixe ata o lado extremo, e definindo a rexión que abarca o ángulo como a que varre o xiro; haberá ángulos de ata unha volta completa de circunferencia (entre 0º e 360º). Neste suposto, un ángulo pode ser:

  • Ángulo convexo, de menos de media volta que, á súa vez, pode ser:
    • Agudo, de menos dun cuarto de volta.
    • Recto, dun cuarto de volta.
    • Obtuso, de entre un cuarto e media media.
  • Ángulo raso, de media volta.
  • Ángulo cóncavo, de máis de media volta.
  • Ángulo completo, dunha volta completa (360º ou 2π rad).

Dous ángulos dinse conxugados se suman o ángulo completo. Se un ángulo mide α graos, o seu conxugado mide 360º − α graos.

Outros ángulos relacionados[editar | editar a fonte]

  • Dous ángulos son consecutivos cando teñen o mesmo vértice e un lado común.
  • Dous ángulos chámanse adxacentes cando son simultaneamente consecutivos e suplementarios.
  • Dous ángulos son opostos polo vértice cando teñen o mesmo vértice e os lados son semirrectas opostas. Os ángulos opostos polo vértice son congruentes.
  • Chámanse ángulos correspondentes aos oito ángulos que se forman ao se cortar dúas rectas paralelas por unha transversal.Entre ángulos correspondentes hai dous grupos de catro ángulos congruentes, que se reduce a un único grupo de oito ángulos congruentes cando a transversal é perpendicular ás paralelas.

Ampliación do concepto de ángulo[editar | editar a fonte]

Espiral con sentido de xiro negativo: necesítanse ángulos negativos maiores que unha volta para identificar os puntos da espiral.
Un ángulo agudo positivo de 45º.

En moitos contextos son suficientes os ángulos anteriores, mais noutros, como a identificación dun punto movéndose nunha curva espiral, é necesario traballar con ángulos cun xiro maior ca unha volta completa de circunferencia, e considerando o sentido do xiro.

Para este tipo de ángulos é necesaria unha nova definición: nun sistema de coordenadas cartesiano bidimensional, defínese un ángulo mediante as semirrectas que o delimitan, chamadas lado orixe ou inicial e lado extremo, final ou terminal; sitúase o vértice na orixe de coordenadas e o lado orixe coincidindo co semieixe positivo horizontal, mentres que o lado extremo se define pola medida desde o lado orixe en graos, radiáns ou voltas. Se o sentido de xiro desde o lado orixe ao extremo e contrario ao das agullas do reloxo, o ángulo é positivo; se a rotación é no sentido das agullas do reloxo, o ángulo é negativo.

En moitos contextos, un ángulo negativo de −θ é equivalente a un ángulo positivo "dunha volta completa menos θ". Por exemplo, unha orientación representada por  − 45° é equivalente a unha orientación representada por 360° − 45° ou 315°. Porén, unha rotación de  − 45° podería non ser a mesma rotación que a de 315°.

Nos ángulos diedros tridimensionais é necesario fixar unha referencia para poder definir as orientacións positiva e negativa. Considérase para tal fin un vector sobre a aresta e defínense a cara inicial e a final. Un diedro ten unha medida positiva se, visto o ángulo no sentido que vai desde o extremo á orixe do vector anterior, o sentido de xiro desde a cara inicial á final é contrario ao das agullas do reloxo. En caso contrario, o ángulo é negativo[11]

En navegación, o rumbo mídese tomando como referencia o norte. Por convenio, visto desde arriba, un rumbo positivo é o que ten o mesmo sentido que o das agullas do reloxo, así un rumbo de 45º corresponde a unha orientación nordeste. Os rumbos negativos non se usan en navegación, así unha orientación noroeste corresponde a un rumbo de 315º.

Nomeando ángulos[editar | editar a fonte]

Nas expresións matemáticas, é habitual usar letras gregas (α, β, γ, θ, φ, ...) para nomear os ángulos, agás a letra π para evitar confusións co número π.

Lados, vértices e ángulos nun triángulo rectángulo.

