Produto escalar

En matemática, na álxebra linear, o produto escalar, chamado tamén produto interno, interior ou punto, é unha función binaria definida entre dous vectores que fornece un número real como resultado. O produto vectorial, que é outra operación posíbel para vectores, fornece, por outro lado, un novo vector.

Alén de para o espazo euclidiano de dúas e tres dimensión, o produto escalar pode definirse tamén nos espazos euclidianos de dimensión maior a tres, e en xeral nos espazos vectoriais reais e complexos. Os espazos vectoriais dotados de produto escalar reciben o nome de espazos prehilbertianos.

Definición

Produto escalar de dous vectores

Dados dous vectores $\vec{A}$ e $\vec{B}$. o produto escalar pode ser calculado como:

$\vec{A} \cdot \vec{B} = |A||B|\ cos \theta$

Onde $\theta$ é o ángulo formado polos vectores $\vec{A}$ e $\vec{B}$, e $|A|$ e $|B|$ son as súas lonxitudes. Da figura podemos ver que o produto $|A| \ cos \theta$ representa a proxección do vector $\vec{A}$ na dirección do vector $\vec{B}$ . Se $\vec{A}$ fose unha forza, o produto escalar indicaría entón canta da forza $\vec{A}$ se estaría a aplicar na dirección de $\vec{B}$.

Se o ángulo entre os vectores fose 90º ($\vec{A}$ e $\vec{B}$ perpendiculares entre si), o produto escalar sería cero, pois cos 90º = 0.

Note que non fai falla mencionar ningún Sistema de coordenadas para obter o valor do produto escalar. A formula de riba é válida independentemente do sistema de coordenadas.

Nun sistema de coordenadas cartesiano, onde se escriben os vectores en termos de compoñentes como:

$\vec{A} = ( A_x, A_y, A_z )$

$\vec{B} = ( B_x, B_y, B_z )$

O produto escalar pode escribirse como:

$\vec{A} \cdot \vec{B}= A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z$

Note que a interpretación do produto escalar como a proxección dun vector na dirección doutro, neste caso, está lonxe de ser obvia. Porén a expresión de riba fornécenos unha forma de obter a lonxitude dun vector calquera en termos das súas compoñentes:

$|A| = \sqrt{\vec{A} \cdot \vec{A}} = \sqrt{A_x^2 + A_y^2+ A_z^2}$

A expresión xeral inicial soamente contén unha definición da lonxitude dun vector como a raíz cadrada do seu produto escalar, mais non fornece medios de calculalo:

$\vec{A} \cdot \vec{A} = |A||A|\ cos 0^{o} = |A|^2$

Definición xeneral

O produto escalar de dous vectores nun espazo vectorial é unha forma bilinear, hermítica e definida positiva, polo que se pode considerar unha forma cuadrática definida positiva.

Un produto escalar pódese expresar como unha aplicación $\langle \cdot,\cdot \rangle: V \times V \longrightarrow \mathbb{K}$ onde V é un espazo vectorial e $\mathbb{K}$ é o corpo sobre o que está definido V. $\langle \cdot,\cdot \rangle$ debe satisfacer as seguintes condicións:

1. Linearidade pola esquerda: $\langle ax+by,z \rangle = a \langle x,z \rangle + b \langle y,z \rangle$, e linearidade conxugada pola dereita: $\langle x, ay+bz \rangle = \overline{a} \langle x, e \rangle + \overline{b} \langle x,z \rangle$
2. Hermiticidade: $\langle x,y \rangle = \overline{\langle y,x \rangle}$,
3. Definida positiva: $\langle x,x \rangle \geq 0 \,$, y $\langle x,x \rangle = 0 \,$ se e só se x = 0,

onde $x, y, z \in V$ son vectores de V, $a, b \in \mathbb{K}$ representan escalares do corpo $\mathbb{K}$ e $\overline{c}$ é o conxugado do complexo c.

Se o corpo ten parte imaxinaria nula (v.g., $\mathbb{R}$), a propiedade de ser sesquilinear convértese en ser bilinear e o ser hermítica convértese en ser simétrica.

