Polinomio

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

En matemáticas, as funcións polinomiais ou polinomios son unha clase importante de funcións simples e infinitamente diferenciábeis. Debido á natureza da súa estrutura, os polinomios son moi simples de avaliar e por consecuencia úsanse extensivamente na análise numérica.


Historia[editar | editar a fonte]

Determinar as raíces de polinomios, ou "resolver ecuacións alxébricas", é un dos problemas máis antigos da matemática. Algúns polinomios, tales como f(x)=x^2+1, non posúen raíces dentro do conxunto dos números reais. Se, no entanto, o conxunto de candidatos posíbeis se expande ao conxunto dos números imaxinarios, ou sexa, se se ten en conta o conxunto dos números complexos, entón todo polinomio (non-constante) posúe polo menos unha raíz (teorema fundamental da álxebra).

Existe unha diferenza entre a aproximación de raíces e a determinación de fórmulas concretas que as definen. As fórmulas para a determinación das raíces dos polinomios de ata 4º grao son coñecidas desde o século XVI (ver ecuación cuadrática, Gerolamo Cardano, Niccolo Fontana Tartaglia).. En 1824, Niels Henrik Abel probou que non pode haber unha fórmula xeral (incluíndo apenas as operacións aritméticas e radicais) para a determinación de raíces de polinomios de grao igual ou superior ao 5º en termos de coeficientes (ver teorema de Abel-Ruffini). Este resultado marcou o comezo da teoría de Galois, onde se aplica a un estudo detallado das relacións entre as raíces de polinomios.

Definición[editar | editar a fonte]

Para a sucesión de termos a_0,...,a_n \in \mathbb{R} (ou \mathbb{C}) con a_n> diferente de cero, un polinomio de grao n (ou tamén función racional enteira) é unha función que posúe a forma

f(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... . a_1 x + a_0\,,con a_n\, diferente de 0

Alternativamente, o polinomio pode ser escrito recorrendo á notación sigma

f(x)=\sum_{v=0}^n a_v x^v\,

Os elementos a_0,...,a_n denomínanse de coeficientes do polinomio e o termo a_0 de coeficiente constante.

Cada elemento sumado a_n x^n do polinomio denomínase termo. Un polinomio cun, dous ou tres termos chámase de monomio, binomio ou trinomio respectivamente.

En relación ao grao, os polinomios de:

Pódese estender a definición de polinomio para incluír f(x)=0, chamado polinomio nulo. O polinomio nulo non posúe grao definido.

A raíz (ou cero) dun polinomio f(x) é un valor de x tal que f(x) = 0.


Notas[editar | editar a fonte]

Os polinomios ata o grao n e mais o polinomio nulo forman un espazo vectorial que se denomina normalmente Πn. Neste artigo os polinomios representáronse a partir dunha base monomial (ex.: 1, x, x^2,..., x^n) mais debe notarse que se pode usar calquera outra secuencia polinomial como base, como por exemplo os polinomios de Chebyshev.

Temas relacionados[editar | editar a fonte]