En figuras xeométrica, adóitase usar letras maiúsculas para nomear os vértices dos ángulos, e minúsculas para os lados da figura; en particular, nos triángulos úsase a mesma letra para un lado (en minúscula) e o vértice oposto (en maiúscula). Para nomear ángulos úsanse os tres vértices que o definen, os dous vértices contiguos que están nos lados do ángulo e, entre estes, o vértice do ángulo. Por exemplo, o ángulo con vértice en A e lados AB e AC denótase por ∠BAC ou \scriptstyle \widehat{\rm BAC}. (ou tamén ∠CAB ou \scriptstyle \widehat{\rm CAB}.). Ás veces, cando non hai risco de confusión, acostúmase nomear ao ángulo simplemente polo seu vértice ("ángulo A").

Potencialmente, un ángulo denotado por, digamos, ∠BAC pode referirse a catro ángulos distintos con vértice en A: o ángulo positivo de B a C, o ángulo negativo de B a C, o ángulo positivo de C a B, e o ángulo negativo de C a B. Porén, en moitas situacións xeométricas é obvio polo contexto que ∠BAC é, de entre os catro anteriores, o ángulo positivo menor ou igual que 180º, sen ambigüedade posíbel. Noutro caso, adóitase a convención de que ∠BAC refírese ao ángulo positivo de B a C e ∠CAB ao ángulo positivo de C a B.

Ángulos nun polígono[editar | editar a fonte]

Ángulos exterior e interior nun pentágono.
  • Un ángulo interior ou interno nun polígono é aquel que ten o seu vértice nun vértice do polígono, os seus lados nos lados do polígono que conflúen no vértice, e a rexión que abarca é a correspondente ao interior do polígono. Un polígono cóncavo ten polo menos un ángulo interior maior que 180º.
    Os tres ángulos interiores dun triángulo suman 180º, ou π radiáns, ou media volta; os ángulos interiores dun cuadrilátero suman 360º, ou 2π radiáns, ou unha volta. En xeral, a suma dos ángulos interiores dun polígono de n lados é [(n − 2) × 180]°, ou [(n − 2) × π] radiáns, ou (2n − 4) ángulos rectos, ou (n/2 − 1) voltas.
  • O ángulo suplementario dun ángulo interior é un ángulo exterior ou externo. Comparte co ángulo interior o vértice e un lado, o outro lado é a prolongación do lado do ángulo interior que non é común. Se o correspondente ángulo interior é cóncavo, o ángulo exterior debe considerarse negativo.
    Tódolos ángulos exteriores dun polígono suman 360º, ou 2π radiáns, ou unha volta.
  • Algúns autores usan o nome de ángulo exterior para referirse ao ángulo conxugado (non o suplementario) do correspondente ángulo interior[12]. Esta definición entra en conflito coa precedente.

Ángulos nuhna circunferencia[editar | editar a fonte]

Ángulos na circunferencia.
O ángulo áureo é o ángulo ψ subtendido polo arco menor dos dous arcos en que se divide a circunferencia que están na proporción áurea.

Dada unha circunferencia, defínense os seguintes ángulos relacionados con ela:

  • Ángulo central, se ten o seu vértice no centro da circunferencia.
  • Ángulo inscrito, se o seu vértice é un punto da circunferencia e os seus lados córtana en dous puntos.
A medida dun ángulo inscrito é a metade da do ángulo central que abarca o mesmo arco de circunferencia.
  • Ángulo semi-inscrito, se o seu vértice está na circunferencia, un dos seus lados córtaa e o outro é tanxente, sendo o punto de tanxencia o propio vértice.
A medida dun ángulo semi-inscrito é a metade da do ángulo central que abarca o mesmo arco de circunferencia.
  • Ángulo interior, se o seu vértice está no interior da circunferencia.
A medida dun ángulo interior é a metade da suma das medidas de dous ángulos centrais: o que abarca o mesmo arco que o ángulo interior, e o que abarca o mesmo arco que o ángulo que forman as prolongacións dos lados do ángulo interior.
  • Ángulo exterior, se ten o seu vértice no exterior desta.
Se os lados do ángulo exterior son secantes, tanxentes ou un é secante e outro tanxente á circunferencia, a medida do ángulo exterior é igual á diferenza das medidas dos ángulos centrais que abarcan os arcos comprendidos entre as interseccións dos lados do ángulo coa circunferencia.