Tamén adoita representarse por $(\cdot|\cdot)$ ou por $\bullet$.

Un espazo vectorial sobre o corpo $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ dotado dun produto escalar denomínase espazo prehilbert ou espazo prehilbertiano. Se ademais é completo, dise que é un espazo de hilbert, e se a dimensión é finita, dirase que é un espazo euclídeo.

Todo produto escalar induce unha norma sobre o espazo no que está definido, da seguinte maneira:

$\|x\|:= \sqrt{\langle x,x \rangle}$.

Definición xeométrica do produto escalar nun espazo euclídeo real

A • B = |A| |B| cos(θ).
|A| cos(θ) é a proxección escalar de A en B.

O produto escalar de dous vectores nun espazo euclídeo defínese como o produto dos seus módulos polo coseno do ángulo $\theta$ que forman.

$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}= |\mathbf{A}| |\mathbf{B}| \cos \theta = A \,B \,\cos \theta$

Nos espazos euclídeos, a notación usual de produto escalar é $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}$

Esta definición de carácter xeométrico é independente do sistema de coordenadas elixido e polo tanto da base do espazo vectorial escollida.

Proxección dun vector sobre outro

Posto que |A| cos θ representa o módulo da proxección do vector A sobre a dirección do vector B, isto é |A| cos θ = proy A_B, será

$\mathbf A \cdot \mathbf B = |B| \left(\text{proy}A_B \right)$

de modo que o produto escalar de dois vectores tamén pode definirse como o produto do módulo dun deles pola proxección do outro sobre el.

Ángulos entre dous vectores

A expresión xeométrica do produto escalar permite calcular o coseno do ángulo existente entre os vectores:

$\cos \theta = {\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} \over |A| \,|B|} \,$

Vectores ortogonais

Dous vectores son ortogonais ou perpendiculares cando forman ángulo recto entre si. Se o produto escalar de dous vectores é cero, ambos vectores son ortogonais.

$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=0 \qquad\Rightarrow\qquad \mathbf{A} \bot \mathbf{B}$

xa que o $\cos\frac{\pi}{2} = 0$.

Vectores paralelos ou nunha mesma dirección

Dous vectores son paralelos ou levan a mesma dirección se o ángulo que forman é de 0 radiáns (0 graos) ou de π radiáns (180 graos).

Cando dous vectores forman un ángulo cero, o valor do coseno é a unidade, polo tanto o produto dos módulos vale o mesmo que o produto escalar.

$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}= A \, B \, \cos \theta \leftrightarrow |\cos \theta| = 1 \leftrightarrow A||B \Rightarrow |\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}| = |A|\,|B|$

Observación

Unha importante variante do produto escalar estándar utilízase no espazo-tempo de Minkowski, é dicir, $\mathbb{R}^4$ dotado do produto escalar:

$\langle x , y \rangle = x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3 + x_4y_4 \,$.

Propiedades do produto escalar

1. Conmutativa:

$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=\mathbf{B} \cdot \mathbf{A}$

2. Distributiva respecto á suma vectorial:

$\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}+\mathbf{C})=\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}+\mathbf{A}\cdot\mathbf{C}$

3. Asociativa respecto ao produto por un escalar m:

$m (\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})= (m\mathbf{A}) \cdot \mathbf{B}=\mathbf{A}\cdot(m\mathbf{B})$

4. Obsérvese que en xeral

$(\mathbf A \cdot \mathbf B) \mathbf C \neq \mathbf A (\mathbf B \cdot \mathbf C) \,$

5. Se os vectores son ortogonais, o seu produto escalar é nulo (cos 90º = 0), e viceversa

$\mathbf A \cdot \mathbf B = 0 \,$

Nótese que o produto escalar de dous vectores pode ser nulo sen que o sexan os dous correspondentes vectores.

