Pentágono

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Pentágono regular.

En xeometría, un pentágono (de penta, do grego que significa cinco: πεντάγωνον, de πεντά, "cinco" e γωνον, "ángulos") é un polígono de cinco lados.

Propiedades xeométricas[editar | editar a fonte]

Os pentágonos regulares teñen as seguintes caracterísiticas:

  • Tódolos seus ángulos internos miden 108º.
  • Unindo os vértices do pentágono, obtense un pentagrama (estrela de 5 puntas) inscrito nel. No centro, queda outro pentágono regular, co que o proceso de inscribir pentagramas nos sucesivos pentágonos non ten fin matematicamente.
  • Ao inscribir nun pentágono regular un pentagrama, pódese observar a razón áurea entre as lonxitudes dos segmentos resultantes.
  • Pódese trazar empregando, unicamente, unha regra e un compás.
Trazado dun pentágono regular.

Área[editar | editar a fonte]

A área dun pentágono regular de lado a pódese obter da seguinte fórmula:

A = \frac{5a^2}{4}\cot \frac{\pi}{5} = \frac {a^2}{4} \sqrt{25+10\sqrt{5}} \simeq 1.72048 a^2

De forma xeral, se temos que o radio da circunferencia circunscrita é ru

A=\frac{5}{8}\cdot r_u^2 \cdot \sqrt{10+2\sqrt{5}}

ou tamén:

A=\frac{5}{2}\cdot r_u^2 \cdot \sin{72^\circ}

Perímetro[editar | editar a fonte]

Supoñendo que o pentágono ten un lado de lonxitude a:

a=2 \cdot r_u \cdot \cos 54^\circ

Ou tamén:

a=r_u \cdot \sqrt{\frac{5 - \sqrt{5}}{2}}

Ángulos interiores[editar | editar a fonte]

Imaxe do trazado dun pentágono regular inscrito nunha circunferencia.

A suma de tódolos ángulos interiores dun pentágono é 540°, i existe unha fórmula xeral para calcular os ángulos interiores de calquera polígono regular (no caso do pentágono n = 5):

 \sum {\alpha =}(n - 2) \cdot 180^\circ = 3 \cdot 180^\circ = 540^\circ

O ángulo entre dous lados dun pentágono pódese calcular mediante a seguinte fórmula, sempre que se trate dun polígono regular:

 \alpha =\frac{(n - 2)}{n} \cdot 180^\circ = \frac{3}{5} \cdot 180^\circ = 108^\circ