Ángulo áureo[editar | editar a fonte]

Ao dividir a circunferencia en dous arcos que estean na proporción áurea, o ángulo áureo é o ángulo central que abarca o menor dos dous arcos obtidos.

O ángulo áureo é un ángulo obtuso cuxo valor é de \scriptstyle \pi(3 - \sqrt{5}) radiáns ou \scriptstyle 180(3 - \sqrt{5}) graos. Aproximadamente 2,39996 rad ou 137.508°.

Ángulos entre curvas[editar | editar a fonte]

O ángulo entre as dúas curvas en P defínese como o ángulo entre as tanxentes A e B en P

O ángulo entre unha liña e unha curva (ángulo mixto) ou entre dúas curvas que se cortan (ángulo curvilíneo), defínese como o ángulo entre as tanxentes no punto de intersección.

Ángulos entre vectores[editar | editar a fonte]

  • Tanto no plano como no espazo, o coseno do ángulo θ que forman dous vectores \scriptstyle \vec u e \scriptstyle \vec v é igual ao produto escalar dos vectores, \scriptstyle \vec u \cdot \vec v, dividido polo produto dos módulos (lonxitudes), \scriptstyle | \vec u| e \scriptstyle | \vec v|, dos dous vectores, é dicir:

\theta=\arccos \frac {\vec u \cdot \vec v}{| \vec u| \cdot | \vec v|}

Como os módulos son positivos, o signo do coseno do ángulo dependerá do signo do produto escalar. Polo tanto:

  • Se o produto escalar é positivo, o coseno será positivo e, xa que logo, o ángulo que forman os vectores é agudo (menor de 90º).
  • Se o produto escalar é negativo, o coseno tamén o será e o ángulo que forman os vectores é obtuso (entre 90º e 180º).
  • Se o produto escalar é cero, o coseno é nulo, o cal indica que os vectores son perpendiculares (forman un ángulo de 90º).

Esta fórmula proporciona un método fácil para achar o ángulo que forman dúas rectas (no plano ou no espazo), unha recta e un plano (no espazo) e dous planos (no espazo) a partir dos vectores directores das rectas e os vectores normais dos planos:

  • O ángulo que forman dúas rectas é o menor dos ángulos que forman as súas direccións. É igual ao ángulo que forman cadanseus vectores directores ou, se é obtuso, o suplementario deste.
  • O ángulo que forman unha recta e un plano é o suplementario do que forman a recta e a recta normal ao plano no punto de intersección.
  • O ángulo entre dous planos é o menor ángulo diedro que forman. É igual ao que forman dúas rectas normais a cada un dos planos nun mesmo punto da aresta común.

Coordenadas angulares tridimensionais[editar | editar a fonte]

  • Os ángulos de Euler, son tres coordenadas angulares que indican a orientación dun sistema de referencia de eixes ortogonais, normalmente móbil, respecto doutro fixo.

Ángulos en xeografía e astronomía[editar | editar a fonte]

Un sistema de coordenadas astronómicas baseado en coordenadas esféricas: acimut (liña vermella) e altitude (liña verde).

En xeografía, a localización de calquera punto da Terra pode facerse usando un sistema de coordenadas xeográficas. Este sistema especifica a latitude e a lonxitude de calquera localización por medio de ángulos subtendidos ao centro da Terra, usando o ecuador e (xeralmente) o meridiano de Greenwich como referencias.

En astronomía, un punto dado da esfera celeste (isto é, a posición aparente dun obxecto astronómico) pode identificarse usando algún dos sistemas de coordenadas astronómicas, onde as referencias varían segundo o sistema particular que se elixa. Os astrónomos miden a separación angular de dúas estrelas imaxinando dúas liñas que, partindo do centro da Terra, intersecan a cada unha das estrelas. O ángulo con vértice no centro da Terra e lados as liñas mencionadas pode ser medido, e a súa medida é a separación angular das dúas estrelas.

