Cono

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

Para o froito das coníferas, ver artigo piña

Exemplo de cono.

En xeometría, un cono recto é un sólido de revolución xerado polo xiro dun triángulo rectángulo arredor dun dos seus catetos. O círculo conformado polo outro cateto denomínase base e o punto onde conflúen as xeratrices denomínase vértice.

A xeratriz dun cono é cada un dos segmentos cuxos extremos son o vértice e un punto da circunferencia da base.

A altura dun cono é a distancia do vértice ao plano da base. Nos conos rectos será a distancia do vértice ao centro da circunferencia da base.

Clasificación[editar | editar a fonte]

Cono recto e cono oblicuo.
  • Cono recto, se o vértice equidista da base circular.
  • Cono oblicuo, se o vértice non equidista da súa base.
  • Cono elíptico, se a base é unha elipse. Poden ser rectos ou oblicuos.

Propiedades[editar | editar a fonte]

Área da superficie cónica[editar | editar a fonte]

A área A\, da superficie do cono recto é:

A=A_{Base}+ A_{Lateral}=\pi r^2 + \pi rg\,\!

onde r é o radio da base e g a lonxitude da xeratriz do cono recto.

A xeratriz dun cono recto equivale á hipotenusa do triángulo rectángulo que conforma a altura do cono e o radio da base; sendo entón a súa lonxitude g=\sqrt{h^2+r^2}\,.

Desenvolvemento dun cono recto[editar | editar a fonte]

Desenvolvemento do cono.

O desenvolvemento plano dun cono recto é un sector circular e un círculo.

O sector circular está delimitado por dúas xeratrices, sendo a medida do lado curvo igual á lonxitude da circunferencia da base.

A forma de calcular a distancia a no desenvolvemento é coa ecuación de a=\sqrt{h^2+r^2}\,

onde r é o radio da base e h é a altura do cono.

O ángulo que está sombreado na figura calcúlase coa seguinte fórmula:

\mathrm{\acute{a}ngulo} = 360(r/a) \,.

Volume dun cono[editar | editar a fonte]

O volume V\, dun cono de radio r \, e altura h \, é 1/3 do volume do cilindro que posúe as mesmas dimensións:

V = \frac{\pi \cdot r^2 \cdot h}{3}\,\!

A ecuación obtense mediante \int^{h}_{0}A(x)dx\,\!,

onde A(x)\, é a área da sección perpendicular á altura, con relación á altura h, neste caso A(x)=\pi\left(\frac{rx}{h}\right)^2.

Cono oblicuo[editar | editar a fonte]

Seccións dun cono recto e un cono oblicuo de base circular.

Un cono oblicuo é aquel cono cuxo eixe de revolución non é perpendicular á súa base.

Poden ser de dous tipos: de base circular ou de base elíptica. O de base elíptica é o corpo xeométrico resultante de cortar un cono recto mediante un plano oblicuo ao seu eixe de revolución.

A base é un círculo ou unha elipse, e a altura é o segmento que contén o vértice, sendo perpendicular ao plano da base; pero non é coincidente co eixe do cono.

Superficie[editar | editar a fonte]

A superficie lateral dun cono oblicuo é un triángulo curvilíneo, con dúas xeratrices por lados e base semi-elíptica.

A superficie da base dun cono oblicuo é un círculo ou unha elipse.

Volume[editar | editar a fonte]

A ecuación empregada para calcular o volume dun cono oblicuo de base circular é similar á do cono recto:

 V = \frac{\pi \cdot r^2 \cdot h} {3}

onde r é o radio da base e h a altura do cono oblicuo.

A ecuación do volume dun cono oblicuo de base elíptica é:

 V = \frac{\pi \cdot a \cdot b \cdot h} {3}

sendo a e b os semieixes da elipse e h a altura do cono oblicuo.

A xustificación das dúas fórmulas anteriores baséase no principio de Cavalieri, cuxo enunciado é o seguinte:

"Se dous corpos teñen a mesma altura e ademais teñen igual área nas súas seccións planas realizadas a unha mesma altura, posúen entón igual volume."

Seccións cónicas[editar | editar a fonte]

Distintas seccións cónicas.
Artigo principal: Sección cónica.

Ao cortar cun plano unha superficie cónica, obtéñense distintas figuras xeométricas: as seccións cónicas. Dependendo do ángulo de inclinación e a posición relativa, poden ser: circunferencias, elipses, parábolas e hipérboles.

Se o plano pasa polo vértice a intersección poderá ser: unha recta, un par de rectas cruzadas ou un punto (o vértice).

As curvas cónicas son importantes en astronomía: dous corpos masivos que interactúan segundo a lei universal da gravitación, describen órbitas similares a seccións cónicas: elipses, hipérboles ou parábolas en función das súas distancias, velocidades e masas.

Tamén son moi útiles en aerodinámica e outras aplicacións industriais, xa que permiten ser reproducidas por medios simples con grande exactitude, logrando volumes, superficies e curvas de gran precisión.

Ecuación en coordenadas cartesianas[editar | editar a fonte]

Superficie cónica.

En xeometría analítica e xeometría diferencial, o cono é o conxunto de puntos do espazo que verifican, respecto a un sistema de coordenadas cartesianas, unha ecuación do tipo:

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0 \,

Este conxunto tamén coincide coa imaxe da función:


X(\theta,t)=(a \cdot t \cdot \cos(\theta),b \cdot t \cdot \sin(\theta),c \cdot t),\,

que é chamada parametrización do cono.

Por exemplo, no caso que a = b (non nulos), este conxunto é obtido a partir de rotar a recta (t,0,\frac{c\,t}{a})\, respecto ao eixe z, e por iso é chamada parametrización de revolución.

O cono non é unha superficie regular, pois posúe unha singularidade: o seu vértice; quitándoo convértese nunha superficie regular disconexa e aberta. Entre as súas características, podemos destacar que é unha superficie regrada (é dicir que se pode xerar polo movemento dunha recta), e é desenvolvible, é dicir, que se pode despregar sobre un plano; tecnicamente isto exprésase dicindo que a súa curvatura gaussiana é nula (como no plano ou o cilindro).

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Outros artigos[editar | editar a fonte]

Ligazóns externas[editar | editar a fonte]

Commons
Commons ten máis contidos multimedia na categoría: Conos