Arco (xeometría)

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Arco dunha circunferencias.

Na xeometría, arco é calquera curva continua que une dous puntos.[1] Existen arco de circunferencia, de elipse, de parábola e outras figuras xeométricas.

O arco circunferencia fica definido por tres puntos, ou dous puntos extremos e o raio ou a corda da circunferencia. A corda une os dous extremos do arco, estando a frecha unindo os puntos medios.

Arco dun cuadrante (en vermello)

Cálculo da lonxitude dun arco (rectificación dunha curva)[editar | editar a fonte]

Métodos históricos[editar | editar a fonte]

Antigüidade[editar | editar a fonte]

No longo da historia das matemáticas moitos grandes pensadores consideraron imposible calcular a lonxitude dun arco irregular. Arquimedes ideou un método por aproximación de rectángulos para calcular a área dun polígono curvilíneo mediante o método de exhaustión, aínda que poucos creron que era posible que unha curva tivese unha lonxitude medible como as da liñas rectas.

As primeiras medicións fixéronse a través de métodos de aproximación. Os matemáticos da época empezaron a trazar polígonos dentro da curva, e calculando a lonxitude dos lados destes, obtendo así a lonxitude aproximada da curva. Cantos máis segmentos se usasen, máis diminuía a lonxitude de cada segmento, e obtíñase unha aproximación cada vez mellor.

Método de exhaustión: cálculo da lonxitude da circunferencia mediante a aproximación de polígonos inscritos e circunscritos.

Século XVII[editar | editar a fonte]

Nesta época, o método de esgotamento levou á rectificación por métodos xeométricos de moitas curvas transcendentais: a espiral logarítmica por Torricelli en 1645 (algúns pensan que foi John Wallis en 1650); o cicloide por Christopher Wren en 1658, e a catenaria por Gottfried Leibniz en 1691.

Determinar a lonxitude dun arco dun segmento irregular, facer a rectificación dunha curva, historicamente foi difícil. Aínda que foron utilizados varios métodos para curvas específicas, a chegada do cálculo trouxo consigo fórmulas xerais que daban solucións concretas para algúns casos.

A lonxitude dun arco de circunferencia de radio r e ángulo θ (medido en radiáns), con centro na orixe, é igual a θr. Para un ángulo α, medido en graos, a lonxitude en radiáns é α/180° × π, sendo a lonxitude de arco igual a (α/180°)πr.

Arclength.svg

Métodos modernos[editar | editar a fonte]

Ao considerar unha función  f \left ( x \right ) e a súa respectiva derivada  f' \left ( x \right ) , que son continuas nun intervalo [a, b], a lonxitude do arco delimitado por a e b vén dada pola fórmula:

 s = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left [ f' \left ( x \right ) \right ] ^2} \, dx

Se a función está definida parametricamente, onde  x = f \left ( t \right ) e  y = g \left ( t \right ) :

 s = \int_{a}^{b} \sqrt{\left [ f' \left ( t \right ) \right ] ^2 + \left [ g' \left ( t \right ) \right ] ^2} \, dt

Se a función está en coordenadas polares, onde a coordenada radial e o ángulo están relacionados  r = f (\theta) , a lonxitude dunha curva redúcese a:

 s = \int_{a}^{b} \sqrt{r^2 + \left [ \frac {dr}{d \theta\ } \right ] ^2} \, d \theta\

Na maioría dos casos non hai unha solución dispoñible e será necesario usar métodos de integración. Por exemplo, aplicar esta fórmula a unha elipse levaría a unha integral elíptica de segunda orde.

Entre as curvas con solucións coñecidas están a circunferencia, catenaria, cicloide, espiral logarítmica e parábola.

Lonxitude de arco[editar | editar a fonte]

A lonxitude de arco é unha medida da lonxitude dun arco dunha curva calquera, se vén dada en coordenadas cartesianas, a lonxitude de arco pode calcularse como:


L_a = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1 + f'(x)^2}\ dx

Se a curva vén especificada en coordenadas polares, a lonxitude entre o ángulo \phi_1 e \phi_2 vén dada por:


L_a = \int_{\phi_1}^{\phi_2} \sqrt{\rho'(\phi)^2 + \rho(\phi)^2}\ d\phi

Desta última dedúcese que para unha circunferencia, dado que \scriptstyle \rho(\phi) = R e \scriptstyle \rho'(\phi) = 0, a lonxitude de arco pode expresarse simplemente como:


L_a = R(\phi_2-\phi_1)\,

Notas[editar | editar a fonte]

  1. Mathworld: Arc.

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Bibliografía[editar | editar a fonte]

  • Spiegel, Murray R.; Abellanas, Lorenzo (1992). Fórmulas y tablas de matemática aplicada. Aravaca (Madrid): McGraw-Hill. ISBN 84-7615-197-7. 

Ligazóns externas[editar | editar a fonte]