Os astrónomos tamén miden o tamaño aparente dos obxectos como un diámetro angular. Por exemplo, a lúa chea ten un diámetro angular de aproximadamente 0,5º, cando se mira desde a Terra. Pódese dicir que "o diámetro da Lúa subtende un ángulo de medio grao". Mediante a aproximación para ángulos pequenos pódese converter esta medida angular nunha proporción distancia/tamaño.

Notas[editar | editar a fonte]

  1. "Ángulo". Dicionario da Real Academia Galega. RAG. http://www.realacademiagalega.org/dicionario/#loadNoun.do?current_page=1&id=2872. Consultado o 8 de xuño de 2013.
  2. 2,0 2,1 2,2 Postigo, Luis (1962) (en castelán). Matemáticas. Barcelona: Ramón Sopena. pp. 289, 296.
  3. 3,0 3,1 Margenau, Henry; Watson, William Weldon; Montgomery, Carol Gray (1960) (en castelán). Principios y aplicaciones de la Física. Barcelona: Reverté. p. 8.
  4. Hugh Chisholm (ed.) (1911). "Angle" (en inglés). Encyclopædia Britannica (11ª ed.). Cambridge University Press. http://en.wikisource.org/wiki/1911_Encyclop%C3%A6dia_Britannica/Angle. Consultado o 8 de xuño de 2013.
  5. Heath, Thomas Little; Heiberg, Johan Ludvig (1908) (en inglés). The thirteen books of Euclid´s Elements. Cambridge, UK: Cambridge University Press. pp. 177-178. http://books.google.es/books?id=UhgPAAAAIAAJ&redir_esc=y. Consultado o 8 de xuño de 2013.
  6. "Angle" (en inglés). Online Etymology Dictionary. Douglas Harper. http://www.etymonline.com/index.php?allowed_in_frame=0&search=Angle&searchmode=none. Consultado o 8 de xuño de 2013.
  7. Jim Loy. "Trisection of an Angle" (en inglés). http://www.jimloy.com/geometry/trisect.htm#curves. Consultado o 19 de xuño de 2013.
  8. "ooPIC Programmer's Guide (archived)" (en inglés). www.oopic.com. http://web.archive.org/web/20080628051746/http://www.oopic.com/pgchap15.htm. Consultado o 19 de xuño de 2013.
  9. Shawn Hargreaves. "Angles, integers, and modulo arithmetic" (en inglés). blogs.msdn.com. http://blogs.msdn.com/shawnhar/archive/2010/01/04/angles-integers-and-modulo-arithmetic.aspx. Consultado o 19 de xuño de 2013.
  10. Masa Vázquez (coord.), Xosé M. (1995). Vocabulario de matemáticas (galego-español-inglés-portugués). Santiago de Compostela: Universidade de Santiago de Compostela. p. 16. ISBN 84-8121-369-1.
  11. Rodríguez Arós, A.; Blanco, F.; Muíños, M. (2012) (en castelán). Trigonometría plana y esférica con aplicaciones a la navegación. Madrid: Paraninfo. p. 149. ISBN 978-84-9732-905-7. http://books.google.es/books?id=A6hWh8J4rfAC&printsec=frontcover&dq=Trigonometria+plana+y+esf%C3%A9rica+con+aplicaciones+a+la+navegaci%C3%B3n&hl=es&sa=X&ei=0dG9UeOJOeqN7AaplIGIDg&ved=0CDQQ6AEwAA. Consultado o 16 de xuño de 2013.
  12. Eric W. Weisstein. "Exterior angle" (en inglés). MathWorld. Wolfram Web. http://mathworld.wolfram.com/ExteriorAngle.html. Consultado o 18 de xuño de 2013.
Commons
Commons ten máis contidos multimedia sobre: Ángulo
Galizionario
Vexa a entrada do Galizionario acerca de ángulo