Composición de funcións

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Saltar ata a navegación Saltar á busca
g  f, é a aplicación resultante da aplicación sucesiva de f e de g. No exemplo, (g  f)(a)=@.

En álxebra abstracta, a composición de funcións é unha operación matemática que consiste na aplicación sucesiva de dúas funcións. Para iso, aplícase sobre o valor a función máis próxima ao mesmo, e ao resultado do cálculo aplícase finalmente a outra función.

Usando a notación matemática, a función composta gf: XZ expresa que (gf)(x) = g(f(x)) para todo x pertencente a X.

gf denomínase composición de f e g. Nótese que non se nomea seguindo a orde de escritura, senón a orde na que se aplican as funcións ao valor.

Definición[editar | editar a fonte]

De xeito formal, dadas dúas funcións f: X → Y e g: e → Z, onde a imaxe de f está contida no dominio de g, defínese a función composición (gf ): XZ como (gf)(x) = g (f(x)), para todos os elementos de X.

Tamén se pode representar de graficamente empregando a categoría de conxuntos, mediante un diagrama conmutativo:

Commutative diagram for morphism.svg

Propiedades[editar | editar a fonte]

  • A composición de funcións é asociativa, é dicir:


  • A composición de funcións en xeral non é conmutativa, é dicir:


Por exemplo, dadas as funcións numéricas f(x)=x+1 e g(x)=x², entón f(g(x))=x²+1, mentres que g(f(x))=(x+1)².
  • A inversa da composición de dúas funcións é:


Exemplo[editar | editar a fonte]

Dadas as funcións:

a función compuesta de g e de f que se expresa:

A interpretación de (fg) aplicada á variable x significa que primeiro hai que aplicar g a x, co que se obtén un valor de paso

E despois aplícase f a z para obter

Función ben definida[editar | editar a fonte]

A función composta está ben definida porque cumpre coas dúas condicións de existencia e unicidade, propias de toda función:

  1. Condición de existencia: dado x, coñécense (x, f(x)), posto que se coñece a función f, e dado calquera elemento y de B tamén se coñece (y, g(y)), pois se coñece g. Polo tanto, (x, g( f(x)) ) está definido para todo x, e así (gf) cumpre a condición de existencia.
  2. Condición de unicidade: como f e g son funcións ben definidas, para cada x o valor de f(x) é único, e para cada f(x) tamén o é o de g( f(x)).

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Ligazóns externas[editar | editar a fonte]