Fórmula cadrática

As raíces da función cadrática y = 1/2x² − 3x + 5/2 ⁠ son os lugares onde a gráfica corta o eixo x, os valores x = 1 e x = 5. Pódense atopar mediante a fórmula cadrática.

En álxebra elemental, a fórmula cadrática é unha expresión en forma pechada que describe as solucións dunha ecuación cadrática. Outras formas de resolver ecuacións de segundo grao, como completar o cadrado, dan as mesmas solucións.

Dada unha ecuación cadrática xeral da forma $\textstyle ax^{2}+bx+c=0$, sendo $x$ unha incógnita, e coeficientes $a$, $b$, $c$ números reais ou complexos coñecidos con $a\neq 0$. Os valores $x$ que satisfán a ecuación, chamadas raíces ou ceros, pódense atopar usando a fórmula cadrática,

$$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},$$

onde o símbolo máis–menos "$\pm$" indica que a ecuación ten dúas raíces. Escritos por separado, son:

$$x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},\qquad x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.$$

A cantidade $\textstyle \Delta =b^{2}-4ac$ coñécese como o discriminante da ecuación de segundo grao. Se os coeficientes $a$, $b$, $c$, son números reais daquela $\Delta >0$, a ecuación ten dúas raíces reais distintas; se $\Delta =0$, a ecuación ten unha raíz real repetida; e se $\Delta <0$, a ecuación non ten raíces reais mais ten dúas raíces complexas distintas, que son complexas conxugadas entre si.

Xeométricamente, as raíces representan os valores de $x$ nos que a gráfica da función cadrática $\textstyle y=ax^{2}+bx+c$, unha parábola, cruza o eixe $x$. A fórmula cadrática tamén se pode usar para identificar o eixe de simetría da parábola.

Obtención completando o cadrado

Para completar o cadrado, forma un binomio cadrado no lado esquerdo dunha ecuación cadrática, a partir da cal se pode atopar a solución tomando a raíz cadrada de ambos os dous lados.

A forma estándar de obter a fórmula cadrática é aplicar o método de completar o cadrado á ecuación cadrática xenérica $\textstyle ax^{2}+bx+c=0$ A idea é manipular a ecuación na forma $\textstyle (x+k)^{2}=s$ para expresións $k$ e $s$ en termos dos coeficientes; tomar a raíz cadrada de ambos os dous lados; e despois resolver $x$.

Comezamos dividindo a ecuación polo coeficiente cadrático $a$. Despois, restamos o termo constante $c/a$ e pasalo para o lado dereito:

$${\begin{aligned}ax^{2{\vphantom {|}}}+bx+c&=0\\[3mu]x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}&=0\\[3mu]x^{2}+{\frac {b}{a}}x&=-{\frac {c}{a}}.\end{aligned}}$$

O lado esquerdo agora ten a forma $x^{2}+2kx$ e podemos "completar o cadrado" engadindo unha constante $\textstyle k^{2}$ e obter un cadrado $x^{2}+2kx+k^{2}=x^{2}+2kx+k^{2}=$ $\textstyle (x+k)^{2}$. Neste exemplo se corresponde con engadirmos $\textstyle (b/2a)^{2}$ a ambos os dous lados para que o lado esquerdo se poida poñer como un binomio:

$${\begin{aligned}x^{2}+2\left({\frac {b}{2a}}\right)x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}&=-{\frac {c}{a}}+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\\[5mu]\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}&={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}.\end{aligned}}$$

Como o lado esquerdo agora é un cadrado perfecto, podemos tomar facilmente a raíz cadrada de ambos os dous lados:

$$x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}.$$

Finalmente

$$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.$$

Significado xeométrico

En termos de xeometría de coordenadas, unha parábola é unha curva cuxos $(x,y)$ son a gráfica dun polinomio de segundo grao, da forma $\textstyle y=ax^{2}+bx+c$, onde $a$, $b$, $c$ son coeficientes constantes de valor real con $a\neq 0$.

Xeométricamente, a fórmula cadrática define os puntos $(x,0)$ na gráfica, onde a parábola cruza o eixo $x$. Ademais, pódese dividir en dous termos,

$$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}=-{\frac {b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}.$$

O primeiro termo $x=-{\tfrac {b}{2a}}$ describe o eixe de simetría, o segundo termo, ${\sqrt {b^{2}-4ac}}/2a$, dá a distancia que están as raíces do eixe de simetría.

Se o vértice da parábola está no eixo $x$, entón a ecuación correspondente ten unha única raíz repetida na liña de simetría e este termo de distancia é cero; alxebricamente, o discriminante $b^{2}-4ac=0$.

Se o discriminante é positivo, entón o vértice non está exactamente sobre o eixo $x$ mais a parábola ábrese na dirección do eixo $x$, cruzándoo dúas veces, polo que a ecuación correspondente ten dúas raíces reais. Se o discriminante é negativo, a parábola ábrese na dirección oposta, sen cruzar nunca o eixo $x$, e a ecuación non ten raíces reais; neste caso, as dúas raíces con valores complexos serán conxugados complexos cuxa parte real é o $x$ do eixe de simetría.

Véxase tamén

Bibliografía

• Smith, David Eugene (1923). History of Mathematics 2. Boston: Ginn. 
• Irving, Ron (2013). Beyond the Quadratic Formula. MAA. ISBN 978-0-88385-783-0. 

Outros artigos

• Ecuación de segundo grao
• Función cadrática
• Fórmulas de Viète