Expresión analítica do produto escalar

Se os vectores A e B se expresan en función das súas compoñentes cartesianas rectangulares, tomando a base canónica en $\mathbb{R}^3$ formada polos vectores unitarios {i , j , k} temos:

$\mathbf A = A_x\mathbf i+ A_y\mathbf j+A_z\mathbf k \,$

$\mathbf B = B_x\mathbf i+ B_y\mathbf j+B_z\mathbf k \,$

O produto escalar realízase como un produto matricial da seguinte forma:

$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}= \begin{bmatrix} A_x & A_y & A_z\\\end{bmatrix} \begin{bmatrix} B_x\\ B_y\\ B_z\\\end{bmatrix} = A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z\,$

Exemplo

Un produto escalar é unha operación alxébrica que obedece á seguinte regra:

Sexan os vectores u e mais v,de tres dimensións,con compoñentes: u(a1, a2, a3) e v(b1, b2, b3). O produto escalar de u por v (u escalar v) é o número real:

uv = a1b1 + a2b2 + a3b3.

Norma ou Módulo dun vector

Defínese como a lonxitude do segmento orientado (vector) no espazo métrico considerado.

Calcúlase a través do produto interno do vector consigo mesmo.

$|A|^2 = \mathbf{A} \cdot \mathbf{A} \quad\rightarrow\quad |A| = \sqrt{\mathbf{A} \cdot \mathbf{A}}$

Efectuado o produto escalar, temos:

$|A|^2 = \mathbf{A} \cdot \mathbf{A} = (A_1,A_2,...,A_n)^2 = A_1^2 + A_2^2 + ... + A_n^2 = \sum A_i^2$

de modo que

$|A| = \sqrt {\sum A_i^2} = \sqrt {A_1^2 + A_2^2 + ... + A_n^2}$

Por compoñentes, tomando a base canónica en $\mathbb{R}^3$ formada polos vectores unitarios {i, j, k}

$\mathbf A = A_x\mathbf i+ A_y\mathbf j+A_z\mathbf k \,$

$|A|^2 = \mathbf{A} \cdot \mathbf{A}= \begin{bmatrix} A_x & A_y & A_z\\\end{bmatrix} \begin{bmatrix} A_x\\ A_y\\ A_z\\\end{bmatrix} = A_x^2+A_y^2+A_z^2\,$

de modo que

$|A| = \sqrt{A_x^2+A_y^2+A_z^2} \,$

Produtos interiores definidos en espazos vectoriais usuais

• No espazo vectorial $\mathbb{R}^n$ adóitase definir o produto interior (chamado, neste caso en concreto, produto punto) por:

$\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=(a_1, a_2, a_3, ..., a_n)\cdot(b_1,b_2,b_3, ..., b_n)=a_1 b_1 + a_2 b_2 + ... a_n b_n = \sum a_i \cdot b_i$

• No espazo vectorial $\mathbb{C}^n$ adóitase definir o produto interior por:

$\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=(a_1, a_2, a_3, ..., a_n)\cdot(b_1,b_2,b_3, ..., b_n)=a_1 \overline{b_1} + a_2 \overline{b_2} + ... a_n \cdot \overline{b_n} = \sum a_i \cdot \overline{b_i}$

Sendo $\overline{b_n}$ o número complexo conxugado de $\mathbf{b_n}$

• No espazo vectorial das matrices de m x n , con elementos reais

$\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=\operatorname{tr} (A^T \cdot B)$

onde tr(A) é a traza da matriz B e $A^T$ é a matriz trasposta de A.

• No espazo vectorial das matrices de m x n , con elementos complexos

$\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=\operatorname{tr} (A^* \cdot B)$

onde tr(A) é a traza da matriz B e $A^*$ é a matriz trasposta conxugada de A.

• No espazo vectorial das funcións continuas sobre o intervalo C[a, b], acotado por a e b:

$\mathbf{f}\cdot\mathbf{g} = \int_{a}^{b} f(x)\overline{g(x)}\mathrm{d} x$

• No espazo vectorial dos polinomios de grao menor ou igual a n:

Dado $\textstyle [x_1,x_2,x_3,...,x_n,x_{n+1}] \subseteq \mathbb{R}$ tal que $\textstyle x_1<x_2<x_3<...<x_n<x_n+1 \,$ :

$\mathbf{p}\cdot\mathbf{q} = p(x_1)q(x_1)+p(x_2)q(x_2)+...+p(x_n)q(x_n)+p(x_n+1)q(x_n+1) = \sum p(x_i) \cdot q(x_i)$

