Número primo

Sistema numérico en matemáticas
Conxuntos numéricos ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ
Naturais ($\mathbb {N}$) Números de Fermat, de Sophie Germain e de Mersenne Enteiros ($\mathbb {Z}$) Primos ($\mathbb {P}$) / Compostos Pares / Impares Abundantes / Defectivos Números perfectos, amigos e sociábeis Racionais ($\mathbb {Q}$) Fraccións Reais ($\mathbb {R}$) Positivos ($\mathbb {R} _{>0}$) / Negativos ($\mathbb {R} _{<0}$) Irracionais ($\mathbb {I}$) Alxébricos / Transcendentes ($\mathrm {Tr}$) Números complexos ($\mathbb {C}$) Números imaxinarios
Números destacables
-1 0 1 Φ ≈ 1,6180339887... e ≈ 2,7182818284 π ≈ 3,1415926535 i = ${\sqrt {-1}}$ Constantes matemáticas
Outras extensións dos números complexos
Bicomplexos Hipercomplexos Cuaternións ($\scriptstyle \mathbb {H}$) Octonións ($\scriptstyle \mathbb {O}$) Sedenións ($\scriptstyle \mathbb {S}$) Superreais Hiperreais Surreais
Infinito
Infinito (∞) Números infinitos Números transfinitos Números alef {$\aleph _{0},\aleph _{1},\cdots$}
Especiais
Nominais Ordinais (1o,2o...) Cardinais
Outros importantes
Secuencias de enteiros Lista de números Números grandes
Sistemas de numeración
Numeración en base constante Sistema binario (2) Sistema octal (8) Sistema decimal (10) Sistema hexadecimal (16) Numeración arábiga Numeración babilónica Numeración chinesa Numeración xaponesa Numeración maia Numeración romana

Número primo é un número natural maior que 1 e que ten exactamente dous divisores positivos distintos: 1 e el mesmo. Se un número natural é maior que 1 e non é primo, dise que é composto. Por convención, os números 0 e 1 non son primos nin compostos.

O concepto de número primo é moi importante na teoría dos números. Un dos resultados da teoría dos números é o Teorema Fundamental da Aritmética, que afirma que calquera número enteiro positivo pode ser escrito univocamente como o produto de varios números primos (chamados factores primos). Ao proceso que recebe como argumento un número e devolve os seus factores primos chámase decomposición en factores primos. Antes do desenvolvemento do cálculo automático, a determinación dos factores primos era un proceso traballoso en extremo, mais a finais do século XVIII xa existían, grazas ao labor dalgúns matemáticos, entre os cales Anton Felkel e Jurix Batolomex Vega, extensas táboas abranxendo o intervalo desde a unidade ata algúns millóns.

Colocando os números primos en orde crecente, temos que os primeiros elementos son:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97...

Exemplos de decomposicións:

• 4 = 2 × 2
• 6 = 2 × 3
• 8 = 2 × 2 × 2
• 9 = 3 × 3
• 10 = 2 × 5

Teoremas dos números primos

Sábese que, á medida que avanzamos na secuencia dos números enteiros, os primos tórnanse cada vez máis raros. Isto levanta dúas cuestións:

1. O conxunto dos números primos sería finito ou infinito?
2. Dado un número natural $n$, cal é a proporción de números primos entre os números menores que $n$?

A resposta a primeira cuestión é que o conxunto dos primos é infinito. Podemos demostrar da seguinte forma:

Supoña , por absurdo , que o número de primos sexa finito e sexan $p_{1},p_{2},p_{3},...,p_{n}$ os primos.Sexa $P$ o número tal que

$P$ = $\prod _{i=1}^{n}p_{i}+1$ onde $\prod$ denota o produto.

Temos que $P$ non é primo (por hipótese), logo existe un número primo $q$ tal que $q\mid \ P$. Mais obviamente $q\neq \ p_{1},p_{2},...p_{n}$. Logo existe un novo número primo, o que é unha contradición.

A resposta para a segunda pregunta é que esa proporción se aproximará máis a $n:\ln(n)$ canto maior sexa n, onde $\ln$ é o logaritmo natural.

Grupos e secuencias de números primos

Coñécense dous grupos de números primos:

do tipo:

(4n+1) - pódense sempre escribir como ($x^{2}+y^{2}$)

e

(4n-1) - nunca se poden escribir como ($x^{2}+y^{2}$)

Tratándose de números primos, é perigoso facer unha xeneralización apenas con base nunha observación, non solidamente comprobada matematicamente. Vexamos o exemplo:

31, 331, 3.331, 33.331, 333.331, 3.333.331 e 33.333.331 son primos

mais

333.333.331 non é: (333.333.331 = 17 x 19.607.843)

Ligazóns externas

• As páxinas de primos -- http://www.utm.edu/research/primes/
• The first 20,000 primes (through 224737) at Wikisource
• Lista dos maiores números probabelmente primos
• The prime puzzles
• The Prime Project xera un número primo cada vez que se accede á páxina
• Unha tradución ao inglés da demostración de Euclides da infinitude dos primos
• Primes de WIMS é un xenerador online de números primos.
• 12 digit primes Factores primos coñecidos de 12-díxitos de Googolplex