Teorema fundamental da álxebra

O teorema fundamental da álxebra establece que todo polinomio con números complexos por coeficientes e grao distinto de cero ten polo menos unha raíz (que será, en xeral, un número complexo).

Enunciado e equivalencias

O enunciado máis utilizado do teorema é o seguinte:

Teorema de d'Alembert-Gauss Todo polinomio nunha variable de grao n ≥ 1 con coeficientes reais ou complexos ten polo menos unha raíz complexa.

Por exemplo, $1+i$ é unha raíz do polinomio $X^{4}+4$.

Nesta forma, o teorema afirma a existencia dunha raíz do polinomio $P(X)$ pero non explica como atopar esta raíz explicitamente. Esta afirmación existencial describe máis unha propiedade do corpo dos números complexos. Un corpo dise que é alxebricamente pechado se todo polinomio de grao estritamente positivo e con coeficientes neste corpo admite polo menos unha raíz neste corpo.

En ocasións emprégase tamén o seguinte enunciado: Un polinomio nunha variable, non constante e con coeficientes complexos, ten tantas raíces como indica o seu grao (contando as súas multiplicidades.

Son equivalentes as afirmacións:

• O corpo dos números complexos é alxébricamente pechado para as operacións alxébricas
• Todo polinomio complexo de grao n ≥ 1 é expresable como produto de polinomios de grao 1

$p(z)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\,z^{k}=a_{n}\,\prod _{i=1}^{n}(z-b_{i}).$

Estes resultados, estendendo o sumatorio anterior, indican que un polinomio con coeficientes complexos de grao n, que se pode escribir $a_{n}X^{n}+\ldots +a_{1}X+a_{0}$ tamén se pode escribir $a_{n}(X-\alpha _{1})\ldots (X-\alpha _{n})$. Aquí, a familia $(\alpha _{k})$, para $k$ que varía de $1$ a $n$, é a das raíces. Algúns números $\alpha _{k}$ poden ser iguais; entón falamos de raíces múltiples.

Usos

Análise

Artigo principal: Descomposición en fraccións simples.

Ás veces é necesario calcular unha función primitiva dunha función racional (función cociente de dúas funcións polinómicas). Podemos considerar a función $f$ definida por:

$f(x)={\frac {5x^{2}-3x-11}{x^{3}-2x^{2}-5x+6}}.$

Un corolario do teorema fundamental indica que o denominador factorízase en elementos de primeiro grao; aquí atopamos:

$x^{3}-2x^{2}-5x+6=(x-1)(x+2)(x-3).$

Unha descomposición destes factores da función mostra a existencia de tres valores $a,b$ e $c$ tal que:

$f(x)={\frac {a}{x-1}}+{\frac {b}{x+2}}+{\frac {c}{x-3}}.$

Un cálculo rápido mostra que $a={\dfrac {3}{2}},b=1$ e $c={\dfrac {5}{2}}$; o cálculo da primitiva faise logo facilmente.

Álxebra linear

Artigo principal: Redución do endomorfismo.

A redución do endomorfismo utiliza polinomios. Podemos escoller como caso especial un endomorfismo autoadxunto $a$ dun espazo euclidiano $E$ para ilustrar o uso do teorema.

A súa matriz nunha base ortonormal é, polo tanto, simétrica e todos os seus valores propios son reais. O polinomio característico de $a$ admite, segundo o teorema fundamental da álxebra, unha raíz $\lambda$. Este é un valor propio de $a$. Observando que o espazo ortogonal $F$ ao espazo propio con valor propio $\lambda$ é estábel por $a$, entendemos que o endomorfismo é diagonalizábel.

De feito, agora é suficiente aplicar a mesma redución á restrición de $a$ en $F$, que tamén é autoadxunto. Paso a paso o endomorfismo $a$ vaise diagonalizando.

A diagonalización dun endomorfismo aparece a miúdo como consecuencia da existencia dunha raíz do polinomio característico ou mínimo.

Aritmética

Un dos obxectos da teoría alxébrica de números tradicional é o estudo dos corpos numéricos, é dicir, das extensións finitas do corpo $\mathbb {Q}$ dos racionais. Todos estes corpos son alxébricos sobre $\mathbb {Q}$ polo que se mergullan no seu peche alxébrico, o corpo ${\overline {\mathbb {Q} }}$ de números alxébricos. Segundo o teorema fundamental da álxebra, ${\overline {\mathbb {Q} }}$ mergúllase en $\mathbb {C}$.

Véxase tamén

Bibliografía

• Cauchy, Augustin Louis (1821). Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique, 1^ère partie: Analyse Algébrique. Paris: Éditions Jacques Gabay (publicado o 1992). ISBN 2-87647-053-5.  (tr. Course on Analysis of the Royal Polytechnic Academy, part 1: Algebraic Analysis)
• Euler, Leonhard (1751). "Recherches sur les racines imaginaires des équations". Histoire de l'Académie Royale des Sciences et des Belles-Lettres de Berlin (Berlin) 5: 222–288. Arquivado dende o orixinal o 24 de decembro de 2008. Consultado o 05 de xuño de 2020. . English translation: Euler, Leonhard (1751). "Investigations on the Imaginary Roots of Equations" (PDF). Histoire de l'Académie Royale des Sciences et des Belles-Lettres de Berlin (Berlin) 5: 222–288. Arquivado dende o orixinal (PDF) o 08 de outubro de 2007. Consultado o 02 de maio de 2016. 
• Gauss, Carl Friedrich (1799). Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse. Helmstedt: C. G. Fleckeisen. 

Ligazóns externas

• Fundamental Theorem of Algebra — a collection of proofs (en inglés)
• D. J. Velleman: The Fundamental Theorem of Algebra: A Visual Approach, PDF (unpublished paper)Arquivado 16 de xuño de 2016 en Wayback Machine., visualisation of d'Alembert's, Gauss's and the winding number proofs (en inglés)