Xeneralizacións

Formas cuadráticas

Dada unha forma bilinear simétrica $\scriptstyle B(\cdot,\cdot)$ definida sobre un espazo vectorial $\scriptstyle V = \R^n$ pode definirse un produto escalar diferente do produto escalar euclídeo mediante a fórmula:

$(\mathbf{u}, \mathbf{v})_B = \begin{bmatrix} u_1 & \dots & u_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} B_{11} & \dots & B_{1n} \\ \dots & \dots & \dots \\ B_{n1} & \dots & B_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1 \\ \dots \\ v_n \end{bmatrix} = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n B_{ij} u_i v_j$

Onde:

$B_{ij} := B(\mathbf{e}_i,\mathbf{e}_j)$

$\{ \mathbf{e}_1, \dots, \mathbf{e}_n \}$ é unha base do espazo vectorial $\scriptstyle V$

Pode comprobarse que a operación anterior $\scriptstyle ( \cdot,\cdot )_B:V\times V \to \R$ satisfai todas as propiedades que debe satisfacer un produto escalar.

Tensores métricos

Pódense definir e manexar espazos non-euclídeos ou máis exactamente variedades de Riemann, é dicir, espazos non-planos cun tensor de curvatura diferente de cero, nos que tamén podemos definir lonxitudes, ángulos e volumes. Nestes espazos máis xerais adóptase o concepto de xeodésica en lugar do de segmento para definir as distancias máis curtas entre puntos e, tamén, se modifica lixeiramente a definición operativa do produto escalar habitual introducindo un tensor métrico $\scriptstyle g:\mathcal{M}\times T\mathcal{M} \times T\mathcal{M} \to \R$, tal que a restrición do tensor a un punto da variedade de Riemann é unha forma bilinear $\scriptstyle g_x(\cdot,\cdot) = g(x;\cdot,\cdot)$.

Así, dados dous vectores campos vectoriais $\bold{u}$ e $\bold{v}$ do espazo tanxente á variedade de Riemann defínese o seu produto interno ou escalar como:

$\langle \bold{u} , \bold{v} \rangle = g_x(\bold{u},\bold{v}) = \sum_i\sum_j g_{ij}(x)u_i u_j$

A lonxitude dunha curva rectificable C entre dous puntos A e B pódese definir a partir do seu vector tanxente $\scriptstyle \bold{T}$ do seguinte xeito:

$L_C = \int_{s_a}^{s_b} \sqrt{g(\bold{x},\bold{T},\bold{T})}\ ds = \int_{s_a}^{s_b} \sqrt{g_{ij}\frac{dx^i}{ds} \frac{dx^i}{ds}}\ ds$

Véxase tamén

Bibliografía

• Ortega, Manuel R. (1989-2006). Lecciones de Física (4 volúmenes). Monytex. ISBN 84-404-4290-4, ISBN 84-398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84-604-4445-7. 
• Resnick,Robert & Krane, Kenneth S. (2001). Physics. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-32057-9. 
• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Physics for Scientists and Engineers (6ª ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-534-40842-7. 
• Tipler, Paul A. (2000). Física para la ciencia y la tecnología (2 volúmenes). Barcelona: Ed. Reverté. ISBN 84-291-4382-3. 
• Navarro Camacho, Jorge y otros (julio 2007). Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria ; Matemáticas (Volumen III). MAD. ISBN 84-665-7931-1. 
• Marsden, J.E.;Tromba, A.J. (2004). Cálculo vectorial (5ª ed.). Pearson educación, S.A.. ISBN 84-7829-069-9. 
• Reinhardt, Fritz;Soeder,Heinrich; Traducido por Vázquez Suárez,Juan Luis;Rodríguez Artalejo, Mario (Alianza universidad). Atlas de matemáticas 1.Fundamentos,álgebra y geometría (2 tomos). Deutscher Taschenbuch Verlag GmbH&Co. KG.München (Deutschland). ISBN 84-206-6203-8, ISBN 84-206-6998-9. 

Ligazóns externas

• Produto escalar de vectores con Excel (en castelán)