Derivada parcial

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

En matemáticas, unha derivada parcial dunha función de diversas variables, é a súa derivada respecto a unha desas variables mantendo as outras como constantes. As derivadas parciais son útiles no cálculo vectorial e na xeometría diferencial.

A derivada parcial dunha función f respecto á variable x represéntase con calquera das seguintes notacións equivalentes:


\frac{ \partial f }{ \partial x }  =  \partial_xf  =  f'_{x}

Onde \scriptstyle \partial é a letra 'd' redondeada, coñecida como o 'd de Jacobi'.

Cando unha magnitude A é función de diversas variables (x,y,z,...), é dicir:


 A = f\left(x,y,z,...\right)

Ao realizar esta derivada obtemos a expresión que nos permite obter a pendente da recta tanxente a dita función A nun punto dado. Esta recta é paralela ao plano formado polo eixe da incógnita respecto á cal se fixo a derivada e o eixe z.

Analiticamente o gradiente dunha función é a máxima pendente de dita función na dirección que se elixa. Visto desde a álxebra linear, a dirección do gradiente indícanos cara a onde hai maior variación na función.

Introdución[editar | editar a fonte]

Supoñamos que \scriptstyle f é unha función de máis dunha variable, é dicir, unha función real de variable vectorial. Para o caso,


 f(x, y) = x^2 + xy + y^2\,

Un gráfico de z = x2 + xy + y2. Queremos encontrar a derivada parcial en (1, 1, 3) que deixa y constante; a correspondente liña tanxente é paralela ao eixe x.

É difícil describir a derivada de tal función, xa que existe un número infinito de liñas tanxentes en cada punto da súa superficie. A derivación parcial é o acto de elixir unha desas liñas e encontrar a súa pendente. Xeralmente, as liñas que máis interesan son aquelas que son paralelas ao eixe x, e aquelas que son paralelas ao eixe y.

Este é un corte do gráfico á dereita de y = 1.

Unha boa maneira de encontrar os valores para esas liñas paralelas é a de tratar as outras variables como constantes mentres se deixa a variar só unha. Por exemplo, para encontrar a liña tanxente da función de arriba en (1, 1, 3) que é paralela o eixe x, tratamos a variable y como constante. O gráfico da función e o plano y = 1 móstranse á dereita. Á esquerda, vemos como se ve a función, no plano y = 1. Encontrando a liña tanxente neste gráfico, descubrimos que a pendente da liña tanxente de ƒ en (1, 1, 3) que é paralela ao eixe x é tres. Que escribimos:


\frac{\part z}{\part x} = 3

no punto (1, 1, 3),

ou como "a derivada parcial de z con respecto a x en (1, 1, 3) é 3."

Exemplos[editar | editar a fonte]

O volume dun cono depende da altura (h) e o radio (r)
  • Considera o volume V dun cono, este depende da altura h do cono e o seu radio r de acordo coa fórmula


V(r,h) = \frac{ r^2 h \pi }{3}

As derivadas parciais de V respecto a r e h son:


\frac{ \partial V}{\partial r}(r, h) = \frac{ 2r h \pi }{3}, \qquad \frac{ \partial V}{\partial h}(r, h) = \frac{ r^2 \pi }{3}

  • Outro exemplo, dada a función F : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} tal que:
 F(x,y) = 3x^3 y + 2x^2 y^2 -7y\,

a derivada parcial de F respecto de x é:

\frac{\partial F}{\partial x}(x, y) =  9x^2y + 4xy^2

mentres que con respecto de y é:

\frac{\partial F}{\partial y}(x, y) = 3 x^3 + 2 x^2 2y - 7 = 3 x^3 + 4 x^2 y - 7

Definición formal[editar | editar a fonte]

Como as derivadas nunha variable, as derivadas parciais están definidas como o límite. Onde U é un subconxunto aberto de Rn e f : UR unha función. Definimos derivada parcial de f no punto a = (a1,..., an) ∈ U con respecto á i-ésima variable xi como:


\frac{ \partial }{\partial x_i }f(\mathbf{a}) =
\lim_{h \rightarrow 0}{ 
f(a_1, \dots , a_{i-1}, a_i+h, a_{i+1}, \dots ,a_n) - 
f(a_1, \dots ,a_n) \over h }

Ou visto respecto á derivada direccional:


\frac{ \part}{\part x_i} f(\vec{x}_0) = D_{\vec{v}}f \left( \vec{x}_0 \right) =
\underset{t\rightarrow 0}{\lim }\frac{f\left(\overrightarrow{x_0}+t\vec{v}\right)-f\left( \vec{x}_0 \right)}{t}

onde \vec{v} é o vector unitario do eixe respecto ao que se deriva ({x_i}).

Se todas as derivadas parciais existen no punto a, a función non necesariamente é continua nese punto. Mais, se todas as derivadas parciais existen arredor de a e son continuas, entón a función non só é continua senón ademais diferenciable onda a. Neste caso, f é unha función C1.

Notación[editar | editar a fonte]

Para o seguinte exemplo, f será unha función de x e y.

  • Derivadas parciais de primeira orde:


\frac{\part f}{\part x} = f'_x = \part_x f

Derivadas parciais (dobres) de segunda orde:


\frac{\part^2 f}{\part x^2} = f''_{xx} = \part_{xx} f, \qquad
      \frac{\part^2 f}{\part y^2} = f''_{yy} = \part_{yy} f,

Derivadas cruzadas de segunda orde:


\frac{\part^2 f}{\part x\part y} = f''_{yx} = \part_{xy} f, \qquad
      \frac{\part^2 f}{\part y\part x} = f''_{xy} = \part_{yx} f,

Termodinámica[editar | editar a fonte]

En termodinámica e outras áreas da física emprégase a seguinte notación:


\left( \frac{\part Y}{\part X} \right)_Z

Que significa que \exists f_{XZ}(\cdot):\ Y = f_{XZ}(X,Z)\, e entón:


\left( \frac{\part Y}{\part X} \right)_Z := \frac{\part f_{XZ}(X,Z)}{\part X}

Esta notación úsase pois frecuentemente unha magnitude pode expresarse como función de diferentes variables polo que en xeral:


\left( \frac{\part Y}{\part X} \right)_{Z_1} \ne
\left( \frac{\part Y}{\part X} \right)_{Z_2}

Xa que a forma precisa das funcións f_{XZ_1}(\cdot,\cdot) e f_{XZ_2}(\cdot,\cdot) é diferente, é dicir, trátanse de funcións diferentes.

Derivadas parciais de orde superior[editar | editar a fonte]

Á súa vez, a derivada parcial \part_{x_i} f pode verse como outra función definida en U e derivarse parcialmente. Se todas as súas derivadas parciais existen e son continuas, chamamos a f unha función C2; neste caso, as derivadas parciais poden ser intercambiadas polo teorema de Clairaut tamén coñecido como teorema de Schwartz.


\frac{\partial^2f}{\partial x_i\, \partial x_j} =
\frac{\partial^2f} {\partial x_j\, \partial x_i}.

En R2, se se cumpre o xa dito, asegúrase que:


\frac{ \partial^2 f}{\partial x\,\partial y} = \frac{ \partial^2 f}{\partial y\,\partial x} = f_{xy} = f_{yx}

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Outros artigos[editar | editar a fonte]