Pentágono

Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: Pentágono (homónimos).

Pentágono regular.

En xeometría, un pentágono é un polígono de cinco lados.

Propiedades xeométricas

• Tódolos seus ángulos internos miden 108º.
• Unindo os vértices do pentágono, obtense un pentagrama (estrela de 5 puntas) inscrito nel. No centro, queda outro pentágono regular, co que o proceso de inscribir pentagramas nos sucesivos pentágonos non ten fin matematicamente.
• Ao inscribir nun pentágono regular un pentagrama, pódese observar a razón áurea entre as lonxitudes dos segmentos resultantes.
• Pódese trazar empregando, unicamente, unha regra e un compás.

Trazado dun pentágono regular.

Área

A área dun pentágono regular de lado a pódese obter da seguinte fórmula:

$A = \frac{5a^2}{4}\cot \frac{\pi}{5} = \frac {a^2}{4} \sqrt{25+10\sqrt{5}} \simeq 1.72048 a^2$

De forma xeral, se temos que o radio da circunferencia circunscrita é r_u

$A=\frac{5}{8}\cdot r_u^2 \cdot \sqrt{10+2\sqrt{5}}$

ou tamén:

$A=\frac{5}{2}\cdot r_u^2 \cdot \sin{72^\circ}$

Perímetro

Supoñendo que o pentágono ten un lado de lonxitude a:

$a=2 \cdot r_u \cdot \cos 54^\circ$

Ou tamén:

$a=r_u \cdot \sqrt{\frac{5 - \sqrt{5}}{2}}$

Ángulos interiores

A suma de tódolos ángulos interiores dun pentágono é 540°, i existe unha fórmula xeral para calcular os ángulos interiores de calquera polígono regular (no caso do pentágono n = 5):

$\sum {\alpha =}(n - 2) \cdot 180^\circ = 3 \cdot 180^\circ = 540^\circ$

O ángulo entre dous lados dun pentágono pódese calcular mediante a seguinte fórmula, sempre que se trate dun polígono regular:

$\alpha =\frac{(n - 2)}{n} \cdot 180^\circ = \frac{3}{5} \cdot 180^\circ = 108^\circ$